PCSI 1 Exercices : Matrices Page1 Exercice 1 Dans IR3 , déterminer

PCSI 1
Exercices : Matrices
Exercice 1
Page 1
Exercice 5
3
Dans IR , déterminer la matrice de passage de la base (1, 2, 1), (2, 3, 3), (3, 7, 1)
à la base (3, 1, 4), (5, 3, 2), (1, −1, 7) .
Solution
Indication
Exercice 2
Dans M2 (IR) on pose : A =
1
0
0
0
et B =
0
1
1
0
.
Calculer A B , B A, A2 − B 2 et (A + B) (A − B).
Indication
Soit E un espace vectoriel de dimension finie.
Solution
Exercice 3
Dans le plan IR2 , on prend : e1 = (1, 1), e2 = (1, −1)
et on pose E1 = Vect(e1 ) et E2 = Vect(e2 ) . On considère alors
1. Soit u ∈ L(E) et M sa matrice par rapport à une base B = (e1 , e2 , . . . en ) .
• p la projection de IR2 sur E1 parallèlement à E2 et
Quelle est la matrice de u par rapport à B1 = (−e1 , e2 , . . . en ) ?
• s la symétrie par rapport à E1 parallèlement à E2 .
Quelle est la matrice de u par rapport à B2 = (e2 , e1 , e3 , e4 , . . . en ) ?
1. Déterminer les matrices de p et de s par rapport à la base canonique de IR2 ,
puis par rapport à la base (e1 , e2 ).
Indication
Indication
2. Quels sont les endomorphismes de l’espace vectoriel E dont les matrices
sont indépendantes de la base choisie ?
Solution
Indication
2. Évaluer toutes les puissances de ces diverses matrices.
Indication
Solution
Solution
3. Quelles sont les matrices de Mn (K) qui commutent avec toutes les matrices
de GLn (K) ?
Solution
Exercice 4
Indication
Solution
3
Dans IR on considère s la symétrie
• par rapport au plan d’équation : x + 2 y + 3 z = 0
• parallèlement au sous espace vectoriel engendré par (1, 1, 1).
1. En donner la matrice M par rapport à la base canonique de IR3 .
Indication
Solution
2. Évaluer le carré et toutes les puissances de M .
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
Solution
1
21 avril 2012
PCSI 1
Exercices : Matrices
Page 2
2. Quels sont les endomorphismes qui commutent avec u ?
Exercice 6
Montrer qu’ils forment une algèbre de dimension 3.
1. Déterminer toutes les puissances positives de
1 1
A=
.
−1 0
Indication
Indication
Solution
Solution
2. On considère deux suites réelles définies par la donnée de u0 et v0 et par
les relations
∀n ∈ IN un+1 = un + vn et vn+1 = −un .
Déterminer un et vn en fonction de n .
Indication
Solution
Exercice 7
Soit u l’endomorphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique est


0 −1
1
0 −1 
A= 1
−1
1
0
Exercice 9
IR3 = Ker u ⊕ Im u .
1. Etablir
Indication
Solution
a2 a b
Calculer toutes les puissances de A =  a b b2
ac bc

2. u est il un projecteur ?
Indication
Solution

ac
b c .
c2
3. Déterminer toutes les puissances de A.
Indication
Solution
Indication
Exercice 8
Soit u ∈ L IR
3
tel que u3 = 0 et u2 6= 0.
3
1. Montrer qu’il existe une base de IR dans

0 0
A= 1 0
0 1
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
Solution
laquelle la matrice de u est

0
0 
0
Solution
2
21 avril 2012
PCSI 1
Exercices : Matrices
Exercice 10
Structure pour les lois usuelles de chacun des ensembles suivants
x+y
4y
2
1. E = M (x, y) =
(x, y) ∈ IR
−y
x−y
Indication
2. E = M (x, y) =
Solution
x
−y
y
(x, y) ∈ C2
x
Indication
Solution
Page 3
Indication

 1 1 1

 0 2 1



5.  0 0 3

 0 0 0

 . . .
 .. .. ..
4
..
.
0
...
0
Indication
Exercice 11
0
Solution

1
...
1
...
1
...
..
.
..
.
0
1 

1 


1 

.. 
. 


1 
n
Solution
Déterminer les puissances de
−a cos t + b sin t −a sin t + b cos t
A=
−a sin t + b cos t a cos t − b sin t
Indication
Solution
Exercice 12
Inverse, s’il existe, des matrices suivantes :
1 2 3
1.
7 6 5
Indication


1 2 3
2.  2 3 4 
3 4 5
Solution
Indication


1 1 1
3.  1 j j 2  où j = exp (2iπ/3)
1 j2 j
Solution
Indication


1
1
1
1
 1
1 −1 −1 

4. 
 1 −1
1 −1 
1 −1 −1 −1
Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
3
21 avril 2012
PCSI 1
Exercices : Matrices
Page 4

Exercice 13



1. A = 


Calculer toutes les puissances des matrices suivantes :
Indication

1
1. A =  0
0
1
1
0
Indication

1 1
2. B =  0 1
0 0
Indication

1
3. C =  −1
−1

0
1 
1

1
1 
1
3
4
5
..
.
...
...
...
..
.
n
n+1
n+2
..
.
n
n+1
n+2
...
?
32
42
52
..
.
...
...
...
..
.
n2
2
(n + 1)
2
(n + 2)
..
.
...
?
n2
Solution
1
1
1
22
32
42
..
.
(n + 1)
2
(n + 2)
2






Solution
Étant donné n un entier supérieur ou égal à 2 et (a, b) ∈ IR2 , on appelle M (a, b)
la matrice de Mn (IR) définie par
4. reprendre chacune des questions précédentes pour des matrices d’ordre p .
Exercice 14

1
Soit A =  1
1
Solution

Exercice 16
Solution
Indication






Indication

−1 −1
1 −1 
−1
1
Indication
2
3
4
..
.
Indication
 2
1
 22

 2
2. B =  3
 .
 ..
Solution

1
2
3
..
.
Solution

a


M (a, b) = 


b
..
.
b

1
1  . Déterminer les dimensions de
1
b
... b
.
..
. ..
a
..
..
.
. b
... b a






et on pose
E = M (a, b) | (a, b) ∈ IR2
{ M ∈ M3 (IR) | A M = 0}
1. Montrer que E est naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel
dont une base est I = M (1, 0) et J = M (1, 1).
et de
Indication
{ A M | M ∈ M3 (IR)} .
Solution
2. Montrer que E est une sous-algèbre de Mn (IR) .
Indication
Indication
Solution
Solution
3. Vérifier que la famille M (a, b), M (a, b)2 , I est liée.
Exercice 15
Exhiber une relation linéaire entre ces matrices.
Rang des matrices carrées d’ordre n suivantes :
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
4
Solution
21 avril 2012
PCSI 1
Exercices : Matrices
2. Déterminer M matrice de passage de la base canonique à B .
4. En déduire une condition pour que M (a, b) soit inversible et déterminer son
inverse lorsqu’il existe.
Indication
Page 5
Indication
Solution
Solution
3. Quel est son inverse ?
Exercice 17
Indication
Solution
3
Soit σ une permutation de [[1, 3]] et fσ l’endomorphisme de IR défini par
4. Retrouver ce dernier résultat en utilisant l’endomorphisme de IR3 [X] qui
transforme la base canonique en B .
fσ (x1 , x2 , x3 ) = (xσ(1) , xσ(2) , xσ(3) )
Indication
Solution
5. Généraliser les résultats précédents à l’ordre n avec la base
1. On désigne par Pσ la matrice de fσ dans la base canonique de IR3 . Écrire
Pσ et calculer Pσ1 .Pσ2 .
B = (X − 1)n , (X − 1)n−1 (X + 1), (X − 1)n−2 (X + 1)2 , . . .
2. Généralisation avec une permutation de [[1, n]] et l’endomorphisme associé
de IRn .
3. Une telle matrice Pσ s’appelle matrice de permutation. Que se passe-t-il
quand on multiplie une matrice quelconque par une matrice de permutation ?
Solution
Exercice 18
(k−1)(j−1)
Soit ω = exp( 2iπ
.
n ) et M la matrice de Mn (C) telle que : mk,j = ω
Déterminer l’inverse de M .
Solution
Indication
Exercice 21
Exercice 19
Inverser la matrice triangulaire supérieure M , d’ordre n , définie par
Soit n un entier naturel et M ∈ Mn (IR) vérifiant : M 2 = In . Montrer qu’il existe
un entier r et une matrice P inversible de Mn (IR) vérifiant
i−1
1 6 i 6 j 6 n ⇒ mi,j = Cj−1
.
Solution
Indication
M =P
Exercice 20
−1
Ir
0
0
−In−r
P
Dans IR3 [X],
1. Montrer que
B = (X − 1)3 , (X − 1)2 (X + 1), (X − 1)(X + 1)2 , (X + 1)3
Indication
Solution
est une base
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
Solution
5
21 avril 2012
PCSI 1
Exercices : Matrices
Page 6
Exercice 22
Soit n un entier naturel et J =
0
In
−In
0
.
1. Calculer J 2 .
Indication
2. Soit M ∈ M2n (IR) et vérifiant : M 2 = −I . Montrer qu’il existe une matrice
P inversible de M2n (IR) vérifiant M = P −1 J P .
Indication
Exercice 23
Soit M ∈ Mn (IR) et I = { P | P (M ) = 0}
1. Montrer que I contient un polynôme P 6= 0 de degré au plus n2 .
Indication
2. Prouver l’existence dans I d’un polynôme Q non nul de degré minimal et
établir que Q divise tous les éléments de I .
Indication
3. En déduire qu’il existe une unique polynôme unitaire Q0 ∈ I tel que :
P (M ) = 0 ⇐⇒ Q0 |P
Indication
4. Montrer que M est inversible si, et seulement si, Q0 (0) 6= 0.
Indication
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC)
6
21 avril 2012