Calcul de l`intégrale de Dirichlet

D´eveloppement n◦8/74 Benjamin Groux
Calcul de l’int´egrale de Dirichlet
Mon d´eveloppement
Proposition. On a :
Z+∞
0
sin t
tdt =π 2.
On note
F:[0,+∞[→R
x7→ R+∞
0e−xt sin t
tdt et f:R+×R∗
+→R
(x, t)7→ e−xt sin t
t
.
La fonction Fest bien d´efinie sur [0,+∞[.
En effet, pour tout x > 0, la fonction f(x, .) est continue sur ]0,+∞[, se prolonge par
continuit´e en 0 par f(x, 0) = 1 et quand t→+∞,f(x, t) = O1
t2. Donc f(x, .) est
int´egrable sur ]0,+∞[ pour tout x > 0.
De plus, pour tout A≥1, on a
ZA
1
sin t
tdt =−cos t tA
1
−ZA
1
cos t
t2dt
d’apr`es la formule d’int´egration par parties appliqu´ee aux fonctions t7→ − cos tet t7→ 1
t.
Or la fonction t7→ cos t
t2est continue sur [1,+∞[ et quand t→+∞,cos t t2=O1 t2, donc
t7→ cos t
t2est int´egrable sur [1,+∞[. Quand A→+∞, l’int´egrale RA
1
sin t
tdt admet donc une
limite ´egale `a cos 1 −R+∞
1
cos t
t2dt. On peut donc d´efinir ´egalement F(0).
Ensuite,
–fest de classe C1sur R∗
+×R∗ +,
– pour tous x, t ∈R∗
+, on a ∂f
∂x (x, t) = −e−xt sin t,
– pour tout compact [a, b] inclus dans R∗
+, tout x∈[a, b] et tout t∈R∗ +, on a
∂f
∂x (x, t)
≤e−at .
D’apr`es le th´eor`eme de d´erivation sous le signe int´egral, Fest donc C1sur R∗
+et pour tout
x > 0, on a
F′(x) = −Z+∞
0
e−xt sin t dt =−Im Z+∞
0
e−(x−i)tdt=−Im 1
x−i=−Im x+i x2+ 1=−1 x2+ 1 .
Il existe donc C∈Rtel que pour tout x∈R,F(x) = C−Arctan x. Or, il est clair que pour
tout x > 0,
|F(x)| ≤ Z+∞
0
e−xt dt =1
x
donc Fadmet une limite en +∞´egale `a 0, donc C=π
2.
Finalement, pour tout x > 0, on a
F(x) = π
2−Arctan x . (1)
1

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De plus, en notant
G:[0,+∞[→R
t7→ Rt
0
sin u
udu ,
on a F(x) = R+∞
0e−xtG′(t)dt pour tout x≥0.
Soient alors 0 < a < b. En int´egrant par parties sur [a, b], on obtient
Zb
a
e−xtG′(t)dt =e−xtG(t)b
a+xZb
a
e−xtG(t)dt .
En faisant tendre a→0 et b→+∞, on obtient alors F(x) = xR+∞
0e−xtG(t)dt. Ainsi,
|F(x)−F(0)|=xZ+∞
0
e−xt(G(t)−F(0)) dt =Z+∞
0
e−uGu
x−F(0)du
.
Or, Gadmet une limite en +∞´egale `a F(0). ´ Etant de plus continue sur R+, la fonction G
est donc born´ee sur R+. Ainsi,
– pour tout u > 0, quand x→0, e−uGu
x−F(0)tend vers 0,
– pour tous u > 0 et x > 0, on a e−uGu
x−F(0)≤e−u(kGk∞+|F(0)|).
D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, quand x→0,
Z+∞
0
e−uGu
x−F(0)du
tend vers 0, donc F(x) admet une limite ´egale `a F(0).
En utilisant (1), on en conclut que F(0) = π
2.
R´ef´erences
J’ai utilis´e [FGN10, p. 214]. On peut aussi consulter [FGN10, p. 217].
Le¸cons correspondantes
J’utilise ce d´eveloppement pour les le¸cons 236, 239.
Remarques
– Le niveau de ce d´eveloppement est relativement bas. De plus, il y a d’autres choses
int´eressantes `a proposer dans les le¸cons 236 et 239.
– La fonction t7→ sin t
tn’est pas int´egrable sur [0,+∞[. En effet, pour tous n∈Net
t∈nπ +π
6,(n+ 1)π−π 6, on a
|sin t|
t≥1 2t≥1 2(n+ 1)π
donc
Z+∞
0
sin t
t
dt =
+∞
X
n=0 Z(n+1)π
nπ 
sin t
t
dt ≥
+∞
X
n=0
2π
3
1
2(n+ 1)π= +∞.
L’int´egrale R+∞
0
sin t
tdt est donc ≪impropre ≫.
2

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Figure 1 – Non-int´egrabilit´e de la fonction t7→ sin t
t.
– L’id´ee sous-jacente dans ce d´eveloppement est que la transform´ee de Laplace de la
fonction sin est t7→ 1
t2+1 , donc t7→ sin t test la transform´ee de Laplace inverse de
x7→ R+∞
x
dt
t2+1 .
– Il existe de nombreuses autres mani`eres de calculer l’int´egrale de Dirichlet. Par exemple,
– on peut appliquer la formule de Cauchy `a la fonction z7→ eiz
zet au contour C1ou
C2ci-dessous ;
– on peut aussi l’appliquer `a la fonction z7→ eiz −1
zet choisir comme contour un demi-
cercle ;
– de la mˆeme mani`ere, on peut appliquer la formule de Green-Riemann `a la forme
diff´erentielle
ω=e−y
x2+y2[(xsin x−ycos x)dx + (xcos x+ysin x)dy]
et au contour C2ci-dessous ;
Figure 2 – Contours C1et C2.
– on peut montrer que la suite de terme g´en´eral
Zπ/2
0
sin((2n+ 1)t)
sin tdt
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est constante, puis, en appliquant le lemme de Riemann-Lebesgue, que
lim
n→+∞ Zπ/2
0
sin((2n+ 1)t)
tdt −Zπ/2
0
sin((2n+ 1)t)
sin tdt!= 0 ;
– on peut aussi int´egrer f: (x, t)7→ e−xt sin xsur un domaine [ε, T ]×[0,+∞[ ;
– on peut montrer que pour tout x > 0,
Zπ/2
0
e−xcos(t)cos(xsin(t)) dt =π
2−Zx
0
sin t
tdt ;
– on peut utiliser les transform´ees de Laplace d’une autre mani`ere (voir [FGN10, p.
217]).
Questions possibles
1. Montrer que la fonction t7→ sin t
tn’est pas int´egrable sur [0,+∞[.
2. Que peut-on dire de l’int´egrale R+∞
0
cos t
tdt ?
3. Montrer que
Z+∞
0
sin t
tdt =Z+∞
0sin t
t2
dt .
4. Montrer que pour tout x > 0, on a
Z+∞
x
sin t
tdt
≤2
x.
5. Calculer la somme +∞
X
n=1
1
nZ+∞
2nπ
sin t
tdt .
R´ef´erences
[FGN10] Serge Francinou, Herv´e Gianella et Serge Nicolas :Exercices de
math´ematiques, Oraux X-ENS, Analyse 3. Cassini, 2010.
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