Corrigé du devoir à la maison no 1 Exercice 1 1. Ordre des consignes : e) - d) - a) - f) - c) - b) H D C G B A F E I 2. Les droites (GF ) et (IH) semblent être parallèles. #» 3. E est l’image de B par la translation de vecteur AI donc le quadrilatère AIEB est un parallélogramme. Or, les diagonales d’un parallélogramme se coupant en leur milieu, les segments [AE] et [IB] se coupent en leur milieu d’où F , point d’intersection des droites (AE) et (BI), est le milieu de [BI]. Par ailleurs, H est le symétrique de B par rapport à G donc G est le milieu de [BH]. F et G étant les milieux respectifs des segments [BI] et [BH], nous pouvons appliquer le théorème de la droite des milieux dans le triangle BIH et conclure que les droites (GF ) et (IH) sont parallèles, ce qui valide la conjecture émise à la question précédente. Exercice 2 1. Algorithme de Fibonacci appliqué à la fraction Fraction a b Fraction 5 11 4 33 1 99 b a 5 : 11 Écriture décimale de 11 5 33 4 99 1 Fraction 61 84 19 84 11 420 1 1820 a b Fraction 84 61 84 19 420 11 1820 1 b a Entier p 2,2 3 8,25 9 99 99 Conclusion : Algorithme de Fibonacci appliqué à la fraction b a a 1 − b p 1 15 11 4 5 − = − = 11 3 33 33 33 4 1 36 3 3 1 − = − = = 33 9 297 297 297 99 1 1 − =0 99 99 Calcul de 5 1 1 1 = + + 11 3 9 99 61 : 84 a 1 − b p 61 1 61 42 19 ≈ 1,38 2 − = − = 84 2 84 84 84 19 1 95 84 11 ≈ 4,42 5 − = − = 84 5 420 420 420 11 1 429 420 9 1 ≈ 38,18 39 − = − = = 420 39 16380 16380 16380 1820 1 1 1820 1820 − =0 1820 1820 61 1 1 1 1 Conclusion : = + + + 84 2 5 39 1820 Écriture décimale de b a Entier p Calcul de 2. 1 1 1 4×7 3×7 3×4 + + = + + 3 4 7 3×4×7 4×3×7 7×3×4 28 21 12 + + = 84 84 84 61 = 84 Au vu du résultat obtenu, on peut déduire que l’écriture égyptienne d’une fraction n’est pas unique puisque nous en 61 connaissons déjà deux différentes pour la fraction (celle obtenue en exécutant l’algorithme de Fibonacci et celle 84 correspondant au calcul que nous venons d’effectuer). 3. Non, l’algorithme de Fibonacci ne conduit pas toujours à l’écriture faisant intervenir le plus petit nombre de fractions. 61 En effet, dans le cas de la fraction , l’écriture obtenue grâce à l’algorithme est une somme de quatre fractions alors 84 même qu’il est possible d’écrire ce même nombre comme la somme de seulement trois fractions égyptiennes (voir question précédente). 4. Pour tout entier naturel non nul p : 1 1 1(2p + 1) 1 + = + p + 1 (p + 1)(2p + 1) (p + 1)(2p + 1) (p + 1)(2p + 1) 2p + 2 = (p + 1)(2p + 1) 2(p + 1) = (p + 1)(2p + 1) 2 = 2p + 1 5. L’égalité prouvée à la question précédente est valable pour tout entier naturel non nul p donc, en particulier, pour p = 100. 2 2 Par conséquent, on a : = 201 2 × 100 + 1 1 1 = + 100 + 1 (100 + 1)(2 × 100 + 1) 1 1 = + 101 101 × 201 1 1 = + 101 20301 2 On obtient ainsi, sans utiliser l’algorithme de Fibonacci, une écriture égyptienne de la fraction . 201