TD: Mouvement d`une balle de tennis

TD: Mouvement d’une balle de tennis
1 Position du problème
Soit une balle de tennis envoyée du fond du court avec une vitesse initiale de 30 m.s−1 vers le haut avec
un angle de θ = 18◦ par rapport à l’horizontale.
1. On néglige le frottement de l’air. Tracer la trajectoire et trouver la portée et l’altitude maximale de la
balle.
2. La balle est maintenant soumise à une force de frottement F~ = −k.v 2 . ||~~vv|| ; cette force est colinéaire à la
vitesse et en sens opposée.
On montre que k = Cx .µ.S où Cx est un coefficient sans dimension (on prendra 0,3), µ la masse
volumique du fluide (ici l’air) et S la section transversale de la balle.
Calculer k pour une balle de 78 mm de diamètre, l’air étant à 20◦ C, assimilable à un gaz parfait de
masse molaire apparente M = 29 g.mol−1 , et la pression atmosphérique étant P = 105 Pa.
La masse de la balle est m = 55 g.
3. Tracer la nouvelle trajectoire de la balle et comparer les résultats.
4. Faire varier l’angle θ. Trouver numériquement l’angle assurant la portée maximale.
Solution:
1. Système: la balle; référentiel: lié à la Terre (considéré comme galiléen); bilan: poids.
En prenant z la
montante, on a:
verticale
•
••
x = v0 . cos θ
x=0
x = v0 . cos θ.t
⇒
⇒ •
••
z = − 12 .g.t2 + v0 . sin θ.t
z = −g.t + v0 . sin θ
z = −g
2
π.d
2. k = Cx . P.M
R.T . 4
3. Système:
la balle;
q référentiel: lié à la Terre (considéré comme galiléen); bilan: poids + frottement.

•
•
•
 m.••
x = −k. (x)2 + (z)2 .x
q
•
•
•
 m.••
z = −m.g − k. (x)2 + (z)2 .z
4. En l’absence de frottement, z = 0 ⇒ t =
v2
( g0 )
2.v0 . sin θ
g
⇒ xmax = v0 . cos θ. 2.v0 .gsin θ =
v02 . sin(2.θ)
g
π
4.
un maximum
pour θ =
En présence de frottement, il faut chercher à résoudre numériquement z = 0.
2 Code avec Mathematica
Tennis
Version symbolique
In[1]:= g=9.81;v0=30;theta=18 Degree; x=.;y=.;z=.;t=.;
ax=0; vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.; az=-g;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
DSolve[{x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0},x[t],t]; %[[1]]; Xvide=x[t]/.%
DSolve[{z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},z[t],t]; %[[1]]; Zvide=z[t]/.%
ParametricPlot[{Xvide,Zvide},{t,0,2}];
Out[7]= 0.
Out[10]= 0.
+ 28.5317 t
+ 9.27051 t - 4.905 t2
Version numérique
1
qui passe par
ISEN-Brest. Kany.
TD: Mouvement d’une balle de tennis
In[12]:= g=9.81;v0=30;theta=18 Degree; x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=2;
ax=0; vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.; az=-g;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
NDSolve[{ x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},{x[t],z[t]},
{t,0,tmax}]; Xvide=x[t]/.%[[1]][[1]]; Zvide=z[t]/.%%[[1]][[2]];
In[19]:= g=9.81;v0=30;theta=18 Degree; x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=2;
Cx=0.3;m=N[55 10^-3];d=N[78 10^-3];T=293;M=N[29 10^-3];P=10^5;
R=8.31;mu=P M /(R T); S=N[Pi d^2/4]; k=Cx mu S;
ax=-k Sqrt[x’[t]^2+z’[t]^2] x’[t]/m;vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.;
az=-g-k Sqrt[x’[t]^2+z’[t]^2] z’[t]/m;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
NDSolve[{ x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},{x[t],z[t]},
{t,0,tmax}]; X=x[t]/.%[[1]][[1]]; Z=z[t]/.%%[[1]][[2]];
In[28]:= ParametricPlot[{{X,Z},{Xvide,Zvide}},{t,0,tmax}]
Out[28]=
altitude [m]
dans le vide
dans l’air
distance [m]
Portée maximale
In[29]:=g=9.81;v0=30; theta=.;PorteeVide=.;PorteeVide[theta ]=.;
PorteeVide[theta ]:=( x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=200;tmp=.;
ax=0; vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.; az=-g;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
tmp=NDSolve[{ x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},
{x[t],z[t]},{t,0,tmax}]; Xvide=x[t]/.tmp[[1]][[1]]; Zvide=z[t]/.tmp[[1]][[2]];
tmp=FindRoot[Zvide==0,{t,tmax}]; Xvide/.tmp)
In[32]:=g=9.81;v0=30; Cx=0.3;m=N[55 10^-3];d=N[78 10^-3];T=293;M=N[29 10^-3];P=10^5;
R=8.31;mu=P M /(R T); S=N[Pi d^2/4]; k=Cx mu S;
theta=.;Portee=.;Portee[theta ]=.;
Portee[theta ]:=( x=.;y=.;z=.;t=.;tmax=200;tmp=.;
ax=-k Sqrt[x’[t]^2+z’[t]^2] x’[t]/m;vx0=N[v0*Cos[theta]];x0=0.;
az=-g-k Sqrt[x’[t]^2+z’[t]^2] z’[t]/m;vz0=N[v0*Sin[theta]];z0=0.;
tmp=NDSolve[{ x’’[t]==ax,x’[0]==vx0,x[0]==x0, z’’[t]==az,z’[0]==vz0,z[0]==z0},
{x[t],z[t]}, {t,0,tmax}]; X=x[t]/.tmp[[1]][[1]]; Z=z[t]/.tmp[[1]][[2]];
tmp=FindRoot[Z==0,{t,tmax}]; X/.tmp)
In[37]:= Plot[{PorteeVide[theta Degree],Portee[theta Degree]}, {theta,1,60}]
2
ISEN-Brest. Kany.
TD: Mouvement d’une balle de tennis
Out[37]=
3 Code avec Python
# -*- coding: utf-8 -*import numpy as np
from pylab import unicode
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
5
dans le vide
dans l'air
4
z [m]
3
2
1
00
10
20
30
x [m]
40
50
60
3
ISEN-Brest. Kany.
100
TD: Mouvement d’une balle de tennis
dans le vide
dans l'air
portée [m]
80
60
40
20
00
10
20
30
angle [deg]
40
50
60
4