primitives - XMaths

PRIMITIVES
Introduction
On considère la fonction affine f définie par f(x) = 2x + 1
Soit D la droite représentant f dans un repère orthonormal.
Soient A et B deux points de D et soient A' et B' les projetés
orthogonaux de A et B sur l'axe Ox.
B
On suppose que A et B ont pour abscisses respectives 1 et 2.
Le quadrilatère ABB'A' a deux cotés parallèles et un angle
droit, donc ABB'A' est un trapèze rectangle.
L'aire
A
A d'un trapèze de bases b et B et de hauteur h est égale,
en unités d'aire, à
B + b x h.
2
Donc l'aire du trapèze ABB'A' est :
c'est-à-dire
A=3+5x1
2
donc
A = AA' + BB' x A'B'
2
A'
B'
A=4
On considère maintenant les points A et B d'abscisses
respectives x1 et x2 , avec x1 < x2 ; f(x1) > 0 et f(x2) > 0.
ABB'A' est un trapèze rectangle.
Son aire, en unités d'aire est :
B
A = AA' + BB' x A'B'
2
Sachant que A et B sont sur la droite D, leurs ordonnées
respectives sont f(x1) = 2x1 + 1 et f(x2) = 2x2 + 1
On a donc AA' = f(x1) ; BB' = f(x2) et A'B' = x2 - x1
Donc
f(x1) + f(x2)
x (x2 - x1)
2
2x + 1 + 2x2 + 1
A= 1
x (x2 - x1)
2
A = (x1 + x2 + 1)(x2 - x1)
A=
A
A = x1x2 - (x1)2 + (x2)2 - x2x1 + x2 - x1
A = (x2)2 + x2 - (x1)2 - x1
A = (x2)2 + x2 - [(x1)2 + x1]
A'
B'
Si on appelle g la fonction définie sur IR par g(x) = x2 + x , on
peut écrire A = g(x2) - g(x1) .
On peut remarquer que g est dérivable sur IR et que pour tout x ∈ IR , on a
La fonction g est donc une fonction dont la dérivée est f.
g'(x) = 2x + 1 = f(x)
On dit que g est une primitive de f.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I, toute fonction F définie et dérivable sur I, dont la dérivée est f.
Exemple
La fonction f définie sur IR par f(x) = 2x a pour primitive F définie sur IR par F(x) = x2 .
En effet F est dérivable sur IR et on a F' = f .
On aurait pu choisir F définie par F(x) = x2 + 1 ou F(x) = x2 - 5 ou plus généralement, si k est une
2
constante réelle, F(x) = x2 + k . Une fonction n'a pas une seule primitive.
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Exercice 01
(voir réponses et correction)
f est une fonction définie sur IR. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de f.
a) f(x) = 2
b) f(x) = x
c) f(x) = 5x
d) f(x) = - 4x2
e) f(x) = x2 - 3x + 2
Exercice 02
(voir réponses et correction)
f est une fonction définie sur IR. Trouver dans chacun des cas suivants une primitive de f.
a) f(x) = -2x2
b) f(x) = 3x + 5
c) f(x) = 1 x2
d) f(x) = 2x5
e) f(x) = x - 3
2
2
Propriété
(voir démonstration 01)
Si F0 est une primitive de f sur un intervalle I, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des
fonctions F de la forme F = F0 + k, avec k ∈ IR.
Exercice 03
(voir réponses et correction)
Pour chacune des fonctions f donner l'ensemble des primitives de f sur l'intervalle I.
a) f(x) = 3x2 + 2x + 1 I = IR
b) f(x) = -x2 + 1 I = IR
1
I = ]0 ; +∞[
d) f(x) = e x
I = IR
c) f(x) =
x
Exercice 04
(voir réponses et correction)
Soit f définie sur ]0 ; +∞[ par f(x) = x - 1 .
x2
Déterminer toutes les primitives de f sur ]0 ; +∞[. Existe-t-il une primitive F de f telle que F(1) = 2 ?
Propriété
(voir démonstration 02)
Soit f une fonction ayant des primitives sur un intervalle I ; soit x0 ∈ I et y0 ∈ IR .
Il existe une et une seule primitive F de f prenant la valeur y0 en x0 c'est-à-dire telle que F(x0) = y0 .
Remarque
On admettra que toute fonction continue sur un intervalle I a des primitives sur I.
Certaines fonctions non continues peuvent aussi avoir des primitives.
Exercice 05
(voir réponses et correction)
On considère f définie sur IR par f(x) = sin x . Déterminer la primitive de f sur IR prenant la valeur 0 en 2.
Exercice 06
(voir réponses et correction)
On étudie en fonction du temps t le déplacement d'une balle dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
À chaque instant t ³ 0, le vecteur vitesse de la balle a pour coordonnées (f(t) ; g(t)).
On sait que : f(t) = VA cos α et g(t) = VA sin α - g x t
ou vA ; α et g sont trois réels fixés.
1°) Donner toutes les primitives F de f et toutes les primitives G de g. (On rappelle que la variable est t)
NB : F(t) et G(t) correspondent aux coordonnées de la balle à l'instant t.
2°) Sachant qu'à l'instant t = 0, la balle se trouve en A(0 ; 0,6), on doit avoir F(0) = 0 et G(0) = 0,6.
Déterminer alors F et G.
3°) a) On donne g = 9,81 ; VA = 14 ; α = π . Déterminer la position de la balle lorsque t = 1.
6
(On donnera des valeurs approchées à 10-1 près des coordonnées).
b) On suppose que la balle se dirige vers un but de hauteur h = 2 (schéma ci-dessous) :
h
A
La balle entre-t-elle dans le but ?
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Primitives des fonctions usuelles
On donne ci-dessous les primitives de certaines fonctions connues.
Ces primitives ont été obtenues à partir des dérivées connues.
L'intervalle I devra être convenablement choisi.
k désigne une constante réelle.
Fonction
Primitives
f(x) = 0
F(x) = k
f(x) = 1
F(x) = x + k
f(x) = a avec a ∈ IR
F(x) = ax + k
f(x) = x
F(x) = 1 x2 + k
2
f(x) = x2
F(x) = 1 x3 + k
3
f(x) = 1
x2
F(x) = - 1 + k
x
f(x) = 1
x
F(x) = 2
f(x) = xn
F(x) =
n ∈ ZZ - {-1}
x +k
1 xn+1 + k
n+1
f(x) = 1
x
F(x) = ln x + k
f(x) = e x
F(x) = e x + k
f(x) = sin x
F(x) = - cos x + k
f(x) = cos x
F(x) = sin x + k
Exercice 07
(voir réponses et correction)
Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner un intervalle I sur lequel f a des primitives et donner
toutes les primitives de f sur I.
4
a) f(x) = x7
b) f(x) = 1
c) f(x) = x + 1
3
x
x2
Propriétés
(voir démonstration 03)
Soit I un intervalle.
Si F est une primitive de f sur I et si G une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
Si F est une primitive de f sur I et si a est un réel, alors aF est une primitive de af sur I.
Remarques
Les propriétés ci-dessus ont été utilisées "naturellement" dans les exercices précédents.
Attention : Une primitive d'un produit ne sera pas obtenue en prenant le produit des primitives, puisque la
dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Il en est de même pour un quotient.
Exercice 08
(voir réponses et correction)
Pour chacune des fonctions f ci-dessous, donner toutes les primitives de f sur un intervalle I à indiquer.
x
a) f(x) = 5x2 + x + 2
b) f(x) = 3 sin x + 2 cos x
c) f(x) = e + 4
3
x
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Propriétés
●
●
●
●
●
●
(voir démonstration 04)
n
Une fonction de la forme u' x u avec n ∈ ZZ - {-1} a pour primitives les fonctions de la forme
1 un+1 + k avec k ∈ IR .
n+1
Une fonction de la forme u ' a pour primitives les fonctions de la forme 2 u + k avec k ∈ IR .
u
u'
Une fonction de la forme
a pour primitives les fonctions de la forme ln | u | + k avec k ∈ IR , sur tout
u
intervalle dans lequel u ne s'annule pas.
Une fonction de la forme u' x e u a pour primitives les fonctions de la forme e u + k , avec k ∈ IR .
Une fonction de la forme x ֏ sin (ax + b) avec a ≠ 0 a pour primitives les fonctions de la forme
x ֏ - 1 cos (ax + b) + k , avec k ∈ IR .
a
Une fonction de la forme x ֏ cos (ax + b) avec a ≠ 0 a pour primitives les fonctions de la forme
x ֏ 1 sin (ax + b) + k , avec k ∈ IR .
a
Exercice 09
(voir réponses et correction)
Donner une primitive de la fonction f et préciser un intervalle I sur lequel cette primitive est définie.
b) f(x) = (- 2x + 1)5
c) f(x) = (3x + 2)-5
a) f(x) = 2(2x + 1)3
Exercice 10
(voir réponses et correction)
Donner une primitive de la fonction f et préciser un intervalle I sur lequel cette primitive est définie.
2x + 1
a) f(x) =
b) f(x) = sin x cos3 x
c) f(x) = 1 (ln x)2
x
(x2 + x + 1)4
Exercice 11
(voir réponses et correction)
Donner une primitive de la fonction f et préciser un intervalle I sur lequel cette primitive est définie.
1
3x
1
a) f(x) =
b) f(x) =
c) f(x) =
x+1
2
x2 + 1
x
1+1
x
Exercice 12
(voir réponses et correction)
Donner une primitive de la fonction f et préciser un intervalle I sur lequel cette primitive est définie.
x+2
a) f(x) = 2x
b) f(x) = 1
c) f(x) =
2x + 1
x2 + 4x + 3
x2 + 1
Exercice 13
(voir réponses et correction)
Donner une primitive de la fonction f et préciser un intervalle I sur lequel cette primitive est définie.
a) f(x) = 2x e x
2
Exercice 14
1
b) f(x) = e3x+1
c) f(x) = 1 e x
x2
(voir réponses et correction)
Donner une primitive de la fonction f et préciser un intervalle I sur lequel cette primitive est définie.
2
a) f(x) = 3 sin 3x + π
b) f(x) = 2x + 3x + 5
c) f(x) = ln x
2

x
x
Exercice 15
(voir réponses et correction)
Donner l'ensemble des primitives de la fonction f sur IR.
x
b) f(x) = 1
a) f(x) = e
x
e +1
e2x
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c) f(x) =
x3
1 + x2
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