PCSI 1 Exercices : Matrices Page1 Exercice 1 Dans IR3 , déterminer

PCSI 1 Exercices : Matrices Page 1
Exercice 1
Dans IR3, déterminer la matrice de passage de la base (1,2,1),(2,3,3),(3,7,1)
à la base (3,1,4),(5,3,2),(1,−1,7).
Indication Solution
Exercice 2
Dans M2(IR)on pose : A=1 0
0 0 et B=0 1 1 0 .
Calculer A B ,B A,A2−B2et (A+B) (A−B).
Indication Solution
Exercice 3
Dans le plan IR2, on prend : e1= (1,1),e2= (1,−1)
et on pose E1= Vect(e1)et E2= Vect(e2). On considère alors
•pla projection de IR2sur E1parallèlement à E2et
•sla symétrie par rapport à E1parallèlement à E2.
1. Déterminer les matrices de pet de spar rapport à la base canonique de IR2,
puis par rapport à la base (e1, e2).
Indication Solution
2. Évaluer toutes les puissances de ces diverses matrices.
Indication Solution
Exercice 4
Dans IR3on considèresla symétrie
•par rapport au plan d’équation : x+ 2 y+ 3 z= 0
•parallèlement au sous espace vectoriel engendré par (1,1,1).
1. En donner la matrice Mpar rapport à la base canonique de IR3.
Indication Solution
2. Évaluer le carré et toutes les puissances de M.
Indication Solution
Exercice 5
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie.
1. Soit u∈ L(E)et Msa matrice par rapport à une base B= (e1, e2,...en).
Quelle est la matrice de upar rapport à B1= (−e1, e2,...en)?
Quelle est la matrice de upar rapport à B2= (e2, e1, e3, e4,...en)?
Indication Solution
2. Quels sont les endomorphismes de l’espace vectoriel Edont les matrices
sont indépendantes de la base choisie ?
Indication Solution
3. Quelles sont les matrices de Mn(K)qui commutent avec toutes les matrices
de GLn(K)?
Indication Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 121 avril 2012

PCSI 1 Exercices : Matrices Page 2
Exercice 6
1. Déterminer toutes les puissances positives de
A=1 1
−1 0 .
Indication Solution
2. On considère deux suites réelles définies par la donnée de u0et v0et par
les relations
∀n∈IN un+1 =un+vnet vn+1 =−un.
Déterminer unet vnen fonction de n.
Indication Solution
Exercice 7
Soit ul’endomorphisme de IR3dont la matrice dans la base canonique est
A=
0−1 1
1 0 −1
−110
1. Etablir IR3= Ker u⊕Im u.
Indication Solution
2. uest il un projecteur ?
Indication Solution
3. Déterminer toutes les puissances de A.
Indication Solution
Exercice 8
Soit u∈ L IR3tel que u3= 0 et u26= 0.
1. Montrer qu’il existe une base de IR3dans laquelle la matrice de uest
A=
000
100
010
Indication Solution
2. Quels sont les endomorphismes qui commutent avec u?
Montrer qu’ils forment une algèbre de dimension 3.
Indication Solution
Exercice 9
Calculer toutes les puissances de A=
a2a b a c
a b b2b c
a c b c c2
.
Indication
Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 221 avril 2012

PCSI 1 Exercices : Matrices Page 3
Exercice 10
Structure pour les lois usuelles de chacun des ensembles suivants
1. E=M(x, y) = x+y4y
−y x −y
(x, y)∈IR2
Indication Solution
2. E=M(x, y) = x y
−y x 
(x, y)∈C2
Indication Solution
Exercice 11
Déterminer les puissances de
A=−acos t+bsin t−asin t+bcos t
−asin t+bcos t a cos t−bsin t
Indication Solution
Exercice 12
Inverse, s’il existe, des matrices suivantes :
1. 123
765
Indication Solution
2. 
123
234
345
Indication Solution
3. 
1 1 1
1j j2
1j2j
où j= exp (2iπ/3)
Indication Solution
4. 
1 1 1 1
1 1 −1−1
1−1 1 −1
1−1−1−1
Indication Solution
5.
1 1 1 1 . . . 1
0 2 1 1 . . . 1
0 0 3 1 . . . 1
0 0 0 4 ....
.
.
.
.
..
.
..
.
.......1
000. . . 0n
Indication Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 321 avril 2012

PCSI 1 Exercices : Matrices Page 4
Exercice 13
Calculer toutes les puissances des matrices suivantes :
Indication
1. A=
110
011
001
Indication Solution
2. B=
111
011
001
Indication Solution
3. C=
1−1−1
−1 1 −1
−1−1 1
Indication Solution
4. reprendre chacune des questions précédentes pour des matrices d’ordre p.
Indication Solution
Exercice 14
Soit A=
111
111
111
. Déterminer les dimensions de
{M∈ M3(IR)|A M = 0}
et de
{A M |M∈ M3(IR)}.
Indication Solution
Exercice 15
Rang des matrices carrées d’ordre nsuivantes :
1. A=
1 2 3 . . . n
2 3 4 . . . n + 1
3 4 5 . . . n + 2
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
n n + 1 n+ 2 . . . ?
Indication Solution
2. B=
122232. . . n2
223242. . . (n+ 1)2
324252. . . (n+ 2)2
.
.
..
.
..
.
.....
.
.
n2(n+ 1)2(n+ 2)2. . . ?
Indication Solution
Exercice 16
Étant donné nun entier supérieur ou égal à 2et (a, b)∈IR2, on appelle M(a, b)
la matrice de Mn(IR)définie par
M(a, b) =
a b . . . b
b a ....
.
.
.
.
.......b
b . . . b a
et on pose
E=M(a, b)|(a, b)∈IR2
1. Montrer que Eest naturellement muni d’une structure d’espace vectoriel
dont une base est I=M(1,0) et J=M(1,1).
Indication Solution
2. Montrer que Eest une sous-algèbre de Mn(IR).
Indication Solution
3. Vérifier que la famille M(a, b), M (a, b)2, Iest liée.
Exhiber une relation linéaire entre ces matrices.
Indication Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 421 avril 2012

PCSI 1 Exercices : Matrices Page 5
4. En déduire une condition pour que M(a, b)soit inversible et déterminer son
inverse lorsqu’il existe.
Indication Solution
Exercice 17
Soit σune permutation de [[1,3]] et fσl’endomorphisme de IR3défini par
fσ(x1, x2, x3)=(xσ(1), xσ(2), xσ(3))
1. On désigne par Pσla matrice de fσdans la base canonique de IR3. Écrire
Pσet calculer Pσ1.Pσ2.
2. Généralisation avec une permutation de [[1, n]] et l’endomorphisme associé
de IRn.
3. Une telle matrice Pσs’appelle matrice de permutation. Que se passe-t-il
quand on multiplie une matrice quelconque par une matrice de permuta-
tion ?
Exercice 18
Soit ω= exp(2iπ
n)et Mla matrice de Mn(C)telle que : mk,j =ω(k−1)(j−1) .
Déterminer l’inverse de M.
Indication Solution
Exercice 19
Inverser la matrice triangulaire supérieure M, d’ordre n, définie par
16i6j6n⇒mi,j =Ci−1
j−1.
Indication Solution
Exercice 20
Dans IR3[X],
1. Montrer que
B=(X−1)3,(X−1)2(X+ 1),(X−1)(X+ 1)2,(X+ 1)3
est une base
Indication Solution
2. Déterminer Mmatrice de passage de la base canonique à B.
Indication Solution
3. Quel est son inverse ?
Indication Solution
4. Retrouver ce dernier résultat en utilisant l’endomorphisme de IR3[X]qui
transforme la base canonique en B.
Indication Solution
5. Généraliser les résultats précédents à l’ordre navec la base
B=(X−1)n,(X−1)n−1(X+ 1),(X−1)n−2(X+ 1)2, . . .
Solution
Exercice 21
Soit nun entier naturel et M∈ Mn(IR)vérifiant : M2=In. Montrer qu’il existe
un entier ret une matrice Pinversible de Mn(IR)vérifiant
M=P−1Ir0
0−In−rP
Indication Solution
Lycée Privé Sainte Geneviève (JMC) 521 avril 2012