Exercice 1 Exercice 2

Devoir à la maison no1 - À rendre, au plus tard, le lundi 17 septembre
Exercice 1
1. Remettre les consignes suivantes dans le bon ordre puis suivre le programme de construction ainsi reconstitué sur une
feuille non quadrillée à l’aide exclusive d’un compas et d’une règle non graduée.
Dans cette question sont attendus le bon ordre des consignes (uniquement les lettres, ne pas recopier les consignes sur la
copie) ainsi que la figure correspondant au résultat du programme de construction.
a) Dans le demi-plan de frontière (AB)ne contenant pas G, construire le point Itel que ABI soit un triangle équilatéral.
b) Tracer les droites (GF )et (IH)puis les repasser en couleur, la première en bleu, la seconde en vert.
c) La droite (AE)coupe (BI)en F; placer F.
d) Soient Gle milieu de [AD]et Hle symétrique de Bpar rapport à G. Construire ces deux points.
e) Tracer un demi-cercle Cde diamètre [AB]et placer sur celui-ci un point Ddistinct de Aet B.
f) Construire le point Eimage de Bpar la translation de vecteur # » AI.
2. Que peut-on conjecturer concernant les deux droites repassées en couleur ?
3. Élaborer une démonstration permettant de valider la conjecture émise.
Exercice 2
Il y a plus de 3000 ans, les Égyptiens utilisaient uniquement , à l’exception de la fraction 2
3, les fractions de la forme 1 noù
nest un entier naturel non nul ainsi que les sommes 1
p+1 q+... de plusieurs fractions de dénominateurs p,q,..., entiers
naturels non nuls et tous différents.
Ainsi, la fraction 3
7s’écrivait 1 3+1 11 +1 231 et non pas 1 7+1 7+1 7.
Comment obtenir l’écriture égyptienne d’une fraction quelconque a
bstrictement inférieure à 1?
Voici un algorithme, nommé algorithme de Fibonacci, permettant de répondre à cette question.
Dans cet algorithme, aet bdésignent des entiers naturels non nuls.
•Étape ①:À partir d’une fraction a
boù a < b, déterminer le plus petit entier ptel que p>b a. Le mémoriser.
•Étape ②:Calculer a
b
−1
p.
Si le résultat obtenu est différent de 0, reprendre l’étape ①avec la fraction obtenue.
Sinon, passer à l’étape ③.
•Étape ③:Écrire la décomposition de a
ben la somme des inverses de tous les entiers pmémorisés.
On donne ci-dessous un exemple d’application de cet algorithme en traitant le cas de la fraction 11
12.
Fraction a
bFraction b aÉcriture décimale de b aEntier pCalcul de a b
−1
p
(au besoin arrondie à 0,01 près)
11
12
12
11 ≈1,09 2 11 12 −1 2=11 12 −6 12 =5 12
5
12
12
52,4 3 5 12 −1 3=5 12 −4 12 =1 12
1
12
12
112 12 1 12 −1 12 = 0
Conclusion : 11
12 =1 2+1 3+1 12
1. Utiliser l’algorithme de Fibonacci pour déterminer une écriture égyptienne de 5
11 puis de 61 84.
Pour chacune de ces fractions, on présentera le déroulement de l’algorithme dans un tableau tel que celui donné en exemple.
2. Calculer 1
3+1 4+1 7. Au vu du résultat obtenu, que peut-on déduire au sujet de l’écriture égyptienne d’une fraction ?
3. L’algorithme de Fibonacci conduit-il toujours à l’écriture faisant intervenir le plus petit nombre de fractions ?
4. Établir que, pour tout entier naturel non nul p,1
p+ 1 +1 (p+ 1)(2p+ 1) =2 2p+ 1.
5. Expliquer en quoi l’égalité prouvée à la question précédente permet d’obtenir une écriture égyptienne de la fraction 2
201
sans utiliser l’algorithme de Fibonacci.

Devoir à la maison no1 - À rendre, au plus tard, le lundi 17 septembre
Exercice 1
1. Remettre les consignes suivantes dans le bon ordre puis suivre le programme de construction ainsi reconstitué sur une
feuille non quadrillée à l’aide exclusive d’un compas et d’une règle non graduée.
Dans cette question sont attendus le bon ordre des consignes (uniquement les lettres, ne pas recopier les consignes sur la
copie) ainsi que la figure correspondant au résultat du programme de construction.
a) Dans le demi-plan de frontière (AB)ne contenant pas G, construire le point Itel que ABI soit un triangle équilatéral.
b) Tracer les droites (GF )et (IH)puis les repasser en couleur, la première en bleu, la seconde en vert.
c) La droite (AE)coupe (BI)en F; placer F.
d) Soient Gle milieu de [AD]et Hle symétrique de Bpar rapport à G. Construire ces deux points.
e) Tracer un demi-cercle Cde diamètre [AB]et placer sur celui-ci un point Ddistinct de Aet B.
f) Construire le point Eimage de Bpar la translation de vecteur # » AI.
2. Que peut-on conjecturer concernant les deux droites repassées en couleur ?
3. Élaborer une démonstration permettant de valider la conjecture émise.
Exercice 2
Il y a plus de 3000 ans, les Égyptiens utilisaient uniquement , à l’exception de la fraction 2
3, les fractions de la forme 1 noù
nest un entier naturel non nul ainsi que les sommes 1
p+1 q+... de plusieurs fractions de dénominateurs p,q,..., entiers
naturels non nuls et tous différents.
Ainsi, la fraction 3
7s’écrivait 1 3+1 11 +1 231 et non pas 1 7+1 7+1 7.
Comment obtenir l’écriture égyptienne d’une fraction quelconque a
bstrictement inférieure à 1?
Voici un algorithme, nommé algorithme de Fibonacci, permettant de répondre à cette question.
Dans cet algorithme, aet bdésignent des entiers naturels non nuls.
•Étape ①:À partir d’une fraction a
boù a < b, déterminer le plus petit entier ptel que p>b a. Le mémoriser.
•Étape ②:Calculer a
b
−1
p.
Si le résultat obtenu est différent de 0, reprendre l’étape ①avec la fraction obtenue.
Sinon, passer à l’étape ③.
•Étape ③:Écrire la décomposition de a
ben la somme des inverses de tous les entiers pmémorisés.
On donne ci-dessous un exemple d’application de cet algorithme en traitant le cas de la fraction 11
12.
Fraction a
bFraction b aÉcriture décimale de b aEntier pCalcul de a b
−1
p
(au besoin arrondie à 0,01 près)
11
12
12
11 ≈1,09 2 11 12 −1 2=11 12 −6 12 =5 12
5
12
12
52,4 3 5 12 −1 3=5 12 −4 12 =1 12
1
12
12
112 12 1 12 −1 12 = 0
Conclusion : 11
12 =1 2+1 3+1 12
1. Utiliser l’algorithme de Fibonacci pour déterminer une écriture égyptienne de 5
11 puis de 61 84.
Pour chacune de ces fractions, on présentera le déroulement de l’algorithme dans un tableau tel que celui donné en exemple.
2. Calculer 1
3+1 4+1 7. Au vu du résultat obtenu, que peut-on déduire au sujet de l’écriture égyptienne d’une fraction ?
3. L’algorithme de Fibonacci conduit-il toujours à l’écriture faisant intervenir le plus petit nombre de fractions ?
4. Établir que, pour tout entier naturel non nul p,1
p+ 1 +1 (p+ 1)(2p+ 1) =2 2p+ 1.
5. Expliquer en quoi l’égalité prouvée à la question précédente permet d’obtenir une écriture égyptienne de la fraction 2
201
sans utiliser l’algorithme de Fibonacci.