1S Cours - La fonction racine carrée 0

1S Cours - La fonction racine carrée
Définition
Soit 𝑎 un nombre réel positif. On appelle « racine carrée de 𝑎 », le nombre positif dont le carré est 𝑎.
La fonction 𝑓 telle que 𝑓: 𝑥 ↦ √𝑥 est appelée la fonction racine carrée. Elle est définie sur [0 ; +∞[
Variations
La fonction carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[
Valeurs de 𝑥
.
Variations de 𝑓
0
+∞
0
Un tableau de valeur
𝑥
0
𝑓(𝑥) 0
1
9
1
3
1
4
1
2
16
1
4
9
1
2
3
4
Une représentation graphique
Idées pour la preuve des variations
 Comme souvent pour les preuves de variations des fonctions de « références » :
1) On suppose que 𝑎 < 𝑏 (et forcément on a alors 𝑎 − 𝑏 < 0 et 𝑏 − 𝑎 > 0)
2) On calcule 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏)
3) On étudie son signe

Pour la fonction racine carrée, la preuve s’appuie sur l’utilisation √𝑎 + √𝑏 de la « quantité conjuguée » de
2
2
√𝑎 − √𝑏 car (√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏) = √𝑎 − √𝑏 = 𝑎 − 𝑏
Preuve de l’identité :
(√𝑎 + √𝑏)(√𝑎 − √𝑏) = √𝑎
2
− √𝑎 × √𝑏 + √𝑏 × √𝑎 − √𝑏
2
=𝑎−𝑏
𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) = √𝑎 − √𝑏 =
La preuve
Pour 0 ≤ 𝑎 < 𝑏
(√𝑎+√𝑏)(√𝑎−√𝑏)
√𝑎+√𝑏
=
𝑎−𝑏
√𝑎+√𝑏
𝑎−𝑏 <0
Comme √𝑎 et √𝑏 sont positifs, leur somme √𝑎 + √𝑏 positive
Donc le
𝑎−𝑏
quotient
√𝑎+√𝑏
≤0
donc
𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) ≤ 0
donc 𝑓(𝑎) ≤ 𝑓(𝑏)
L’ordre est conservé donc 𝑓 est croissante sur [0 ; +∞[
Application :
On sait que : −5 ≤ 𝑥 ≤ −3
encadrer √2𝑥 + 15
Correction
−5 ≤ 𝑥 ≤ −3
en multipliant chaquemembre par 2 qui est positif
−10 ≤ 2𝑥 ≤ −6
en ajoutant 15 à chaque membre
5 ≤ 2𝑥 + 15 ≤ 9
Comme 5, 2𝑥 + 15 et 9 sont dans [ 0 ; +∞[
Comme la fonction racine carrée est croissante sur [ 0 ; +∞[, elle conserve l’ordre
√5 ≤ √2𝑥 + 15 ≤ √9
donc √5 ≤ √2𝑥 + 15 ≤ 3
Formules
2
1) ∀𝑥 ∈ [0 ; +∞[ on a : √𝑥 = 𝑥
2) Deux nombres positifs ayant le même carré sont égaux
3) Soit 𝑎 un réel



Si 𝑎 > 0,
Si 𝑎 = 0,
Si 𝑎 < 0,
l’équation 𝑥 2 = 𝑎 a deux solutions distinctes − √𝑎 et √𝑎
l’équation 𝑥 2 = 0 a une seule solution 0
l’équation 𝑥 2 = 𝑎 n’a pas de solution
4) Pour tous les réels 𝑎 et 𝑏 positifs, on a : √𝑎𝑏 = √𝑎 × √𝑏
𝑎
√𝑎
5) Pour tous les réels 𝑎 positif et 𝑏 strictement positif, on a : √ =
𝑏
√𝑏
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
6) ∀𝑥 ∈ ℝ on a : √𝑥 2 = |𝑥| = {
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0
7) Pour tous les réels 𝑎 et 𝑏 positifs,
√𝑎 + 𝑏 ≤ √𝑎 + √𝑏
Preuves
1) Par définition de « racine carrée de x » est le nombre positif dont le carré est 𝑥
2) Soit 𝑎 et 𝑏 deux réels de même signe tels que : 𝑎2 = 𝑏 2
𝑎2 = 𝑏 2
donc 𝑎2 − 𝑏 2 = 0
donc (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 0
donc 𝑎 − 𝑏 = 0 ou 𝑎 + 𝑏 = 0
Donc 𝑎 = 𝑏 ou 𝑎 = −𝑏
donc « 𝑎 et 𝑏 sont égaux » ou « 𝑎 et 𝑏 sont opposés »
Comme 𝑎 et 𝑏 sont de même signe, le cas « 𝑎 et 𝑏 sont opposés » n’est possible que pour 𝑎 = 𝑏 = 0
Dans tous les cas, 𝑎 et 𝑏 sont égaux.
3)
Cas 𝑎 < 0
Cas 𝑎 ≥ 0
𝑥2 = 𝑥 × 𝑥
donc est le produit de deux nombres de
même signe
donc d’après la règle des signes 𝑥 2 est
toujours positif
donc 𝑥 2 ne pourra pas être égal au
nombre 𝑎 strictement négatif
Comme 𝑎 ≥ 0, √𝑎 existe et on a par définition de la racine
2
carrée: √𝑎 = 𝑎
2
𝑥 2 = 𝑎 ⇔ 𝑥 2 − √𝑎 = 0 ⇔ (𝑥 + √𝑎)(𝑥 − √𝑎) = 0
⇔ 𝑥 + √𝑎 = 0 ou 𝑥 − √𝑎 = 0
⇔ 𝑥 = −√𝑎 ou 𝑥 = √𝑎
Comme −√𝑎 est négatif et √𝑎 est positif, le seul cas où il y a
égalité est √𝑎 = 0 donc 𝑎 = √𝑎 × √𝑎 = 0
Pour 𝑎 > 0, les solutions sont distinctes !
4) Comme 𝑎 ≥ 0 et 𝑏 ≥ 0, les écritures √𝑎𝑏 et √𝑎 × √ 𝑏 sont bien définies
2
2
2
De plus, par définition de la «racine carrée » √𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
√𝑎 = 𝑎
√𝑎𝑏 est un nombre positif (définition de « racine carrée de 𝑎𝑏 »)
√𝑏 = 𝑏
√𝑎 × √𝑏 est le produit de deux nombres positifs donc positif
2
√𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
Or d’une part
d’autre part
2
2
2
(√𝑎 × √𝑏) = √𝑎 × √𝑏 × √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × √𝑎 × √𝑏 × √𝑏 = √𝑎 × √𝑏 = 𝑎 × 𝑏
donc √𝑎𝑏 et √𝑎 × √𝑏 sont positifs et ont le même carré, ils sont égaux.
𝑎
5) Comme 𝑎 ≥ 0 et 𝑏 ≥ 0, les écritures √𝑏 et
√𝑎
√𝑏
sont bien définies
2
𝑎
2
2
De plus, par définition de la «racine carrée » √𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
√𝑎 = 𝑎
√𝑏 = 𝑏
𝑎
√𝑏 est un nombre positif (définition de « racine carrée de 𝑏 »)
√𝑎
√𝑏
est le quotient de deux nombres positifs donc positif
𝑎
d’autre part
𝑎
donc √𝑏 et
√𝑎
√𝑏
2
𝑎
𝑎
√𝑏 = 𝑏 (définition de « racine carrée de 𝑏 »)
Or d’une part
√𝑎
√𝑏
2
( ) =
√𝑎
√𝑏
×
√𝑎
√𝑏
=
√𝑎×√𝑎
√𝑏×√𝑏
=
√𝑎
√𝑏
2
2
𝑎
=𝑏
sont positifs et ont le même carré, ils sont égaux.
6)
Si 𝑥 ≥ 0
On va utiliser la propriété précédente
2
√𝑥 2 = √𝑥 × 𝑥 = √𝑥 × √𝑥 = √𝑥 = 𝑥
7)
Si 𝑥 ≤ 0
−𝑥 est donc positif. On va utiliser la propriété précédente
2
√𝑥 2 = √(−𝑥) × (−𝑥) = √−𝑥 × √−𝑥 = √−𝑥 = −𝑥
√𝑎+𝑏+(√𝑎+√𝑏)
√𝑎 + 𝑏 − (√𝑎 + √𝑏) = (√𝑎 + 𝑏 − (√𝑎 + √𝑏)) × √𝑎+𝑏+(√𝑎+√𝑏) =
=
2
2
√𝑎+𝑏 −(√𝑎+√𝑏) 𝑎+𝑏−(𝑎+𝑏+2 √𝑎×√𝑏)
√𝑎+𝑏+√𝑎+√𝑏
√𝑎+𝑏+√𝑎+√𝑏
−2 √𝑎×√𝑏
√𝑎+𝑏+√𝑎+√𝑏
Donc √𝑎 + 𝑏 − (√𝑎 + √𝑏) ≤ 0
donc √𝑎 + 𝑏 ≤ √𝑎 + √𝑏
De plus l’égalité n’a lieu que quand −2 √𝑎 × √𝑏 = 0 donc quand √𝑎 = 0 ou √𝑏 = 0
donc quand l’un des nombres est nul !
Application
Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = √−3𝑥 + 5
1) Donner l’ensemble de définition de 𝑓
2) Etudier les variations de 𝑓
Correction
1) 𝑓 est définie
SSI
−3𝑥 + 5 ≥ 0
−3𝑥 ≥ −5
SSI
𝑆𝑆𝐼
5
𝑥 ≤ − −3
𝑆𝑆𝐼
5
L' ensemble de définition de 𝑓 est ] − ∞ ; 3 ]
2) Conjecture à l’aide de la calculatrice :
5
𝑓 semble décroissante sur ] − ∞ ; 3 ]
Preuve :
5
3
Soit 𝑢 et 𝑣 dans ] − ∞ ; ] avec 𝑢 < 𝑣. Ainsi :
5
𝑢<𝑣≤3
En multipliant chaque membre par −3 (négatif donc l’ordre change)
−3𝑢 > −3𝑣 ≥ −5
−3𝑢 + 5 > −3𝑣 + 5 ≥ 0
En ajoutant 5 à chaque membre
5
Comme 0 et − 3𝑢 + 5 et −3𝑣 + 5 sont dans ] − ∞ ; 3 ]
Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 ; +∞[ (ordre conservé sur les images)
√−3𝑢 + 5 > √−3𝑣 + 5 ≥ √0
5
donc 𝑓(𝑢) > 𝑓(𝑣) donc 𝑓 inverse l’ordre sur ] − ∞ ; 0] donc 𝑓 est décroissante sur ] − ∞ ; 3 ]
5
𝑥≤3