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MAT 1740
Test - Solutionnaire
QUESTION 1 [10 points] : Consid´erons les vecteurs suivants
~a = [1,2,2], ~ b= [3,2,4] et ~c = [−1,−1,0].
a) D´eterminer
i)~a −2~ b, ii)~a •~ b, iii)|~a|.
Solution :
i)~a −2~ b= [1,2,2] −2 [3,2,4] = [−5,−2,−6]
ii)~a •~ b= [1,2,2] •[3,2,4] = 3 + 4 + 8 = 15
iii)|~a|=p12+ 22+ 22=√9 = 3
X
b) D´eterminer le vecteur ~a ↓~ bet obtenir l’angle θentre le
vecteur ~a ↓~ bet le vecteur ~c.
Solution :
~a ↓~ b=~a •~
b
~
b•~ b
~
b=15
9 + 4 + 16 [3,2,4] = 15 29 [3,2,4]
et
cos θ=(~a ↓~
b)•~c
|~a ↓~ b||~c|=(15/29) (−5)
(15/29)√29 √2≈ −0.6565 ⇒θ≈131◦
1

QUESTION 2 [10 points] :
a) Illustrer les d´eplacements suivants avec des vecteurs. Le
vecteur −→ arepr´esente un d´eplacement de 10 km `a 45◦et le
vecteur −→ brepr´esente un d´eplacement de 5 km `a 75◦.
10 km
5 km
N
:
~a
~
b
45◦30◦
X
b) D´eterminer la r´esultante, c’est-`a-dire −→ a+−→ b.
Solution : M´ethode Alg´ebrique : Les angles directeurs pour
les vecteurs ~a et ~ bsont 45◦et 15◦, respectivement. Alors,
~a = [|~a|cos 45◦,|~a|sin 45◦] = [10/√2,10/√2] ≈[7.07,7.07]
et ~
b=h|~ b|cos 15◦,|~ b|sin 15◦i≈[4.83,1.29].
Alors, la r´esultante est ~a +~ b= [11.9,8.36].Sa longeur est
|~a +~ b|=p11.92+ 8.362≈14.54 km.
Son angle directeur θsatisfait tan θ= 8.99/11.9. On obtient
tan−1(8.36/11.9) ≈35◦. Cet angle est dans le bon quadrant
alors, θ≈55◦. Donc la r´esultante r´epresente un d´eplacement
d’environ 14.9 km `a 53◦.
2

M´ethode G´eom´etrique :
N
:
45◦
90◦75◦
150◦
3
β
~a
~
b
~a +~ b
45◦
Par la loi du cosinus,
|~a +~ b|2=|~a|2+|~ b|2−2|~a||~ b|cos 150◦.
Alors,
|~a +~ b|=p102+ 52−2 (10) (5) cos 150◦≈14.55 km .
Soit βl’angle form´e par ~a et ~a +~ b. Par les lois du sinus, on
obtient sin β
|~ b|=sin 150◦ |~a +~ b|⇒β≈10◦.
Donc, la r´esultante correspond `a un d´eplacement d’environ 14.55
km `a 55◦.
X
3

QUESTION 3 [10 points] : Consid´erons les vecteurs ~a et ~ b
dans l’espace cart´esien R3, tel que
|~a |= 8,|~ b|= 4 et |~a ×~ b|= 16.
a) Obtenir l’angle θform´e par les vecteurs ~a et ~ b.
Solution :
sin θ=|~a ×~
b|
|~a||~ b|=1
2⇒θ= 30◦ou 150◦
X
b) D´eterminer l’aire du parall´elogramme form´e par les vecteurs
~a et ~ b.
Solution : Aire du parall´elogramme est ´egal `a |~a ×~ b|= 16.
X
c) ´ Evaluer les expressions suivantes.
i)~a •~ b, ii)~a +~ b•4~ b, iii)|~a ↓~ b|.
Solution: Si θ= 30◦, alors
i)~a •~ b=|~a||~ b|cos θ= 8 ·4·√3
2= 16 √3
ii)~a +~ b•4~ b= 4 ~a •~ b+|~ b|2= 4 (16 √3 + 42)≈174.9
iii)|~a ↓~ b|= ~a •~
b
~
b•~ b!~
b = ~a •~
b
|~ b|2!|~
b|
=|~a •~
b|
|~ b|=16 √3
4= 4 √3
4

Si θ= 150◦, alors
i)~a •~ b=|~a||~ b|cos θ= 8 ·4·−√3
2=−16 √3
ii)~a +~ b•4~ b= 4 ~a •~ b+|~ b|2= 4 (−16 √3+42)≈ −46.9
iii)|~a ↓~ b|= ~a •~
b
~
b•~ b!~
b
= ~a •~
b
|~ b|2!|~
b|
=|~a •~
b|
|~ b|=16 √3
4= 4 √3
X
QUESTION 4 [10 points] : Consid´erer les vecteurs ~a =
[1,−1,1], ~ b= [2,−1,1], ~c = [4,−3,3].
a) Est-ce que les vecteurs ~a et ~ bsont colin´eaires? Pourquoi?
Solution : Si oui, il existe un scalaire ktel que ~a =k~ b. C’est-
`a-dire, [1,−1,1] = k[2,−1,1].Ceci implique
1 = 2 k
−1 = −k
1 = k
Alors, k= 1/2 et k= 1. On abouti `a une contradiction. Donc,
ils ne sont pas colin´eaires.
X
5