TD: Mouvement d`une balle de tennis

TD: Mouvement d’une balle de tennis
1 Position du probl`eme
Soit une balle de tennis envoy´ee du fond du court avec une vitesse initiale de 30 m.s−1vers le haut avec
un angle de θ= 18◦par rapport `a l’horizontale.
1. On n´eglige le frottement de l’air. Tracer la trajectoire et trouver la port´ee et l’altitude maximale de la
balle.
2. La balle est maintenant soumise `a une force de frottement ~ F=−k.v2.~v
||~v|| ; cette force est colin´eaire `a la
vitesse et en sens oppos´ee.
On montre que k=Cx.µ.S o`u Cxest un coefficient sans dimension (on prendra 0,3), µla masse
volumique du fluide (ici l’air) et Sla section transversale de la balle.
Calculer kpour une balle de 78 mm de diam`etre, l’air ´etant `a 20◦C, assimilable `a un gaz parfait de
masse molaire apparente M= 29 g.mol−1, et la pression atmosph´erique ´etant P= 105Pa.
La masse de la balle est m= 55 g.
3. Tracer la nouvelle trajectoire de la balle et comparer les r´esultats.
4. Faire varier l’angle θ. Trouver num´eriquement l’angle assurant la port´ee maximale.
Solution:
1. Syst`eme: la balle; r´ef´erentiel: li´e `a la Terre (consid´er´e comme galil´een); bilan: poids.
En prenant zla verticale montante, on a:
••
x= 0
••
z=−g⇒•
x=v0.cos θ
•
z=−g.t +v0.sin θ⇒x=v0.cos θ.t
z=−1
2.g.t2+v0.sin θ.t
2. k=Cx.P.M
R.T .π.d2 4
3. Syst`eme: la balle; r´ef´erentiel: li´e `a la Terre (consid´er´e comme galil´een); bilan: poids + frottement.
m.•• x=−k.q(• x)2+ (• z)2.• x
m.•• z=−m.g −k.q(• x)2+ (• z)2.• z
4. En l’absence de frottement, z= 0 ⇒t=2.v0.sin θ
g⇒xmax =v0.cos θ. 2.v0.sin θ g=v2
0.sin(2.θ)
gqui passe par
un maximum (v2
0
g)pour θ=π 4.
En pr´esence de frottement, il faut chercher `a r´esoudre num´eriquement z= 0.
2 Code avec Mathematica
Tennis
Version symbolique
In[1]:= g=9.81;v0=30;theta=18 Degree; x=.;y=.;z=.;t=.;
ax=0; vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.; az=-g;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
DSolve[{x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0},x[t],t]; %[[1]]; Xvide=x[t]/.%
DSolve[{z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},z[t],t]; %[[1]]; Zvide=z[t]/.%
ParametricPlot[{Xvide,Zvide},{t,0,2}];
Out[7]= 0. + 28.5317 t
Out[10]= 0. + 9.27051 t - 4.905 t2
Version num´erique
1

ISEN-Brest. Kany. TD: Mouvement d’une balle de tennis
In[12]:= g=9.81;v0=30;theta=18 Degree; x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=2;
ax=0; vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.; az=-g;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
NDSolve[{x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},{x[t],z[t]},
{t,0,tmax}]; Xvide=x[t]/.%[[1]][[1]]; Zvide=z[t]/.%%[[1]][[2]];
In[19]:= g=9.81;v0=30;theta=18 Degree; x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=2;
Cx=0.3;m=N[55 10^-3];d=N[78 10^-3];T=293;M=N[29 10^-3];P=10^5;
R=8.31;mu=P M /(R T); S=N[Pi d^2/4]; k=Cx mu S;
ax=-k Sqrt[x’[t]^2+z’[t]^2] x’[t]/m;vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.;
az=-g-k Sqrt[x’[t]^2+z’[t]^2] z’[t]/m;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
NDSolve[{x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},{x[t],z[t]},
{t,0,tmax}]; X=x[t]/.%[[1]][[1]]; Z=z[t]/.%%[[1]][[2]];
In[28]:= ParametricPlot[{{X,Z},{Xvide,Zvide}},{t,0,tmax}]
Out[28]=
dans le vide
dans l’air distance [m]
altitude [m]
Port´ee maximale
In[29]:=g=9.81;v0=30; theta=.;PorteeVide=.;PorteeVide[theta ]=.;
PorteeVide[theta ]:=( x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=200;tmp=.;
ax=0; vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.; az=-g;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
tmp=NDSolve[{x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},
{x[t],z[t]},{t,0,tmax}]; Xvide=x[t]/.tmp[[1]][[1]]; Zvide=z[t]/.tmp[[1]][[2]];
tmp=FindRoot[Zvide==0,{t,tmax}]; Xvide/.tmp)
In[32]:=g=9.81;v0=30; Cx=0.3;m=N[55 10^-3];d=N[78 10^-3];T=293;M=N[29 10^-3];P=10^5;
R=8.31;mu=P M /(R T); S=N[Pi d^2/4]; k=Cx mu S;
theta=.;Portee=.;Portee[theta ]=.;
Portee[theta ]:=( x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=200;tmp=.;
ax=-k Sqrt[x’[t]^2+z’[t]^2] x’[t]/m;vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.;
az=-g-k Sqrt[x’[t]^2+z’[t]^2] z’[t]/m;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
tmp=NDSolve[{x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},
{x[t],z[t]},{t,0,tmax}]; X=x[t]/.tmp[[1]][[1]]; Z=z[t]/.tmp[[1]][[2]];
tmp=FindRoot[Z==0,{t,tmax}]; X/.tmp)
In[37]:= Plot[{PorteeVide[theta Degree],Portee[theta Degree]},{theta,1,60}]
2

ISEN-Brest. Kany. TD: Mouvement d’une balle de tennis
Out[37]=
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*-
import numpy as np
from pylab import unicode
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
3

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