et son corrigé

TS spé maths 2005/2006
Devoir Maison.
Exercice 1: Diviseurs positifs
Un entier naturel N a pour décomposition en produit de facteurs premiers
βα
32 .
Déterminer les valeurs de N telles que le nombre de diviseurs positifs de N
2
soit le
triple du nombre de diviseurs positifs de N.
Indication éventuelle : 1)1)(1(
−
−
−
=
−
−
β
α
β
α
αβ
Solution :
Un diviseur positif de N a pour décomposition en produit de nombres premiers 2
a
× 3
b
avec
0 ≤ a ≤ α et 0 ≤ b ≤ β donc le nombre de diviseurs positifs de N vaut ( α + 1) × ( β + 1)
De même le nombre de diviseurs positifs de N²=
βα 22
32 vaut (2 α + 1) × (2 β + 1)
On veut que : (2 α + 1) × (2 β + 1) = 3 ( α + 1) × ( β + 1)
Egalité équivalente à : αβ = α + β + 2 ⇔ αβ – α – β = 2 ⇔ ( α – 1) × ( β – 1) = 3
(en utilisant l’indication).
Comme 3 est un nombre premier on a :
soit α – 1 = 3 et β – 1 = 1
soit α – 1 = 1 et β – 1 = 3
On en déduit qu’il y a deux solutions N
1
= 2
4
× 3
2
= 144 et N
2
= 2
2
× 3
4
= 324
Exercice 2: Un nombre de Carmichael
1) Décomposer l’entier naturel 561 en produit de facteurs premiers.
2) Soit a un entier relatif premier avec 561, quelconque.
a) Justifier que a est premier avec tout diviseur de 561.
b) Démontrer qu’on a la relation : 1
560
≡a [561].
Solution :
1) n = 561 s'écrit n = 3 × 11 × 17 et il est évident qu'avec :
p = 3, p – 1 = 2 divise n – 1 = 560 ;
q = 11, q – 1= 10 divise 560 ;
r = 17 , r – 1 = 16 divise 560 (35 × 16) .
2) a) Soit a un entier premier avec 561. Si d est un diviseur de 561 et si PGCD (a, d) = d’ alors
d’ divise a et d, donc d’ divise a et 561 et donc d’ = 1 puisque PGCD (a, 561) = 1 donc a est
premier avec tout diviseur de 561.
b) On a donc (grâce au théorème de Fermat)
Comme a est premier avec 3, alors a² ≡ 1 (3) et comme 560 est multiple de 2; a
560
≡ 1 (3)
Comme a est premier avec 11, alors a
10
≡ 1 (11) et comme 560 est multiple de 10; a
560
≡ 1 (11)
Comme a est premier avec 17, alors a
16
≡ 1 (17) et comme 560 est multiple de 16; a
560
≡ 1 (17)
Ainsi pour n = 561 on a : 3 divise a
n-1
– 1, 11 divise a
n-1
– 1, 17 divise a
n-1
– 1,
Le produit des trois nombres premiers distincts 3 × 11 × 17 = n divise aussi a
n-1
– 1.
Ce résultat montre que, si un entier n, supérieur ou égal à 2, est tel qu’on ait la relation
1
1
≡
−n
a [n] pour tout entier a premier avec n, alors n n’est pas nécessairement premier. Un
tel nombre n est appelé un nombre de Carmichael (appelé aussi pseudo-premier).

TS spé maths 2005/2006
Exercice 3: Les nombres de Poulet.
1. Soit n un entier naturel impair ( n
≥ 1) tel que 2
n-1
n’est pas congru à 1 modulo n.
Prouver que n n’est pas premier.
2. Prouver que : 2
340
≡ 1 [341] et que 341 n’est pas premier.
3. Que signifie le résultat ci-dessus ?
4. 341 est appelé nombre de Poulet : chercher (encyclopédie, internet….) d’autres nombres
de Poulet.
5. Mais qui donc est Poulet ?
Solution :
1) Si n impair est premier, alors n est premier avec 2 et d'après le théorème de Fermas,
2
n-1
≡ 1(n) . Contradiction avec l'hypothèse ! Par suite, n n’est pas premier.
2) On a 341 = 11 × 31 qui est donc composé.
Par ailleurs, soit parce que l'on a remarqué que 3 × 341 = 1 023 et que 2
10
= 1 024 est connu,
soit parce que l'on a étudié la séquence mod(2
n
; 341) , pour n = 9 et 10 (et c'est tout), on
obtient : 2
10
≡ 1 (341)
Dès lors, 2
340
= (2
10
)
34
≡ 1 (341).
On constate que la congruence 2
n-1
≡ 1(n) n’est pas « spécifique » aux nombres premiers.
• 341 est le plus petit pseudo-premier de base 2.
• Ce qui signifie que 2
340
– 1 est divisible par 341, bien que 341 soit composé et
non pas premier
Nombres de Poulet :
Ces nombres sont synonymes de nombres pseudo-premiers de base 2, nombres
étudiés par Poulet dans les années 1910-1930 et que généralisera Carmichael. Ils
firent également l'objet d'études de la part du mathématicien polonais contemporain
Andrzej Rotkiewicz qui prouva (1965) que si n >19, on trouve un nombre de Poulet
entre n et n
2
: il y en a donc une infinité. Les premiers nombres de Poulet sont :
341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, ...
http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/N100a500/Poulet.htm
http://serge.mehl.free.fr/chrono/poulet.html