1S Cours - La fonction racine carrée 0

1S Cours - La fonction racine carrée
Définition Soit  un nombre réel positif. On appelle « racine carrée de  », le nombre positif dont le carré est .
La fonction  telle que   est appelée la fonction racine carrée. Elle est définie sur 
Variations La fonction carrée est strictement croissante sur 
Valeurs de   
.
Variations de 
Un tableau de valeur
16
2
3
4
Une représentation graphique
Idées pour la preuve des variations
 Comme souvent pour les preuves de variations des fonctions de « références » :
1) On suppose que   (et forcément on a alors    et  
2) On calcule 
3) On étudie son signe
 Pour la fonction racine carrée, la preuve s’appuie sur l’utilisation  de la « quantité conjuguée » de
 car 
Preuve de l’identité :   

La preuve  
Pour     
Comme  et  sont positifs, leur somme  positive
Donc le quotient 
 donc   donc 
L’ordre est conservé donc  est croissante sur 
Application : On sait que :      encadrer 
Correction    en multipliant chaquemembre par  qui est positif
    en ajoutant  à chaque membre
Comme   et  sont dans 
Comme la fonction racine carrée est croissante sur , elle conserve l’ordre
donc 
Formules
1)   on a :  
2) Deux nombres positifs ayant le même carré sont égaux
3) Soit  un réel
 Si  , l’équation  a deux solutions distinctes  et 
 Si  , l’équation  a une seule solution 
 Si  , l’équation  n’a pas de solution
4) Pour tous les réels  et  positifs, on a :  
5) Pour tous les réels  positif et  strictement positif, on a : 
6)   on a :   
7) Pour tous les réels  et  positifs,  
Preuves
1) Par définition de « racine carrée de x » est le nombre positif dont le carré est 
2) Soit et  deux réels de même signe tels que : 
donc   donc   donc   ou  
Donc   ou    donc «  et  sont égaux » ou «  et  sont opposés »

Comme  et  sont de même signe, le cas «  et  sont opposés » n’est possible que pour    
Dans tous les cas,  et  sont égaux.
3)
Cas  
donc est le produit de deux nombres de
même signe
donc d’après la règle des signes  est
toujours positif
donc  ne pourra pas être égal au
nombre  strictement négatif
Cas  
Comme  ,  existe et on a par définition de la racine
carrée:  
   ou  
   ou  
Comme  est négatif et  est positif, le seul cas où il y a
égalité est   donc   
Pour   , les solutions sont distinctes !
4) Comme   et  , les écritures  et sont bien définies
De plus, par définition de la «racine carrée »        
 est un nombre positif (définition de « racine carrée de  »)
 est le produit de deux nombres positifs donc positif
Or d’une part  
d’autre part      
donc  et  sont positifs et ont le même carré, ils sont égaux.
5) Comme   et  , les écritures 
 et 
sont bien définies
De plus, par définition de la «racine carrée »        
 est un nombre positif (définition de « racine carrée de   »)
 est le quotient de deux nombres positifs donc positif
Or d’une part 
 (définition de « racine carrée de   »)
d’autre part 
donc 
 et 
 sont positifs et ont le même carré, ils sont égaux.
6)
Si  
On va utiliser la propriété précédente
Si  
 est donc positif. On va utiliser la propriété précédente
7) 
Donc  donc   
De plus l’égalité n’a lieu que quand   donc quand   ou  
donc quand l’un des nombres est nul !

Application
Soit  la fonction définie par 
1) Donner l’ensemble de définition de 
2) Etudier les variations de 
Correction
1)  est définie SSI    SSI       
L' ensemble de définition de  est 
2) Conjecture à l’aide de la calculatrice :
 semble décroissante sur 
Preuve :
Soit  et  dans 
 avec  . Ainsi :
 En multipliant chaque membre par  (négatif donc l’ordre change)
    En ajoutant  à chaque membre
Comme  et  et  sont dans 
Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur  (ordre conservé sur les images)
donc  donc  inverse l’ordre sur  donc est décroissante sur 