Exercices 1 Entiers, rationnels et réels

Exercices 1 Entiers, rationnels et réels
Rappels algébriques sur les nombres et initiation à l’Arithmétique des
entiers.
1 Entiers, rationnels et réels .............................................................. 1
1 Arithmétiquedesentiers ........................................................... 2
1.1 Divisioneuclidienne ........................................................ 2
1.2 Congruences ............................................................... 2
1.3 Plus grand diviseur commun et plus petit commun multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Équations .................................................................. 3
1.5 Nombrespremiers .......................................................... 4
1.6 Décomposition en produit de facteurs premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Rationnelsetirrationnels........................................................... 5
3 Sujetsderéflexion.................................................................. 6
3.1 Arithmétiquedesentiers..................................................... 6
3.2 Rationnels et irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Indications ........................................................................ 8

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Les difficultés sont échelonnées de la manière suivante : aucune, ♪,♪♪,♪♪♪et ♪♪♪♪. Certains énoncés
sont tirés des annales des concours (oral et écrit), leur provenance est le plus souvent précisée. Les exer-
cices notés ♪♪♪ et ♪♪♪♪ sont particulièrement délicats.
1. Arithmétique des entiers
1.1. Division euclidienne
1 . [ Une division qui tombe juste ] ( ind )
Montrer que pour tout n∈N,n2divise (n+1)n−1.
2 . [ Calcul d’un reste et d’un quotient ♪] ( ind )
Soient a,bdeux entiers avec aÊ3 et bÊ2. On note qet rle quotient et le reste dans la division eucli-
dienne de a−1 par b. Pour tout n∈N∗, déterminer le quotient et le reste dans la division euclidienne
de abn−1 par bn+1.
3 . [ Combinaisons linéaires ♪♪ ] ( ind )
Soient x1,x2,...,x10 dix nombres entiers. Démontrer qu’il existe une combinaison
a1x1+a2x2+···+a10x10
avec les ai∈{−1,0,1} non tous nuls, qui est divisible par 1001.
1.2. Congruences
4 . [ Somme de deux carrés modulo 7 ♪] ( ind )
Soient xet ydeux entiers. Montrer que x2+y2est divisible par 7 si et seulement si x et yle sont.
5 . [ Divisibilité par 7 d’une somme de trois cubes ♪] ( ind )
Soient des entiers naturels a,bet c. Établir que si 7 divise a3+b3+c3alors 7 divise abc.
6 . [ Chiffre des unités, un grand classique ♪♪ ] ( ind )
Déterminer le chiffre des unités de 777.
7 . [ MP-Mines-Ponts 2010 ♪♪ ] ( ind )
Donner le reste dans la division euclidienne de 20102010 par 13.
8 . [ Congruences remarquables ♪♪ ] ( ind )
a) Montrer que pour tout n∈N, 5 divise 23n+5+3n+1.
b) Montrer que, pour tout entier n∈N, 30 divise n5−n.
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9 . [ Calcul d’une valuation dyadique ♪♪ ] ( ind )
Montrer que la plus grande puissance de 2 divisant 52n−1 est 2n+2.
1.3. Plus grand diviseur commun et plus petit commun multiple
10 . [ Un vieil exercice de concours, MP-Centrale-1974 ♪] ( ind )
On pose un=5n+6npour tout n∈N. Calculer un+1∧un.
11 . [ Nombres de Fermat, posé aux Mines en MP ♪♪ ] ( ind )
Soit n∈N, on pose f(n)=22n+1.
a) Trouver une relation entre f(n+1) et
n
Y
k=0
f(k).
b) Etablir que, pour tous entiers net m,m6=n⇒f(n)∧f(m)=1.
12 . [ Arithmétique des polynômes ♪♪ ] ( ind )
Soient a,m,ndes entiers naturels non nuls avec aÊ2. On pose d=(an−1)∧(am−1).
a) Soit (q,r) le couple (quotient,reste) dans la division euclidienne de npar m. Démontrer que l’on a
an=ar[am−1].
b) En déduire que d=(ar−1)∧(am−1), puis d=an∧m−1.
c) À quelle condition am−1 divise-t-il an−1 ?
13 . [ Nombres de Fibonacci ♪♪ ] ( ind )
On considère la suite (Fn) définie par ses premiers termes F0=0 et F1=1 et par la relation de récurrence
Fn+2=Fn+Fn+1pour n∈N.
a) Montrer que pour tout entier n∈N∗, Fn−1Fn+1−F2
n=(−1)n. Déduisez-en que Fnet Fn+1sont
premiers entre eux.
b) Montrer que pour tout couple (n,p)∈N×N∗, Fn+p=FpFn+1+Fp−1Fn.
c) En déduire que Fn∧Fp=Fn+p∧Fp.
d) Démontrer que pour tout (m,n)∈N2, Fm∧Fn=Fm∧n.
1.4. Équations
14 . [ Une équation ] ( ind )
Résoudre dans (N∗)3l’équation 1
x+1 y+1 z=1.
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15 . [ Deux systèmes d’équations ♪] ( ind )
Résoudre les systèmes
a) (x∧y=3
x∨y=135 ; b) (x+y=100 x∧y=10 .
16 . [ Quelques équations en vrac ♪♪ ] ( ind )
Résoudre les équations suivantes :
a) 3x+2y=5 ;
b) 7x−11y=6 ;
c) 2x+3y+5z=1 ;
d) ½x=2[3]
x=3[5] ;
e) 11(x∧y)+(x∨y)=203.
17 . [ Un classique de l’oral de l’X en MP ♪♪♪ ] ( ind )
Déterminer les couples d’entiers (a,b)∈(N∗)2tels que ab=ba.
1.5. Nombres premiers
18 . [ Une propriété des nombres premiers ] ( ind )
a) Soit nun entier impair. Montrer que n2=1[8].
b) Soit p>3 un nombre premier. Montrer que p2−1 est multiple de 24.
19 . [ Un intervalle sans nombre premier ] ( ind )
Montrer que l’intervalle n!+2,n!+n, avec nÊ2, ne contient aucun nombre premier.
20 . [ Mersenne numbers ♪♪ ] ( ind )
Denote by Mn=2n−1 the n-th Mersenne number.
a) Prove that if Mnis a prime number then nis prime too.
b) Show that M11 is not prime.
21 . [ Primalité de an+1♪♪ ] ( ind )
Soient a>1 et n>0 deux entiers naturels. Montrer que an+1 est premier ⇒ ∃m∈N,n=2m.
22 . [ X-PC 2010 ♪♪ ] ( ind )
Soient (a,b)∈(N∗)2et n∈N\ {0,1} tels que an+bnsoit un nombre premier. Montrer que nest une
puissance de 2.
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1.6. Décomposition en produit de facteurs premiers
23 . [ X-PC 2011 ♪♪ ] ( ind )
a) Soit p∈N∗. Déterminer le nombre de diviseurs de 2p.
b) Soit n∈N∗. Déterminer le nombre de diviseurs de n.
c) Déterminer les n∈N∗ayant un nombre impair de diviseurs.
d) Trouver le plus petit entier naturel possédant 15 diviseurs dans N∗.
24 . [ Valuation p-adique ♪♪♪ ] ( ind )
Soit pun entier premier. Pour tout x∈Z, on note νp(x) l’exposant de pdans la décomposition de xen
produit de facteurs premiers. On considère n∈N∗. Attention, cette exercice nécessite la connaissance
de la partie entière bxcd’un réel x.
a) Soit m∈N∗. Déterminer le nombre de multiples de mappartenant à 1,n. On utilisera la partie
entière.
b) En déduire que νp(n!) =X
kÊ1¹n
pkº.
c) Application 1 : montrer que l’écriture décimale de 1000! se termine par 249 zéros.
d) Application 2 : soient net mdans N; montrer que (2n)!(2m)!
n!m!(n+m)! ∈N.
2. Rationnels et irrationnels
25 . [ Cubique ♪] ( ind )
On rappelle que, pour tout réel x, la racine cubique de x(notée 3
px) est l’unique réel dont le cube vaut
x, c’es-à-dire l’unique solution yde l’équation y3=x.On pose a=α+βoù
α=3
q20+14p2, β=3 q20−14p2
a) Prouver que a3−6a−40 =0.
b) En déduire que a=4.
c) Simplifier de même b=3
p5p2+7−3 p5p2−7.
26 . [ Simplification d’une somme de radicaux ♪] ( ind )
Simplifier l’expression suivante pa+2pa−bpb+pa−2pa−bpboù (a,b)∈R2
+et bÉa.
27 . [ Sommes de racines ♪] ( ind )
Montrer que les nombres p6, p2+p3 et p2+p3+p6 sont irrationnels.
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