214.02- COURS- NOMBRE ET FONCTION - Ducros Prof

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Secteur Mathématiques
Analyse
Leçon 2 :
Nombre dérivé et Fonctions dérivée
Introduction
Cette leçon est l’une des plus importante quand au programme des mathématiques des classes de BAC PRO mais aussi des classes
suivantes. Il convient donc de la traiter avec la plus grande attention.
La partie rappels sur les fonctions à proprement parlées sera très succincte dans la mesure ou les fonctions constituent une grande partie
du programme de BEP, il ne sera ici question que d’un bref rappel.
Cette leçon se découpe en trois temps.
Premier temps : bref rappels sur les fonctions (histoire d’asseoir les bases connues) cette première partie permettra de rappeler
les pré-requis.
Deuxième temps : Définir le nombre dérivé ainsi que la fonction dérivée par rapport à la tangente à la courbe représentative.
Troisième temps : Cette dernière partie permet de définir la fonction dérivée et de la calculer dans quelques cas simples, la fin
étant consacrée à l’utilisation de ce nouvel outil afin de prévoir les variations d’une fonction inconnue.
Il convient alors au professeur de découper cette leçon en trois, ou bien de faire cette leçon en quatre ou cinq séquences.
Extraits du B.O.
214.02 : Nombre dérivé – Fonction dérivée
ANALYSE
1.4
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Secteur Mathématiques
1. Nombre dérivé

Définition : Nombre dérivé d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre a et C sa courbe représentative dans la plan rapporté à un repère
orthogonal.
On suppose que C admet une tangente non parallèle à l’axe des ordonnées en son point A d’abscisse a.
On appelle nombre dérivé de la fonction f en a le coefficient directeur de la tangente à la courbe C en son point d’abscisse a ; on le note
f’(a).

Démonstration de la formule donnant le coefficient directeur :
Soient deux points fictifs A(xA,yA) et B(xB,yB), refaire les deux questions précédentes sachant que les deux points appartiennent à la droite
d’équation y = ax + b
YA= a.xA+ b
YB= a.xB+ b
(2)
(3)
On calcule alors (3) – (2) :
YB – YA = a.(xB - xA)
On en déduit alors :
a=
YB – YA
xB - xA
q Méthode : Analyse d’une représentation graphique
- b est l’ordonnée à l’origine et se détermine comme tel.
- Pour déterminer le coefficient a on prend 2 points appartenant à la droite et on
applique la formule :
yB – yA
a=
xB – xA
q Document N°1 : Activité
La courbe C est la courbe représentative d’une fonction f. Les droites (T1), (T2) et (T3)
sont les tangentes à la courbe C aux points A, B et C.
1)
2)
Donner les (0 ; 3), N (2 ; 2) et P (0 ; 2,5).
Déterminer, par le calcul, les nombres dérivés f’(-1), f’(0) et f’(2).

Correction :
214.02 : Nombre dérivé – Fonction dérivée
ANALYSE
2.4
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Secteur Mathématiques
q Document N°2 : exercice
Soit la fonction f définie sur [-4 ; 2] par f(x) = x² + 2x – 2, sachant que
f ’(1) = 4, déterminer :
1.
2.
3.
4.
5.
Coordonnées du point A.
Placer les points P (-2 ; -3) et S (0 ; -3).
Coefficient directeur de la tangente en A.
Equation de la tangente en A.
Equation de la tangente en B.
Réponses :
Soit la fonction f définie sur [-4 ; 2] par f(x) = x² + 2x – 2, sachant que
f ’(1) = 4, déterminer :
1. coordonnées du point A : (1 ; 1)
2. coefficient directeur de la tangente en A : a = 4
3. équation de la tangente en A : y = 4x – 3
4. équation de la tangente en B : y = – 4x + b
(en B : 1 = –4 x –3 + b donc b = –11) y = –4x –11
q Document N°3 : Application
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² et C sa courbe représentative.
1)
Calculer les coefficients directeurs des trois tangentes aux points M1
M2 et M3.
On a tracé les tangentes (T1), (T2) et (T3) à la courbe représentative aux
points M1, M2 et M3.
2) En utilisant les résultats précédents, compléter le tableau suivant
après l’avoir reproduit.
a
-1
0
1
2
f'(a)
2. Les fonctions et leurs dérivées
2.1-
Fonction dérivée.

Définition : Fonction dérivée
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
La fonction qui, a tout réel x de I, associe le nombre dérivé f’(x) de f en x est appelée fonction dérivée de f. On la note f’.
On dit communément dérivée de f au lieu de fonction dérivée de f.
q Tableau des dérivées des fonctions usuelles
Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
214.02 : Nombre dérivé – Fonction dérivée
Fonction f
Dérivée f'
a ; a réel
0
x
1
ax+ b
a
x²
2x
X3
3x²
1/x
-1/x²
ANALYSE
3.4
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Secteur Mathématiques
q Document N°4 : Exercice d’application
On a tracé la courbe représentative d’une fonction inconnue.
1)
2)
3)
4)
5)
Tracer la tangente au point 0, on l’appellera T1.
Placer le point J (1 ;-0.5)
Tracer la tangente au point J, on l’appellera T2.
Déterminer l’équation de la tangente T1.
Déterminer l’équation de la tangente T2.
2.2-
Calcul d’une dérivée.
Règles de dérivation
Soient u et v deux fonctions admettant sur l’intervalle I des dérivés u’ et v’ et a désigne un nombre réel donné.
Dans ces conditions, pour tout x de I :
. si f(x) = u(x) + v(x) alors f’(x) = u’(x) + v’(x)
. si f(x) =a  u(x) alors f’(x) = a  u’(x)
q Document N°5 : Applications
1)
2)
3)
Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par : f(x) = 4x²
Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par : f(x) = x3 + 5x - 2
Calculer la dérivée de la fonction f définie sur R par : f(x) = 3x² - 2x + 1
2.3- Dérivée et sens de variation.
q Document N°6 : Découverte
La courbe C est la représentation graphique de la fonction f définie sur l’intervalle [-1 ;4] par :
x²
f(x) = - x
2
1)
2)
3)
A partir de l’observation du graphique cicontre, indiquez sur quel intervalle la fonction f
est décroissante, sur quel intervalle est-elle
décroissante ?
Calculer l’expression de f’(x) de la dérivée de f.
Etudier le signe de f’(x) sur l’intervalle [-1;4]
En utilisant les résultats précédents, reproduire
et compléter le tableau ci-contre :
x
-1
signe de f'(x)
1
4
0
variation de f
Propriété : dérivée et sens de variation d’une fonction
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et admettant une dérivée sur cet intervalle.
. si pour tout x de I, on a : f’(x) > 0, alors f est croissante sur I.
. si pour tout x de I, on a : f’(x) < 0, alors f est décroissante sur I.
. si pour tout x de I, on a : f’(x) = 0, alors f est constante sur I.
214.02 : Nombre dérivé – Fonction dérivée
ANALYSE
4.4