Généralités sur les Fonctions réelles `a variable

G´en´eralit´es
sur
les Fonctions r´eelles `a variable r´eelle
—
MPSI Prytan´ee National Militaire
Pascal DELAHAYE
7 octobre 2016
Dans ce chapitre, nous allons nous int´eresser aux fonctions dont la variable est r´eelle mais dont les valeurs peuvent
ˆetre soit r´eelles soit complexes.
1 D´efinition, Graphe et Op´erations
D´ efinition 1 : Ensemble de d´efinition
Soit f:x7→ f(x) avec x∈Ret f(x)∈Rou C.
L’ensemble de d´efinition de la fonction fest Df={x∈R|f(x) existe}.
On pourra cependant restreindre la fonction f`a toute partie I⊂Rtelle que I⊂ Df.
Cette restriction pourra ˆetre not´ee : f|I
Exemple 1. Donner l’ensemble de d´efinition des fonctions d´efinies par les expressions suivantes :
1. f(x) = ln(1 + 2 sin x)2. g(x) = √1−x+iln(3 −x)
1−x3. h(x) = tan 1
x
D´ efinition 2 : Repr´esentation Graphique d’une fonction r´eelle
Soit f:I→R.
La repr´esentation graphique de la fonction fest l’ensemble des points du plan d´efini par
Cf={M(x, f(x)) |x∈I}
On ne d´efinit pas la repr´esentation graphique d’une fonction `a valeurs complexes.
La fonction sin La fonction x7→ x2La fonction ln
1

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D´ efinition 3 : Equation cart´esienne d’une courbe
On consid`ere le plan muni d’un rep`ere R(O, −→ i , −→ j), Cune courbe du plan et f:R2→R.
On dira que ”f(x, y) = 0” est une ´equation cart´esienne de la courbe Clorsque :
M(x, y)∈ C ⇐⇒ f(x, y) = 0
Une ´equation cart´esienne se d´etermine donc par ´equivalences successives...
Exemple 2. La repr´esentation graphique d’une fonction f∈ F(I, R) admet pour ´equation cart´esienne : y=f(x)
Exemple 3. (∗) Dans le plan muni d’un ron, d´eterminer des ´equations cart´esiennes des ensembles suivants :
1. Le cercle de centre Ω(−1,2) et de rayon R= 3
2. L’ensemble des points Mv´erifiant MH = 2OM o`u Hest le projet´e orthogonal de Msur Oy.
1.1 Transformations usuelles
Connaissant le graphe de la fonction x7→ f(x), les graphes des fonctions suivantes (o`u a∈R) s’obtiennent par des
transformations simples du plan ...
x7→ f(x) + a:x7→ f(x+a) : x7→ f(−x) :
Translation de vecteur −→ u(0, a)) Translation de vecteur −→ u(−a, 0) Sym´etrie ⊥par rapport `a Oy
x7→ f(a−x)x7→ f(ax)x7→ af(x)
Sym´etrie ⊥par rapport `a x=a
2Affinit´e ⊥d’axe 0y, de rapport 1 aAffinit´e ⊥d’axe 0x, de rapport a
Exemple 4. (∗) Tracer les repr´esentations graphiques des fonctions d´efinies par :
1. f(x) = 2 cos(1
3x) 2. g(x) = 3 ln(4 −x) 3. h(x) = e−x
2−1
2

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1.2 R´esolution graphique d’´equations et d’in´equations
Remarque 1.Les ´equations ou in´equations de la forme suivante se r´esolvent facilement graphiquement (aux erreurs
d’approximation pr`es)...
f(x) = λ f(x)≤λ f(x)≤g(x)
Exemple 5. (∗) Donner graphiquement les solutions approximatives des ´equations et in´equations suivantes :
1. x2−x+ 1 ≤0 2. ln(2x) = 3 sin x3. 2
1−x≥√2 + x
1.3 Op´erations sur les applications
D´ efinition 4 : Op´erations sur les fonctions
Dans l’ensemble F(I, K) o`u K=Rou C, on d´efinit les lois de composition internes (lci) et externe
(lce) et les op´erateurs suivants :
Loi Notation D´efinition
Addition : (f+g)∀x∈I, (f+g)(x) = f(x) + g(x)
Multiplication par un r´eel : λ.f ∀x∈I, (λf)(x) = λ×f(x)
Multiplication : f×g∀x∈I, (f×g)(x) = f(x)×g(x)
Valeur absolue (ou module) d’une fonction : |f| ∀x∈I, |f|(x) = |f(x)|
Remarque 2.
1. Les op´erations ×et + dans F(I, C) sont commutatives et associatives et ×est distributive par rapport `a +.
On dira que (F(I, C),+, .) est un R-espace vectoriel et que (F(I, C),+,×) est un anneau.
2. : f×g= 0 ne signifie pas que l’une des deux fonctions est nulle.
On dira que l’anneau (F(I, C),+,×) n’est pas int`egre.
D´ efinition 5 : Composition de deux fonctions
Soit f:I→Ret g:J→Rou C.
Lorsque pour tout x∈I, on a f(x)∈J(cela s’´ecrit f(I)⊂J) alors on peut d´efinir l’application x7→ g(f(x)).
Cette application est not´ee g◦f:
g◦f:I−→ Rou C
x7→ g(f(x))
et donc ∀x∈I, g ◦f(x) = g(f(x))
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Exemple 6. Reconnaˆıtre les fonctions qui composent les expressions suivantes :
1. a(x) = 1
sin(1 −x)2. b(x) = ln((tan2(x))) 3. c(x) = 2 + (ex−1+ 1)2
Remarque 3.La loi de composition est associative mais pas commutative.
2 Parit´e et p´eriodicit´e
2.1 Parit´e
Dans cette partie, les fonctions sont `a valeurs dans Rou C.
D´ efinition 6 : Fonctions paires, impaires
Soit f une fonction d´efinie sur un intervalle Isym´etrique par rapport `a 0.
On dit que :
fest paire ssi ∀x∈I, f(−x) = f(x)
fest impaire ssi ∀x∈I, f(−x) = −f(x)
Remarque 4.
1. Nous avons les caract´erisations graphiques suivantes :
(a) fest paire ⇐⇒ Cfsym´etrique par rapport `a Oy
(b) fest impaire ⇐⇒ Cfsym´etrique par rapport `a O
2. Si fet gsont paires (resp. impaires) alors, f+g, et λf le sont aussi.
On dira que l’ensemble des fonctions paires (resp. impaires) de F(I, R) forment un sous-espace vectoriel de
F(I, R). (Voir le cours sur les espaces vectoriels)
Fonction paire Fonction paire
Exemple 7. (∗) Etudier la parit´e de la fonction fd´efinie par f(x) = ln(√1 + x2−x).
Exercice : 1
(∗) D´emontrer que toute fonction de la variable r´eelle se d´ecompose de fa¸con unique comme somme d’une fonction
paire et d’une fonction impaire ?
Appliquer le r´esultat pr´ec´edent `a la fonction exponentielle.
2.2 P´eriodicit´e
D´ efinition 7 : Fonctions p´eriodiques
Une fonction fd´efinie sur Rest p´eriodique ssi ∃T > 0,∀x∈I, f(x+T) = f(x)
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Fonction p´eriodique
Exemple 8. (∗) V´erifier que la fonction fd´efinie par f(x) = x− ⌊x⌋est une fonction p´eriodique.
Proposition 1 : Les fonctions p´eriodiques usuelles
Si a∈R+∗et b∈R, on a :
1. x7→ cos(ax +b)
x7→ sin(ax +b)sont T=2π
ap´eriodiques 2. x7→ tan(ax +b) est T=π
ap´eriodique
Preuve 1 : Simple v´erification...
Remarque 5.
Si fet gsont p´eriodiques de mˆeme p´eriode T, alors f+g,f.g,f/g et λf sont aussi p´eriodiques de p´eriode T.
On dira que l’ensemble des fonctions p´eriodiques de F(I, R) forme une sous-alg`ebre de F(I, R).
(Voir le cours sur les espaces vectoriels)
Exemple 9. (∗) D´eterminer une p´eriode de la fonction d´efinie sur Ipar : f(x) = cos(5x+ 3)
1 + tan2(x/3).
3 Variations, Encadrements et Extrema
Dans cette partie, les fonctions sont uniquement `a valeurs dans R.
3.1 Sens de variation
D´ efinition 8 : Fonctions monotones
On dit que fest croissante sur Issi ∀(x, y)∈I2x < y ⇒f(x)≤f(y).
On dit que fest d´ecroissante sur Issi ∀(x, y)∈I2x < y ⇒f(x)≥f(y).
On dit que fest monotone ssi elle est croissante ou d´ecroissante.
On dit que fest strictement croissante sur Issi ∀(x, y)∈I2x < y ⇒f(x)< f(y).
On dit que fest strictement d´ecroissante sur Issi ∀(x, y)∈I2x < y ⇒f(x)> f(y).
Remarque 6.Une fonction constante est `a la fois croissante et d´ecroissante.
Exemple 10. Soit f:R7→ Rtelle que fof est croissante tandis que f ofof est strictement d´ecroissante.
Montrer que fest strictement d´ecroissante.
Exercice : 2
Soit fune fonction croissante de Rdans Rtelle que f◦f= idR. Montrer que f= idR.
Proposition 2 : R`egle des signes pour la composition
Soient f:I7→ Ret g:J7→ Rdeux fonctions monotones.
Si f(I)⊂J, on peut d´efinir g◦f:I7→ R.
Dans ce cas, g◦fest monotone et l’on peut utiliser une r`egle ´equivalente `a la r`egle des signes pour retrouver
la monotonie de g◦f:
f g g ◦f
ր ր ր
ր ց ց
ց ր ց
ց ց ր
Preuve 2 : Applications simples des d´efinitions pr´ec´edentes.
Exemple 11. (∗) Quel est le sens de variation de la fonction fd´efinie par f(x) = tan2xsur ] −π
2,π 2[ ?
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