BAILLY Balé CHAPITRE 1: INTEGRALE INDEFINIE I. Primitive et

BAILLY Balé
CHAPITRE 1: INTEGRALE INDEFINIE
I. Primitive et intégrale indé…nie
I. 1. Notion de primitive.
L’un des principaux problèmes du calcul di¤érentiel est la recherche de la
dérivée d’une fonction donnée. De nombreux problèmes d’analyse mathématique
et les innombrables applications de cette dernière à la géométrie, la mécanique,
la physique et la technique conduisent au problème inverse, c’est à dire à la
détermination d’une fonction F(x)dont la dérivée F0(x)est égale à une fonction
f(x)donnée.
La détermination d’une fonction dont on connaît la dérivée est un problème
fondamental du calcul intégral.
Dé…nition1.
On dit qu’une fonction F(x)est une primitive d’une fonction f(x)sur un
intervalle Xsi F0(x) = f(x)pour tout x2X.
Exemples:
1) La fonction F(x) = sin xest une primitive de la fonction f(x) = cos xsur
la droite numérique tout entière, car (sin x)’= cos xpour tout x:
2) La fonction F(x) = p1x2est une primitive de la fonction f(x) =
x
p1x2sur l’intervalle ]1;1[ ;car (p1x2)0=x p1x2en tout point xde cet
intervalle.
La primitive d’une fonction f(x)donnée n’est pas unique. En e¤et, si F(x)
est une primitive de f(x), il en est de même de toute fonction F(x) + C, où
Cest une constante arbitraire, puisque (F x) + C)0=f(x). Par exemple, la
fonction f(x) = cos xadmet pour primitive aussi bien sin x, que sin x+C;puisque
(sin x+c)0= cos x:
Montrons maintenant que toutes les primitives de f(x)sont de la forme
F(x) + C; où F(x)est une primitive de f(x):
Lemme 1
Toute fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle Xest constante sur
X.
Preuve.
Supposons f0(x) = 0 sur un intervalle X. D’après le théorème des accroisse-
ments …nis, pour deux points quelconques x1; x22X;on a
f(x2)f(x1) = f0()(x2x1); x1‹‹x2:
1

Puisque f0()=0;on a f(x2) = f(x1):Ce qui prouve que f(x)prend la
même valeur sur X, autrement dit f(x) = C, où Cest une constante 
Théorème 1.
Si F(x)est une primitive d’une fonction f(x)sur un intervalle X, toute
autre primitive de f(x)peut être mise sous la forme F(x) + C, où Cest une
constante arbitraire.
Preuve.
Soit (x)une autre primitive de la fonction f(x)sur l’intervale X, c’est - à
- dire que 0(x) = f(x):Alors pour tout x2X
[(x)F(x)]0= 0(x)F0(x) = f(x)f(x)=0:Il résulte du lemme I.1
que la fonction (x)F(x) = C; où Cest une constante arbitraire. Donc
(x) = F(x) + C
Ainsi, toutes les primitives de f(x)sont de la forme F(x) + C, où F(x)est
une primitive de f(x)et Cune constante arbitraire.
I.2. Intégrale indé…nie.
Dé…nition 2
Si une fonction F(x)est une primitive d’une fonction f(x)sur un intervalle
X, l’ensemble des fonctions F(x)+C, où Cest une constante arbitraire, s’appelle
intégrale indé…nie de f(x)sur Xet se note Zf(x)dx =F(x) + C:
La fonction f(x)s’appelle l’intégrant, la variable x; variable d’intégration.
Le symbole Zf(x)dx désigne donc l’ensemble de toutes les primitives de la
fonction f(x). On comprendra parfois par ce symbole un élément quelconque
de cet ensemble, c’est - à - dire une primitive.
La détermination d’une fonction par sa dérivée s’appelle intégration de cette
fonction. L’intégration est l’opération inverse de la dérivation. Pour véri…er
qu’une intégration est correcte, il su¢ t de dériver le résultat obtenu pour obtenir
l’intégrant.
Dans ce chapitre, nous glissons volontiers sur le problème de l’existence des
primitives (donc des intégrales indé…nies) pour de vastes classes de fonctions.
Signalons qu’au chapitre suivant, on prouvera que toute fonction continue sur
un segment possède une primitive (donc une intégrale indé…nie) sur ce segment.
Exemples:
1) Z3x2dx =x3+C, car (x3+C)0= 3x2:
2) Zcos xdx = sin x+C, car (sin x+c)0= cos x:
2

3) Z1
xdx = ln jxj+C; car (ln jxj+C)0=1 x:
4) Zexp(2x)dx =1
2exp(2x) + C;car (1 2exp(2x) + C)0= exp(2x),
ainsi de suite.
II. Propriétés fondamentales de l’intégrale indé…nie.
Les propriétés suivantes de l’intégrale indé…nie sont une conséquence immé-
diate de sa dé…nition.
P.1. La dérivée d’une intégrale indé…nie est égale à l’intégrant; la di¤éren-
tielle d’une intégrale indé…nie , à l’expression sous le signe somme, c’est - à -
dire
(Zf(x)dx)0=f(x)et dZf(x)dx =f(x)dx:
En e¤et,(Zf(x)dx)0= (F(x)+C)0=F0(x) = f(x)et dZf(x)dx = (Zf(x)dx)0dx =
f(x)dx:
P.2. L’intégrale indé…nie de la di¤érentielle d’une fonction est égale à la
somme de cette fonction et d’une constante arbitraire, c’est - à - dire ZdF (x) =
F(x) + C:
En e¤et, puisque dF (x) = F0(x)dx; il vient ZF0(x)dx =F(x) + C:
P.3. Tout facteur constant peut être sorti du signe somme, c’est - à - dire
si k=const, alors Zkf(x)dx =kZf(x)dx:
En e¤et, soit F(x)une primitive de f(x):F0(x) = f(x):Alors kF (x)
est une primitive de kf(x) : (kF (x))0=kF 0(x) = kf (x):D’où kZf(x)dx =
k[F(x) + C] = kF (x) + C1, où C1=kC:
P.4. L’intégrale indé…nie de la somme algébrique de deux fonctions est égale
à la somme algébrique des intégrales indé…nies de ces fonctions, c’est - à - dire
Z[f(x)g(x)] dx =Zf(x)dx Zg(x)dx:
En e¤et, soient F(x)et G(x)des primitives de f(x)et g(x) : F0(x) = f(x),
G0(x) = g(x):Les fonctions F(x)G(x)sont alors des primitives des fonctions
f(x)g(x):Donc
Zf(x)dxZg(x)dx = [F(x) + C1][G(x) + C2]=[F(x)G(x)]+[C1C2] =
[F(x)G(x)] + C=Z[f(x)g(x)] dx:
Cette propriété reste valable pour tout nombre …ni de fonctions.
III. Table des principales intégrales.
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Les principales intégrales sont regroupées dans la table suivante. Certaines
formules résultent directement de la dé…nition de l’intégration comme l’opération
inverse de la dérivation et de la table des dérivées. La véracité des autres for-
mules se véri…e aisement par dérivation.
I) Zxdx =x+1
+1 +C(6=1); II) Zdx x= ln jxj+C;
III) Zdx
x2+a2=1 aarctan x a+C;IV) Zdx
pa2x2= arcsin x
a+C;
V) Zaxdx =ax
ln a+C(0‹a6= 1); VI) Zexp(x)dx = exp(x) + C
VII) Zsin xdx =cos x+C;VIII) Zcos xdx = sin x+C;
IX) Zdx
cos2x= tan x+C;X) Zdx
sin2x=cot anx +C;
XI) Zdx
x2a2=1 2aln xa x+a+C(a6= 0); XII) Zdx
px2+k= ln x+px2+k+C:
IV. Principales méthodes d’intégration.
IV.1. Intégration directe.
Le calcul des intégrales par une utilisation directe de la table des intégrales
élémentaires et des propriétés fondamentales des intégrales indé…nies s’appelle
intégration directe.
Exemples:
1) Z(5 cos x3x2+1
x)dx = 5Zcos xdx 3Zx2dx +Zdx x= 5 sin xx3+
ln jxj+C
2) Z(sin x
2+ cos x 2)2dx =Z(1 + sin x)dx =xcos x+C
IV.2. Intégration par substitution (changement de variable).
Dans de nombreux cas, l’introduction d’une nouvelle variable d’intégration
permet de ramener l’intégration à la recherche d’une intégrale de table, c’est -
à - dire de se ramener à une intégration directe. Cette méthode qui s’appelle
méthode d’intégration par substitution, ou encore méthode de changement de
variable, est basée sur le théorème suivant:
Théorème 2.
Soit x='(t)une fonction dé…nie et dérivable sur un intervalle Tet soit
Xson ensemble des valeurs. Soit en…n f(x)une fonction dé…nie sur X:Si la
fonction f(x)admet une primitive sur X, alors
Zf(x)dx =Zf['(t)] '0(t)dt (1) sur T:
Preuve.
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Soit F(x)une primitive de f(x)sur X: Considérons la fonction composée
F['(t)] sut T. La règle de dérivation d’une fonction composée nous donne
(F['(t)])0=F0
x['(t)] '0(t) = f['(t)] '0(t), c’est - à - dire que F['(t)] est
une primitive de la fonction f['(t)] '0(t)sur T; donc
Zf['(t)] '0(t)dt =F['(t)] +C:
En remarquant que F['(t)] +C= (F(x) + C)jx='(t)=Zf(x)dx jx='(t);on
obtient la formule (1).
C’est la formule de changement de la variable d’intégration.
Exemples:
1) Calculer l’intégrale Zx3
(x1)2dx =I
Posons x1 = t;alors x=t+ 1:D’où dx =dt: La formule ci-dessus nous
donne
Zx3
(x1)2dx =Z(t+1)3
t2dt =Zt+3+3 t+1 t2dt =1 2t2+3t+3 ln jtj 1 t+C:
En revenant à la variable x; on obtient en dé…nitive
I=1
2(x1)2+ 3 (x1) + 3 ln jx1j  1 x1+C:
Remarque. Quand on change la variable d’intégration dans une intégrale
indé…nie, on a parfois intérêt à se donner non pas xen fonction de tmais ten
fonction de x:
2) Calculer l’intégrale J=Zx4
x5+7 dx
Posons x5+ 7 = t; dt = 5x4dx;alors J=1
5Zdt t=1 5ln jtj+C, si bien que
Zx4
x5+7 dx =1 5ln x5+ 7+C:
Signalons que le choix convenable de la substitution soulève de sérieuses
di¢ cultés. Pour les surmonter, il faut parfois être doué d’une bonne technique
de dérivation et bien connaître les intégrales tabulaires.
3) Calculer l’intégrale K=Zdx
px2+a
Posons px2+a+x=t; d’où x
px2+a+ 1dx =dt: Donc dx =px2+a px2+a+xdt;
de sorte que
Zdx
px2+a=Zdt
t= ln jtj+C= ln px2+a+x+C:
4) Calculer l’intégrale Zsinnxcos xdx
Posons t= sin x; dt = cos xdx: Alors
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