COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L`INGENIEUR MAM

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L’INGENIEUR
MAM 3, Polytech Lyon, 2016-2017
Ionel Sorin CIUPERCA
Le cours s’adresse en principal à des élèves des écoles d’ingénieurs, filière mathématique
appliquées et modélisation.
Le but de ce cours est d’introduire plusieurs outils et concepts mathématiques de base qui
serviront dans tous les autres cours de la filière.
Il y a très peu de démonstrations dans ce polycopié et aussi assez peu d’exemples ; la
plupart des exemples seront donnés en classe.
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Table des matières
1 Une brève introduction à la théorie de la mesure et à l’intégration par
rapport à une mesure 4
1.1 Introduction et motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Quelques rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 La notion de mesure ; cas particulier de la mesure de Lebesque . . . . . . . 10
1.4 L’intégrale par rapport à une mesure et le cas particulier de l’intégrale de
Lebesque..................................... 15
1.5 LesespacesdeLebesque ............................ 27
2 Transformée de Laplace et de Fourier 30
2.1 Fonctions complexes de variables complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Quelquesrappels ............................ 30
2.1.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Transformée de Laplace (TL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.1 Définition de la transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.2 Transformée de Laplace et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Transformée de Laplace et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.4 Formule d’inversion, unicité et applications . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.5 La transformée de Fourier comme cas particulier de la transformée
deLaplace................................ 44
3 Quelques éléments de géométrie analytique : courbes et surfaces 46
3.1 Courbe paramétrée et intégrale courviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Paramétrisations et courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Courbes de classe C1parmorceaux.................. 51
3.1.3 Longueur d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.4 Circulation d’un champ de vecteurs (ou intégrale courviligne) . . . 53
3.2 Nappes paramétrées et surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Quelques rappels d’analyse et d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Définitions et exemples de nappes paramétrées . . . . . . . . . . . . 56
3.2.3 Plan tangent et normale à une surface . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.4 Surfaces de classe C1parmorceaux.................. 60
3.2.5 Intégrales de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2

3.3 Formules de passage d’un type d’intégrale à un autre . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 Formule de Green-Rieman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.2 Formule de Stokes-Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.3 Formule d’Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 La théorie des distributions. 68
4.1 Introduction................................... 68
4.2 L’espace D(Ω) desfonctionstest........................ 70
4.3 La notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Convergence dans D0(Ω) ............................ 77
4.5 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 Produit entre une fonction C∞et une distribution . . . . . . . . . . . . . . 83
4.7 Une brève introduction aux espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3

Chapitre 1
Une brève introduction à la théorie de
la mesure et à l’intégration par rapport
à une mesure
1.1 Introduction et motivation
Rappel sur l’intégrale de Rieman
En 1820 Cauchy démontre que si une fonction f: [a, b]7→ Rest continue,
avec a, b ∈Ret a<b, alors la limite suivante existe :
I(f) = lim
N7→+∞h
N−1
X
j=0
f(xj)
où N∈N∗, xk=a+kh pour k= 0,1,···N−1, h =b−a
N.
Ce nombre réel I(f)n’est autre que Rb
af(x)dx.
En 1854 Rieman introduit le concept général de intégrale de Rieman :
On dit que f: [a, b]7→ Rest intégrable Rieman s’il existe I(f)∈R(qui sera en fait
Rb
af(x)dx) tel que :
∀ > 0∃δ > 0tel que pour toute sous-division x0, x1,···xNde [a, b]avec a=x0< x1<
x2<··· < xN−1< xN=bet maxj=0,1,···N−1(xj+1 −xj)≤δet pour tous ξ0, ξ1,···ξN−1
avec ξj∈[xj, xj+1]on a
|I(f)−
N−1
X
j=0
f(ξj)(xj+1 −xj)| ≤ .
Rieman démontre que toute fonction continue est intégrable (au sense de Rieman), mais
qu’il existe aussi des fonctions non continues qui sont intégrable dans ce sense (par exemple
des fonctions continues par morceaux).
Remarque : le concept peut se généraliser à des fonctions définies sur des ensembles
dans Rnavec n≥2.
4

Les inconvenients de l’intégrale de Rieman :
1. On démontre que toute fonction intégrable Rieman est bornée. Pourtant on utilise
souvent des intégrales comme R1
0
1
√xdx. On ne peut pas définir une telle intégrale en
utilisant la définition vue ci-dessus car la fonction x7→ 1
√xn’est pas bornée (donc
elle n’est pas intégrable) sur ]0,1]. On doit faire alors une extension “artificielle” de
la définition. Pour ce cas on définira R1
0
1
√xdx par l’égalité
Z1
0
1
√xdx = lim
7→0+ Z1
1
√xdx
ce qui donne
Z1
0
1
√xdx = lim
7→0+[2√x]1
= lim
7→0+(2 −2√)=2.
On procède de manière analogue pour définir l’intégrale sur un domaine non borné.
2. Considérons la fonction suivante (appellée fonction de Dirichlet) :
f: [0,1] 7→ Rdonnée par
f(x) = 1si x∈[0,1] −Q
0si x∈[0,1] ∩Q
où Qest l’ensemble des nombres rationnels.
On voit facilement que cette fonction n’est pas intégrable au sense de Rieman
(car pour toute sous division 0 = x0< x1< x2<···xN−1< xN= 1 on peut choisir
d’abord ξ0, ξ1,···ξN∈[0,1] −Qce qui donne PN−1
j=0 f(ξj)(xj+1 −xj) = 1 et ensuite
ξ0, ξ1,···ξN∈[0,1]∩Qce qui donne PN−1
j=0 f(ξj)(xj+1 −xj) = 0, donc contradiction).
D’autre part, Q∩[0,1] est négligeable car dénombrable, alors “c’est comme si f≡1”.
On voudrait alors dire : R1
0f(x)dx =R1 01dx = 1.
3. Il est difficile de passer à la limite sous l’intégrale. Il faut des hypothèses fortes de
convergence uniforme.
Une présentation “intuitive” de l’intégrale de Lebesgue.
En 1902 H. Lebesque utilise une idée différente pour définir Rb
af(x)dx pour une fonction
f: [a, b]→R.
Nous présentons l’idée pour le cas f≥0et nous renvoyons à la Section 1.4 pour le cas
général.
Considérons N∈N∗un nombre “grand” et une division
0 = y0< y1< y2<··· < yN−1< yNde l’intervalle [0,+∞[avec yj−yj−1“petite” pour
tous j= 1,2,···Net yN“grande” (par exemple on peut prendre N=p2avec p∈N∗et
p→ ∞,yj=j
ppour j= 0,1,···p2).
On définit alors (quand elle existe)
Zb
a
f(x)dx = lim
N7→+∞"N−1
X
j=0
yj·“mesure(f−1([yj, yj+1[))00 +yN·“mesure(f−1([yN,+∞[))00#
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