Algèbre 2 2016-2017

Algèbre 2
2016-2017
F. Sueur
Ce cours est inclus dans une combinaison convexe de
(1) cours d’algèbre linéaire 1et 3des années précédentes dues à C. Bachoc,
(2) cours d’algèbre linéaire 2des années précédentes dues à J.-J. Ruch,
(3) lubies personnelles.
C’est avec gratitude que les deux premiers ingrédients sont employés.
Si vous trouvez des typos, erreurs, choses qui ne vont pas, merci de les signaler par mail à
franc[email protected]ordeaux.fr
Ce poly est donc amené à être actualisé de temps en temps.

Table des Matières
Chapitre 1. Le vocabulaire des lois de composition sur un ensemble 5
I. Groupes 5
I.1. Définition et premières propriétés 5
I.2. Exemples 6
I.3. Sous-groupes 7
I.4. Sous-groupes engendrés par une partie 9
I.5. Ordres 9
II. Le groupe symétrique Sn10
II.1. Définition 10
II.2. La décomposition canonique d’une permutation en produit de cycles 11
II.3. La signature 13
II.4. Complément : conjugaison dans Sn14
III. Anneaux et corps 15
III.1. Définitions 15
III.2. Exemples 16
III.3. Sous-anneaux, idéaux, anneaux quotients 17
III.4. Idéaux principaux, anneaux principaux 18
Chapitre 2. Polynômes à coefficients dans Rou C19
I. Définitions et premières propriétés 19
II. Division euclidienne (dans Zet) dans K[X]22
III. Algorithme d’Euclide étendu et relation de Bezout 24
IV. Conséquences du théorème de Bezout 26
V. Polynômes irréductibles 27
Chapitre 3. Réduction des endomorphismes 29
I. Rappel sur les espaces vectoriels 29
I.1. Définitions 29
I.2. Somme et somme directe de sous-espaces vectoriels 30
II. Déterminant 31
II.1. Définition et premières propriétés du déterminant d’une matrice 31
II.2. Determinant des matrices triangulaires par blocs 33
II.3. Déterminant d’une famille de vecteurs, multiplicativite et critère d’inversibilité 34
II.4. Determinant de matrices semblables et determinant d’un endomorphisme 37
II.5. Développement par rapport à une ligne ou une colonne 38
II.6. Calcul de l’inverse d’une matrice 39
II.7. Système de Cramer 40
III. Diagonalisation 41
III.1. Valeur propre et vecteur propre 41
III.2. Polynôme caractéristique 42
III.3. Étude des sous-espaces propres 44
III.4. Endomorphismes diagonalisables 45
III.5. Exemple de diagonalisation 46
IV. Trigonalisation 47
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IV.1. Endomorphismes trigonalisables 47
IV.2. Exemple de trigonalisation 48
V. Polynômes d’endomorphismes - Polynôme minimal 49
V.1. Polynômes d’endomorphismes 49
V.2. Polynôme minimal 49
V.3. Théorème de Cayley-Hamilton 50
V.4. Lemme de décomposition des noyaux 52
V.5. Diagonalisation à l’aide du polynôme minimal 53
VI. Sous-espaces caractéristiques 54
VI.1. Définition et premières propriétés 54
VI.2. Applications linéaires restreintes 56
VI.3. Trigonalisation des matrices en blocs relatifs aux sous-espaces caractéristiques 57
VII. Endomorphismes nilpotents 59
VII.1. Caractérisation des endomorphismes nilpotents 59
VII.2. Décompositions de Dunford et de Jordan 59
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Chapitre 1
Le vocabulaire des lois de composition sur un ensemble
Ce premier chapitre est consacré à l’introduction de quelques structures algébriques fondamentales de
l’algèbre générale, en particulier les groupes, les anneaux et les corps. Nous étudierons particulièrement le
groupe symétrique qui sera très utile dans la suite du cours à travers notamment la notion de déterminant.
I. Groupes
Nous allons commencer par la notion de groupe. Le concept se développa à travers différents travaux
notamment d’ Évariste Galois, d’Augustin Louis Cauchy, d’Arthur Cayley, de Felix Klein, de Sophus Lie
et c’est finalement Walther von Dyck pour la définition générale abstraite employée aujourd’hui.
I.1. Définition et premières propriétés. On commence par introduire la notion de groupe.
Définition 1. Un groupe est un ensemble Gmuni d’une loi de composition interne ∗, c’est-à-dire d’une
application :
G×G→G
(x, y)7→ x∗y
vérifiant les propriétés suivantes :
(1) La loi ∗est associative :x∗(y∗z)=(x∗y)∗zpour tout x, y, z dans G.
(2) (G, ∗)possède un élément neutre, c’est-à-dire un élément e∈Gtel que e∗x=x∗e=xpour tout
xdans G.
(3) Tout élément de Gest inversible : pour tout x∈G, il existe y∈Gtel que x∗y=y∗x=e.
Si de plus, x∗y=y∗xpour tout x, y appartenant à G, on dit que (G, ∗)est un groupe commutatif (ou
abélien, en l’honneur de Niels Abel).
Remarque 2. On ne doit pas être impressionné par le vocabulaire employé ci-dessus : une loi de composition
interne désigne seulement une opération interne dans cet ensemble, qui, à deux éléments quelconques de
cet ensemble en associe, de manière unique, un troisième, toujours dans ce même ensemble.
Remarque 3. L’axiome d’associativité permet de définir l’opération sur trois éléments et non plus deux,
en enlevant les parenthèses. Evidemment par une récurrence triviale le principe se généralise à un nombre
quelconque fini d’éléments.
Remarque 4. Dans les exemples qui vont suivre, nous verrons que l’opération ∗peut désigner suivant les
cas l’addition +, la multiplication ×ou encore la composition ◦. Il faut donc en pratique toujours avoir à
l’esprit l’opération ∗associée au groupe.
Remarque 5. Notons que l’on a précisé dans (2) que le neutre est neutre à gauche et à droite, et dans (3)
que l’inverse est inverse à gauche et à droite car dans le cas général d’un groupe non commutatif le résultat
des opérations x∗yet y∗xpeuvent différer. Cependant les axiomes peuvent être réduits. Par exemple, on
obtient une définition équivalente si on remplace les deux derniers axiomes de la définition ci-dessus par
les conditions suivantes : il existe un élément ede Gqui est neutre à gauche et tout élément admet un
inverse à gauche, i.e. (si vous n’avez pas l’habitude, i.e. est une abréviation latine pour id est, ce qui veut
dire c’est-à-dire) pour tout élément ade G, il existe bdans Gtel que b*a=e(ce qu’on peut exprimer en
disant que tout élément de Gadmet un symétrique à gauche en association avec e).
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