Exercice 1 Exercice 2

Devoir à la maison no 1 - À rendre, au plus tard, le lundi 17 septembre
Exercice 1
1. Remettre les consignes suivantes dans le bon ordre puis suivre le programme de construction ainsi reconstitué sur une
feuille non quadrillée à l’aide exclusive d’un compas et d’une règle non graduée.
Dans cette question sont attendus le bon ordre des consignes (uniquement les lettres, ne pas recopier les consignes sur la
copie) ainsi que la figure correspondant au résultat du programme de construction.
a)
b)
c)
d)
e)
Dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas G, construire le point I tel que ABI soit un triangle équilatéral.
Tracer les droites (GF ) et (IH) puis les repasser en couleur, la première en bleu, la seconde en vert.
La droite (AE) coupe (BI) en F ; placer F .
Soient G le milieu de [AD] et H le symétrique de B par rapport à G. Construire ces deux points.
Tracer un demi-cercle C de diamètre [AB] et placer sur celui-ci un point D distinct de A et B.
#»
f) Construire le point E image de B par la translation de vecteur AI.
2. Que peut-on conjecturer concernant les deux droites repassées en couleur ?
3. Élaborer une démonstration permettant de valider la conjecture émise.
Exercice 2
1
2
où
Il y a plus de 3000 ans, les Égyptiens utilisaient uniquement , à l’exception de la fraction , les fractions de la forme
3
n
1
1
n est un entier naturel non nul ainsi que les sommes + + . . . de plusieurs fractions de dénominateurs p, q, . . ., entiers
p
q
naturels non nuls et tous différents.
3
1
1
1
1 1 1
Ainsi, la fraction s’écrivait +
+
et non pas + + .
7
3 11 231
7 7 7
a
Comment obtenir l’écriture égyptienne d’une fraction quelconque strictement inférieure à 1 ?
b
Voici un algorithme, nommé algorithme de Fibonacci, permettant de répondre à cette question.
Dans cet algorithme, a et b désignent des entiers naturels non nuls.
a
b
• Étape ① : À partir d’une fraction où a < b, déterminer le plus petit entier p tel que p > . Le mémoriser.
b
a
a 1
• Étape ② : Calculer − .
b
p
Si le résultat obtenu est différent de 0, reprendre l’étape ① avec la fraction obtenue.
Sinon, passer à l’étape ③.
a
• Étape ③ : Écrire la décomposition de en la somme des inverses de tous les entiers p mémorisés.
b
On donne ci-dessous un exemple d’application de cet algorithme en traitant le cas de la fraction
Fraction
a
b
Fraction
b
a
b
a
(au besoin arrondie à 0,01 près)
Écriture décimale de
4.
5.
a 1
−
b
p
12
11
≈ 1,09
2
11 1
11
6
5
− =
−
=
12 2
12 12
12
5
12
12
5
2,4
3
5
1
5
4
1
− =
−
=
12 3
12 12
12
1
12
12
1
12
12
1
1
−
=0
12 12
11
1 1
1
= + +
12
2 3 12
5
61
puis de
.
11
84
Pour chacune de ces fractions, on présentera le déroulement de l’algorithme dans un tableau tel que celui donné en exemple.
1 1 1
Calculer + + . Au vu du résultat obtenu, que peut-on déduire au sujet de l’écriture égyptienne d’une fraction ?
3 4 7
L’algorithme de Fibonacci conduit-il toujours à l’écriture faisant intervenir le plus petit nombre de fractions ?
1
1
2
Établir que, pour tout entier naturel non nul p,
+
=
.
p + 1 (p + 1)(2p + 1)
2p + 1
2
Expliquer en quoi l’égalité prouvée à la question précédente permet d’obtenir une écriture égyptienne de la fraction
201
sans utiliser l’algorithme de Fibonacci.
1. Utiliser l’algorithme de Fibonacci pour déterminer une écriture égyptienne de
3.
Calcul de
11
12
Conclusion :
2.
Entier p
11
.
12
Devoir à la maison no 1 - À rendre, au plus tard, le lundi 17 septembre
Exercice 1
1. Remettre les consignes suivantes dans le bon ordre puis suivre le programme de construction ainsi reconstitué sur une
feuille non quadrillée à l’aide exclusive d’un compas et d’une règle non graduée.
Dans cette question sont attendus le bon ordre des consignes (uniquement les lettres, ne pas recopier les consignes sur la
copie) ainsi que la figure correspondant au résultat du programme de construction.
a)
b)
c)
d)
e)
Dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas G, construire le point I tel que ABI soit un triangle équilatéral.
Tracer les droites (GF ) et (IH) puis les repasser en couleur, la première en bleu, la seconde en vert.
La droite (AE) coupe (BI) en F ; placer F .
Soient G le milieu de [AD] et H le symétrique de B par rapport à G. Construire ces deux points.
Tracer un demi-cercle C de diamètre [AB] et placer sur celui-ci un point D distinct de A et B.
#»
f) Construire le point E image de B par la translation de vecteur AI.
2. Que peut-on conjecturer concernant les deux droites repassées en couleur ?
3. Élaborer une démonstration permettant de valider la conjecture émise.
Exercice 2
1
2
où
Il y a plus de 3000 ans, les Égyptiens utilisaient uniquement , à l’exception de la fraction , les fractions de la forme
3
n
1
1
n est un entier naturel non nul ainsi que les sommes + + . . . de plusieurs fractions de dénominateurs p, q, . . ., entiers
p
q
naturels non nuls et tous différents.
3
1
1
1
1 1 1
Ainsi, la fraction s’écrivait +
+
et non pas + + .
7
3 11 231
7 7 7
a
Comment obtenir l’écriture égyptienne d’une fraction quelconque strictement inférieure à 1 ?
b
Voici un algorithme, nommé algorithme de Fibonacci, permettant de répondre à cette question.
Dans cet algorithme, a et b désignent des entiers naturels non nuls.
a
b
• Étape ① : À partir d’une fraction où a < b, déterminer le plus petit entier p tel que p > . Le mémoriser.
b
a
a 1
• Étape ② : Calculer − .
b
p
Si le résultat obtenu est différent de 0, reprendre l’étape ① avec la fraction obtenue.
Sinon, passer à l’étape ③.
a
• Étape ③ : Écrire la décomposition de en la somme des inverses de tous les entiers p mémorisés.
b
On donne ci-dessous un exemple d’application de cet algorithme en traitant le cas de la fraction
Fraction
a
b
Fraction
b
a
b
a
(au besoin arrondie à 0,01 près)
Écriture décimale de
4.
5.
a 1
−
b
p
12
11
≈ 1,09
2
11 1
11
6
5
− =
−
=
12 2
12 12
12
5
12
12
5
2,4
3
5
1
5
4
1
− =
−
=
12 3
12 12
12
1
12
12
1
12
12
1
1
−
=0
12 12
11
1 1
1
= + +
12
2 3 12
5
61
puis de
.
11
84
Pour chacune de ces fractions, on présentera le déroulement de l’algorithme dans un tableau tel que celui donné en exemple.
1 1 1
Calculer + + . Au vu du résultat obtenu, que peut-on déduire au sujet de l’écriture égyptienne d’une fraction ?
3 4 7
L’algorithme de Fibonacci conduit-il toujours à l’écriture faisant intervenir le plus petit nombre de fractions ?
1
1
2
Établir que, pour tout entier naturel non nul p,
+
=
.
p + 1 (p + 1)(2p + 1)
2p + 1
2
Expliquer en quoi l’égalité prouvée à la question précédente permet d’obtenir une écriture égyptienne de la fraction
201
sans utiliser l’algorithme de Fibonacci.
1. Utiliser l’algorithme de Fibonacci pour déterminer une écriture égyptienne de
3.
Calcul de
11
12
Conclusion :
2.
Entier p
11
.
12