Calcul de l`intégrale de Dirichlet

Développement n◦ 8/74
Benjamin Groux
Calcul de l’intégrale de Dirichlet
Mon développement
Proposition. On a :
Z
+∞
0
π
sin t
dt = .
t
2
On note
F :
[0, +∞[ →
R
R +∞ −xt sin t
x
7→ 0 e
dt
t
et
f:
R+ × R∗+ →
R
−xt sin t .
(x, t)
7→ e
t
La fonction F est bien définie sur [0, +∞[.
En effet, pour tout x > 0, la fonction f (x, .) est continue sur ]0, +∞[,
se prolonge par
1
continuité en 0 par f (x, 0) = 1 et quand t → +∞, f (x, t) = O t2 . Donc f (x, .) est
intégrable sur ]0, +∞[ pour tout x > 0.
De plus, pour tout A ≥ 1, on a
Z
1
A
A Z A
cos t
sin t
cos t
−
dt = −
dt
t
t 1
t2
1
d’après la formule d’intégration par parties appliquée aux fonctions t 7→ −
cos t et t 7→ 1t .
t
t
Or la fonction t 7→ cos
est continue sur [1, +∞[ et quand t → +∞, cos
= O t12 , donc
t2
t2
R
A
t
t 7→ cos
est intégrable sur [1, +∞[. Quand A → +∞, l’intégrale 1 sint t dt admet donc une
t2
R +∞ cos t
dt. On peut donc définir également F (0).
limite égale à cos 1 − 1
t2
Ensuite,
– f est de classe C 1 sur R∗+ × R∗+ ,
– pour tous x, t ∈ R∗+ , on a ∂f
(x, t) = −e−xt sin t,
∂x
– pour tout compact [a, b] inclus dans R∗+ , tout x ∈ [a, b] et tout t ∈ R∗+ , on a
∂f
(x, t) ≤ e−at .
∂x
D’après le théorème de dérivation sous le signe intégral, F est donc C 1 sur R∗+ et pour tout
x > 0, on a
Z +∞
Z +∞
−1
x+i
1
′
−xt
−(x−i)t
= − Im
= 2
F (x) = −
.
e sin t dt = − Im
e
dt = − Im
2
x−i
x +1
x +1
0
0
Il existe donc C ∈ R tel que pour tout x ∈ R, F (x) = C − Arctan x. Or, il est clair que pour
tout x > 0,
Z +∞
1
|F (x)| ≤
e−xt dt =
x
0
donc F admet une limite en +∞ égale à 0, donc C = π2 .
Finalement, pour tout x > 0, on a
F (x) =
π
− Arctan x .
2
1
(1)
Développement n◦ 8/74
Benjamin Groux
De plus, en notant
G:
[0, +∞[ →
R
R t sin u
,
t
7→ 0 u du
R +∞
on a F (x) = 0 e−xt G′ (t) dt pour tout x ≥ 0.
Soient alors 0 < a < b. En intégrant par parties sur [a, b], on obtient
Z b
Z b
−xt
b
−xt ′
e−xt G(t) dt .
e G (t) dt = e G(t) a + x
a
a
R +∞
En faisant tendre a → 0 et b → +∞, on obtient alors F (x) = x 0 e−xt G(t) dt. Ainsi,
Z +∞
Z +∞
u
−xt
−u
− F (0) du .
G
|F (x) − F (0)| = x e (G(t) − F (0)) dt = e
x
0
0
Or, G admet une limite en +∞ égale à F (0). Étant de plus continue sur R+ , la fonction G
est donc bornée sur R+ . Ainsi,
– pour tout u > 0, quand x → 0, e−u G ux − F (0) tend vers 0,
– pour tous u > 0 et x > 0, on a e−u G ux − F (0) ≤ e−u (kGk∞ + |F (0)|).
D’après le théorème de convergence dominée, quand x → 0,
Z +∞
u
e−u G
− F (0) du
x
0
tend vers 0, donc F (x) admet une limite égale à F (0).
En utilisant (1), on en conclut que F (0) = π2 .
Références
J’ai utilisé [FGN10, p. 214]. On peut aussi consulter [FGN10, p. 217].
Leçons correspondantes
J’utilise ce développement pour les leçons 236, 239.
Remarques
– Le niveau de ce développement est relativement bas. De plus, il y a d’autres choses
intéressantes à proposer dans les leçons 236 et 239.
– La fonction
t 7→ sint t n’est
pas intégrable sur [0, +∞[. En effet, pour tous n ∈ N et
π
π
t ∈ nπ + 6 , (n + 1)π − 6 , on a
1
1
| sin t|
≥
≥
t
2t
2(n + 1)π
donc
Z
+∞
0
L’intégrale
+∞ Z (n+1)π +∞
X
X
sin t sin t 2π
1
dt =
dt ≥
= +∞ .
t t 3 2(n + 1)π
n=0 nπ
n=0
R +∞
0
sin t
t
dt est donc
≪
impropre ≫ .
2
Développement n◦ 8/74
Benjamin Groux
Figure 1 – Non-intégrabilité de la fonction t 7→
sin t
.
t
– L’idée sous-jacente dans ce développement est que la transformée de Laplace de la
fonction sin est t 7→ t21+1 , donc t 7→ sint t est la transformée de Laplace inverse de
R +∞
x 7→ x t2dt+1 .
– Il existe de nombreuses autres manières de calculer l’intégrale de Dirichlet. Par exemple,
iz
– on peut appliquer la formule de Cauchy à la fonction z 7→ ez et au contour C1 ou
C2 ci-dessous ;
iz
– on peut aussi l’appliquer à la fonction z 7→ e z−1 et choisir comme contour un demicercle ;
– de la même manière, on peut appliquer la formule de Green-Riemann à la forme
différentielle
ω=
e−y
[(x sin x − y cos x) dx + (x cos x + y sin x) dy]
x2 + y 2
et au contour C2 ci-dessous ;
Figure 2 – Contours C1 et C2 .
– on peut montrer que la suite de terme général
Z
0
π/2
sin((2n + 1)t)
dt
sin t
3
Développement n◦ 8/74
Benjamin Groux
est constante, puis, en appliquant le lemme de Riemann-Lebesgue, que
!
Z π/2
Z π/2
sin((2n + 1)t)
sin((2n + 1)t)
lim
dt −
dt = 0 ;
n→+∞
t
sin t
0
0
– on peut aussi intégrer f : (x, t) 7→ e−xt sin x sur un domaine [ε, T ] × [0, +∞[ ;
– on peut montrer que pour tout x > 0,
Z
π/2
−x cos(t)
e
0
π
cos(x sin(t)) dt = −
2
Z
x
0
sin t
dt ;
t
– on peut utiliser les transformées de Laplace d’une autre manière (voir [FGN10, p.
217]).
Questions possibles
sin t
t
n’est pas intégrable sur [0, +∞[.
R +∞ cos t
2. Que peut-on dire de l’intégrale 0
dt ?
t
1. Montrer que la fonction t 7→
3. Montrer que
Z
0
+∞
sin t
dt =
t
4. Montrer que pour tout x > 0, on a
Z
5. Calculer la somme
+∞
x
Z
0
+∞
sin t
t
2
dt .
sin t 2
dt ≤ .
t
x
Z
+∞
X
1 +∞ sin t
dt .
n
t
2nπ
n=1
Références
[FGN10] Serge Francinou, Hervé Gianella et Serge Nicolas :
mathématiques, Oraux X-ENS, Analyse 3. Cassini, 2010.
4
Exercices de