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MAT 1740
Test - Solutionnaire
QUESTION 1 [10 points] : Considérons les vecteurs suivants
~a = [1, 2, 2], ~b = [3, 2, 4] et ~c = [−1, −1, 0].
a) Déterminer
i) ~a − 2 ~b,
ii) ~a • ~b,
iii) |~a|.
Solution :
i) ~a − 2 ~b = [1, 2, 2] − 2 [3, 2, 4] = [−5, −2, −6]
ii) ~a • ~b = [1, 2, 2] • [3, 2, 4] = 3 + 4 + 8 = 15
p
√
2
2
2
iii) | ~a| = 1 + 2 + 2 = 9 = 3
X
b) Déterminer le vecteur ~a ↓ ~b et obtenir l’angle θ entre le
vecteur ~a ↓ ~b et le vecteur ~c.
Solution :
et
15
15
~a • ~b ~
b=
[3, 2, 4] =
[3, 2, 4]
~a ↓ ~b =
~b • ~b
9 + 4 + 16
29
(~a ↓ ~b) • ~c
(15/29) (−5)
√ √ ≈ −0.6565 ⇒ θ ≈ 131◦
cos θ =
=
(15/29) 29 2
|~a ↓ ~b| |~c|
1
QUESTION 2 [10 points] :
a) Illustrer les déplacements suivants avec des vecteurs. Le
−
vecteur →
a représente un déplacement de 10 km à 45◦ et le
→
−
vecteur b représente un déplacement de 5 km à 75◦ .
N
10 km
~a
45◦ 30◦
:
5 km
~b
X
→
−
−
b) Déterminer la résultante, c’est-à-dire →
a + b.
Solution : Méthode Algébrique : Les angles directeurs pour
les vecteurs ~a et ~b sont 45◦ et 15◦ , respectivement. Alors,
√
√
~a = [|~a| cos 45◦ , |~a| sin 45◦ ] = [10/ 2, 10/ 2] ≈ [7.07, 7.07]
et
h
i
~b = |~b| cos 15◦ , |~b| sin 15◦ ≈ [4.83, 1.29].
Alors, la résultante est ~a + ~b = [11.9, 8.36]. Sa longeur est
p
~
|~a + b| = 11.92 + 8.362 ≈ 14.54 km.
Son angle directeur θ satisfait tan θ = 8.99/11.9. On obtient
tan−1 (8.36/11.9) ≈ 35◦ . Cet angle est dans le bon quadrant
alors, θ ≈ 55◦ . Donc la résultante répresente un déplacement
d’environ 14.9 km à 53◦ .
2
Méthode Géométrique :
~b
:
3
◦ 75
90◦ ◦
◦
45 150 N
~a
β
~a + ~b
◦ 45
Par la loi du cosinus,
|~a + ~b|2 = |~a|2 + |~b|2 − 2 |~a| |~b| cos 150◦ .
Alors,
|~a + ~b| =
p
102 + 52 − 2 (10) (5) cos 150◦ ≈ 14.55 km .
Soit β l’angle formé par ~a et ~a + ~b. Par les lois du sinus, on
obtient
sin β
sin 150◦
=
⇒ β ≈ 10◦ .
|~b|
|~a + ~b|
Donc, la résultante correspond à un déplacement d’environ 14.55
km à 55◦ .
X
3
QUESTION 3 [10 points] : Considérons les vecteurs ~a et ~b
dans l’espace cartésien R3 , tel que
|~a | = 8, |~b | = 4
et
|~a × ~b| = 16.
a) Obtenir l’angle θ formé par les vecteurs ~a et ~b.
Solution :
sin θ =
|~a × ~b| 1
=
2
|~a| |~b|
⇒ θ = 30◦ ou 150◦
X
b) Déterminer l’aire du parallélogramme formé par les vecteurs
~a et ~b.
Solution : Aire du parallélogramme est égal à |~a × ~b| = 16.
c) Évaluer les expressions suivantes.
~
~
i) ~a • b,
ii) ~a + b • 4 ~b ,
X
iii) |~a ↓ ~b|.
Solution: Si θ = 30◦ , alors
√
√
3
= 16 3
i) ~a • ~b = |~a| |~b| cos θ = 8 · 4 ·
2
√
ii) ~a + ~b • 4 ~b = 4 ~a • ~b + |~b|2 = 4 (16 3 + 42 ) ≈ 174.9
! !
~a • ~b ~a • ~b
~
~b = iii) |~a ↓ ~b| = |b|
|~b|2 ~b • ~b
√
√
|~a • ~b| 16 3
=4 3
=
=
4
|~b|
4
Si θ = 150◦ , alors
√
√
3
−
~
~
i) ~a • b = |~a| |b| cos θ = 8 · 4 ·
= −16 3
2
√
2
~
~
~
~
ii) ~a + b • 4 b = 4 ~a • b + |b| = 4 (−16 3+42 ) ≈ −46.9
! !
~a • ~b ~a • ~b
~
~b = iii) |~a ↓ ~b| = |b|
|~b|2 ~b • ~b
√
√
|~a • ~b| 16 3
=4 3
=
=
4
|~b|
X
QUESTION 4 [10 points] : Considérer les vecteurs ~a =
[1, −1, 1], ~b = [2, −1, 1], ~c = [4, −3, 3].
a) Est-ce que les vecteurs ~a et ~b sont colinéaires? Pourquoi?
Solution : Si oui, il existe un scalaire k tel que ~a = k ~b. C’està-dire, [1, −1, 1] = k [2, −1, 1]. Ceci implique

 1 = 2k
−1 = −k

1 = k
Alors, k = 1/2 et k = 1. On abouti à une contradiction. Donc,
ils ne sont pas colinéaires.
X
5
b) Est-ce que les vecteurs ~a, ~b et ~c sont coplanaires? Pourquoi?
Solution :
~i ~j ~k
~a × ~b = 1 −1 1
2 −1 1
= [0, 1, 1]
Puisque (~a × ~b) • ~c = [0, 1, 1] • [4, −3, 3] = 0 − 3 + 3 = 0, alors ~a,
~b et ~c sont coplanaires.
Solution Alternative : Résolvons ~c = s ~a + t ~b, c’est-à-dire
[4, −3, 3] = s [1, −1, 1] + t [2, −1, 1]. Ceci implique

 s + 2t = 4
−s − t = −3

s+t = 3
Isolons s de la première équation, on obtient s = 4 − 2 t. Substitions s dans la deuxième équation. On obtient −(4 − 2 t) − t =
−3. Alors, t = 1. Substituons s dans la troisième équation,
on obtient 4 − 2 t + t = 3. Alors t = 1. Puisque t = 1, alors
s = 4 − 2 (1) = 2. Alors, ~c = 2 ~a + ~b. Donc, ~a, ~b et ~c sont
coplanaires.
X
c) Déterminer un vecteur orthogonal au vecteur ~a et au vecteur
~b.
Solution : Le vecteur ~a ×~b = [0, 1, 1] est orthogonal au vecteur
~a et au vecteur ~b.
X
6
QUESTION 5 [10 points] :
a) Soit la droite `1 qui passe par les deux points A(1, 2) et
B(2, 2). Écrire une équation vectorielle de la droite et écrire
une équation symétrique de la droite.
−→
Solution : Le vecteur AB = [1, 0] est un vecteur directeur
de cette droite qui passe par le point (1, 2). Donc, une équation
vectorielle de la droite est
[x, y] = [1, 2] + t [1, 0].
Une équation symétrique est
x−1 y−2
=
.
1
0
On observe que cette équation n’est pas définie, alors la droite
n’a pas d’équation symétrique.
X
b) Soit la droite d’équation suivante
x−2 y+1
=
.
4
3
Déterminer un point sur la droite et déterminer un vecteur directeur de la droite, c’est-à-dire un vecteur parallèle à la droite.
Solution : La droite passe par le point (2, −1) et est parallèle
au vecteur [4, 3].
X
7