L1MI - Mathématiques: Analyse 1 Dérivation et Dérivée

Universit´e de Metz (UFR MIM) Ann´ee universitaire 2010-2011
D´epartement de Math´ematiques
L1MI - Math´ematiques: Analyse
1 D´erivation et D´eriv´ee
Exercice 1.1
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes.
a(x) = √x+ 1 −ln(x+√x+ 1), b(x) = sin cos x
1 + x3+eex2
, c(x) = cos (x2+ 1)2(x+ 2),
d(x) = ln ln(x2+ 2x), e(x) = x+`x+xx(` > 0), f(x) = (sin x)cos x+ (ln x)xxln x.
Exercice 1.2
D´eterminer l’ensemble des r´eels o`u les fonctions suivantes sont d´erivables.
1) f(x) = |x|sur R.
2) g(x)=(x−1)2si x < 1 et g(x) = x−1 si x≥1.
3) Etudier la continuit´e et la d´erivabilit´e de la fonction suivante: h(x) = ex−x−1 si x < 0; 0
si 0 ≤x < 1; (ln x)/x si x≥1.
4) D´eterminer les constantes a, b pour que la fonction suivante soit d´erivable sur R:k(x) = x−1
si x≤ −1, k(x) = ax +bsi x > −1. Est ce une fonction de classe C1sur R? Est ce qu’elle est
deux fois d´erivable sur R?
Exercice 1.3
Soit f(x) = 0 si x≤0 et f(x) = e−1/x si x > 0.
1) Montrer que fest infiniment d´erivable sur ]−∞,0[ et sur ]0,∞[.
2) Montrer que fest continue sur R.
3) Montrer que fest d´erivable sur R.
4) Montrer que pour tout n∈N,f(n)(x) = x−mnPn(x)e−1/x si x > 0 o`u mn∈N∗et Pn∈R[x].
5) En d´eduire que fest infiniment d´erivable sur R.
Exercice 1.4
Calculer la d´eriv´ee n-i`eme des fonctions suivantes: k(x) = sin xet
f(x) = x3ex, g(x) = 1
x, h(x) = 1 x2−1.
Exercice 1.5
Tracer la fonction h(x) = x3−4x2−3x+ 2 et sa tangente au point x= 1.
Exercice 1.6
Montrer que xcos x−sin x < 0 sur ]0, π]. En ´etudiant la fonction `(x) = sin x
x, montrer que si
0< a < b ≤π, alors sin b/ sin a < b/a.
Exercice 1.7

En calculant de deux mani`eres diff´erentes la d´eriv´ee d’ordre nde f(t)=(t2−1)n(n∈N∗),
prouver que n
X
k=0
(Ck
n)2=(2n)!
(n!)2.
Exercice 1.8
Soit fune fonction d´efinie sur Rtelle que ∃C > 0, |f(x)−f(y)| ≤ C|x−y|2pour tout x, y ∈R.
Montrer que fest constante.
Exercice 1.9
Soit fd´efinie par f(x) = (3 −x2)/2 si x < 1 et f(x) = x−1si x≥1. Montrer que fsatisfait
aux hypoth´eses du Th´eor`eme des acroissements finis sur [0,2].
Exercice 1.10
Montrer que
1) |sin x| ≤ xpour x > 0, et que limx→0sin x/x = 1.
2) 1 −x2
2<cos xpour 0 <x<π 2.
3) ∀x > 0, x
1 + x<ln(1 + x)< x.
Exercice 1.11
Soient fune fonction deux fois d´erivable sur Ret a<c<btrois r´eels. Pour λ∈R, on pose
φ(x) = f(x)−f(a)−x−a
b−a[f(b)−f(a)] + λ(x−a)(b−x) 2.
1) V´erifier que φ(a) = φ(b) = 0.
Dans la suite on choisit λde sorte que φ(c) = 0.
2) En appliquant plusieurs fois le Th´eor`eme de Rolle, montrer qu’il existe d∈]a, b[ tel que
φ00(d) = 0.
3) En d´eduire que λ=−f00(d) et
f(c)−f(a)−c−a
b−a[f(b)−f(a)] = −f00(d)(c−a)(b−c) 2.
4) Montrer que si a<x<b, on a:
0<(x−a)(b−x)
2≤(b−a)2 8.
5) Conclure que pour tout x∈]a, b[,
f(x)−f(a)−x−a
b−a[f(b)−f(a)]≤sup
d∈[a,b]|f00(d)| × (b−a)2
8.
Exercice 1.12
1) Appliquer le Th´eor`eme des accroissements finis `a la fonction f(x) = ln(ln x) sur l’intervalle
[k, k + 1] pour k > 1. En d´eduire que la suite
un=
n
X
k=2
1
kln k

tend vers ∞quand n→ ∞.
2) En utilisant le Th´eor`eme des accroissements finis, ´etudier la limite de x2e1
x−e1
x+1 en ∞.
3) Soit fune fonction d´erivable sur Rsatisfaisant f(0) = 0, f(1) = 1 et f0(0) = −1. Montrer
qu’il existe x1∈]0,1[ telle que f(x1)<0, puis qu’il existe x2∈]0,1[ telle que f(x2) = 0 et
finalement qu’il existe x3∈]0,1[ telle que f0(x3) = 0.
2 Fonctions R´eciproques
Exercice 2.1
Est ce que les assertions suivantes sont vraies?
1) sin(arcsin x) = xpour tout x∈[0,1].
2) arcsin(sin x) = xpour tout x∈R.
D´eterminer les valeurs suivantes:
arcsin sin 2009π
3,arccos cos 2009π 3.
Exercice 2.2
Montrer que
arcsin 4
5= 2 arctan 1 2et arctan 1 + arctan 2 + arctan 3 = π.
Exercice 2.3
D´emontrer les ´egalit´es suivantes:
1) arcsin x+ arccos x=π
2,∀x∈[−1,1].
2) arcsin x+ arcsin √1−x2=π
2,∀x∈[0,1].
Exercice 2.4
Simplifier les expressions suivantes: A(x) = arccos(1 −2x2) puis
B(x) = arctan r1−x
1 + x, D(x) = arctan x+arctan 1 x, F (x) = arccos(cos x)+ arccos[cos(2x)] 2.
Exercice 2.5
D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction fd´efinie par:
f(x) = arcsin(2xp1−x2).
1) Montrer que fest impaire. D´eterminer le domaine de continuit´e et celui de d´erivabilit´e de f.
2) Calculer la d´eriv´ee de fsur son domaine de d´erivabilit´e.
Exercice 2.6
Soient fet gd´efinies sur Rpar
f(x) = ex+e−x
2, g(x) = ex−e−x 2.
Ces deux fonctions s’appellent respectivement cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, on
les note par f(x) = chxet g(x) = shx.

1) Montrer que les deux fonctions sont infiniment d´erivables sur R. Calculer leurs d´eriv´ees et
tracer les deux fonctions.
2) V´erifier que ch2x= 1 + sh2xpour tout x∈R.
3) Montrer que chxest bijective de R+dans [1,∞[. On note la fonction r´eciproque par argch :
[1,∞[→[0,∞[. Sur quel intervalle la fonction argch est d´erivable?
4) Montrer que (argch)0(x)=1/√x2−1 pour x > 1.
5) De mˆeme, montrer que shxest une bijection de Rdans R. Notons sa fonction r´eciproque par
argsh, montrer que argsh est d´erivable sur Ret d´eterminer sa d´eriv´ee.
6) Tracer les courbes de argch et de argsh.
7) Montrer que
argchx= ln x+px2−1∀x≥1; argshx= ln x+px2+ 1∀x∈R.
Exercice 2.7
Soit thx= shx/chx, la fonction appel´ee tangente hyperbolique.
1) O`u est d´efinie la fonction th?
2) Montrer que th est strictement croissante sur Ret que th(R) = ]−1,1[.
3) Notons argth la fonction r´eciproque de la fonction th. Montrer que
argthx=1
2ln 1 + x 1−x∀x∈]−1,1[.
Calculer (argth)0(x) sur ]−1,1[. En d´eduire sa d´eriv´ee d’ordre 2009.
4) Tracer les courbes de th et argth.
Exercice 2.8
R´esoudre les ´equations suivantes:
arcsin x= arcsin 2
5+ arcsin 3 5,arcsin(2x)−arcsin x= arcsin(√3x),3chx+ 2shx= 4.
Exercice 2.9
Calculer la d´eriv´ee des fonctions suivantes:
arccos 1
chx,arctan(thx),argchpx2−1,argth(arctan x),arctan x+px2−1.
Exercice 2.10
Montrer que
0<arcsin x < x
1−x2si 0 <x<1,arctan a > a 1 + a2∀a > 0,lim
x→1−
arccos x
√1−x2= 1.
Exercice 2.11
Simplifier les fonctions suivantes sur leur domaine de d´efinition.
f(x) = argchr1 + chx
2,puis g(x) = argthx2−1 x2+ 1.
Exercice 2.12
Soit fde Rdans R, d´efinie par f(x)=2xex2.
1) Montrer que fr´ealise une bijection de Rdans R, montrer que f−1est d´erivable.
2) D´eterminer f−1(0) et (f−1)0(0).
3) Montrer que f−1est deux fois d´erivable et calculer (f−1)00(0).

3 Formule de Taylor et D´eveloppements Limit´es
Exercice 3.1
Soit fune fonction deux fois d´erivable au point x0∈R. D´eterminer la limite ´eventuelle quand
htend vers 0 de 2f(x0+ 3h)+3f(x0+ 2h)−5fx0+12
5h
h2.
Exercice 3.2
Soit f(x) = ex10 , calculer f(2009)(0) puis f(2010)(0).
Exercice 3.3
Soit fune fonction C∞sur Rv´erifiant f(n)(0) = 0, ∀n∈N. Supposons que f(n)(x)≤n! pour
tout x∈Ret tout n∈N.
1) Montrer par la formule de Taylor-Lagrange que f(x) = 0 pour x∈]−1,1[.
2) En d´eduire que ∀x∈R,f(x) = 0.
Exercice 3.4
Soit fune fonction d´erivable de Rdans R. On consid`ere la relation suivante:
∀a, h ∈R, f(a+h)−f(a−h)=2hf0(a).(P)
1) Soit φ(x) = Ax2+Bx +Ci.e. φ∈R2[x], montrer que φsatisfait (P).
2) Supposons que fest une fonction de classe C3v´erifiant (P). Ecrire la formule de Taylor-
Lagrange `a l’ordre 2 pour fentre a+het a, puis entre a−het a. En d´eduire que f(3)(a) = 0.
Montrer que fest un polynˆome de degr´e ≤2.
3) Soit fune fonction d´erivable sur Rqui v´erifie (P). Montrer que
f0(x) = f(x+ 1) −f(x−1)
2,∀x∈R.
En d´eduire que fest de classe C∞sur R. Que peut on dire sur f?
Exercice 3.5
D´eterminer le d´eveloppement limit´e au voisinage de 0 des fonctions suivantes `a l’ordre indiqu´e
entre parenth`ese:
tan x(5); tan2x(6); x
sin x(4); ln(1 + x) 1 + x(3); ln(1 + xsin x) (4); ln x sin x(3);
ecos x(4); x
cos x(4); earctan x
x(3); arctan2x(6); 1
√1 + tan x(3); (cos x)x(3).
Exercice 3.6
D´eterminer le d´eveloppement limit´e
1) au voisinage de x=π
4`a l’ordre 4 de (cos 2x)2;
2) au voisinage de x= 1 `a l’ordre 4 de xex.
Exercice 3.7
Soit la fonction fvalant 1 en 0 et d´efinie par :
f(x) = sin x
x−2x2,si x6= 0.