Département de mathématiques et informatique
L1S1, module A ou B
Chapitre 4
Suites réelles
Emmanuel Royer
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p. 2
ÔRemarque importante.
Ce cours nest pas indépendant du
cours de Mathématiques pour tous.
Table des matières p. 3
Table des matières
1 Généralités 4
2 Limite d’une suite 12
2.1 Convergence vers une limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Limiteinnie.................................. 18
3 Comparaisons de suites 26
3.1 Inégalitésetlimites .............................. 26
3.2 Croissance polynômiale et croissance exponentielle . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Approximation décimale des nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Convergence des suites monotones 30
5 Suites extraites 34
6 Quelques suites particulières 38
6.1 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Quelques propriétés des suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.3 Suites définies par une récurrence linéaire d’ordre 2 . . . . . . . . . . . 39
6.3.1 Introduction.............................. 39
6.3.2 Une méthode algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3.3 Une méthode matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3.4 Exemples................................ 46
7 Exercices 49
A Structure linéaire de l’espace vectoriels des suites 55
B Convergence des suites complexes (par Thierry Buard) 55
p. 4 1 Généralités
1Généralités
Une suite réelle est une application d’un sous-ensemble
Zn0
=
{nZ:nn0}
dans
R
. Si
u:Zn0R
est une suite réelle, on note souvent
un
plutôt que
u
(
n
) sa valeur en
n
. Ce réel s’appelle le terme d’indice
n
de la suite. Le réel
un0
s’appelle le premier terme
de la suite. On note aussi (un)nn0(ou parfois juste (un)) la suite u.
Dans la suite, nous omettrons le terme réelle et parlerons de suite quand nous
devrions parler de suite réelle.
Une suite peut être définie à l’aide d’une formule permettant le calcul direct de
chaque terme de la suite, par exemple
11
n6n7
. Cette formule s’appelle le terme
général de la suite
u
. Une suite peut aussi être dfinie par récurrence, c’est-à-dire par la
donnée des
k
premiers termes et d’une relation entre
un+k
et
un+k1,...,un
pour tout
nn0.
Exemple 1On définit une suite en (un)n1en posant
u1= 1 u2= 2 u3= 3
un+3 =un+2 +un+1 +unpour tout n1.
Exemple 2Soit
a
1 un entier quelconque. On définit une suite en (
un
)
n0
en posant
u0=a
un+1 =
1
2unsi unest pair
3un+ 1 si unest impair
pour tout n0.
Soit
n0
un entier. On note
Un0
l’ensemble des suites (
un
)
nn0
. On munit cet ensemble
d’une structure d’espace vectoriel sur R.
Définition 3Soit
u
= (
un
)
nn0
et
v
= (
vn
)
nn0
deux éléments de
Un0
. Leur somme
u
+
v
est l’élément de
Un0
dont le terme d’indice
n
est
un
+
vn
pour tout entier
nn0
. Autrement
dit :
(u+v)n=un+vn
pour tout entier nn0.
Définition 4Soit
u
= (
un
)
nn0
un élément de
Un0
et
λ
un réel. Le produit externe de
λ
par
u
, noté
λu
est l’élément de
Un0
dont le terme d’indice
n
est
λun
pour tout entier
nn0. Autrement dit :
(λu)n=λun
pour tout entier nn0.
1 Généralités p. 5
Exemple 5Soit uet vles suites définies respectivement par
un= 3n+ 2 et vn= 2 + 1
n
pour tout entier n1. La suite 5u4vest la suite wdéfinie pour tout n1 par
wn= 15n+ 2 4
n.
Proposition 6Quelque soit l’entier n0, l’ensemble Un0est un espace vectoriel sur R.
Démonstration.
Lensemble
Un0
est muni d’une opération interne, l’addition, et d’une
opération externe, le produit externe. Vérifions que ces deux opérations vérifient les
axiomes de définition d’un espace vectoriel. Pour cela, on utilise le fait que deux suites
sont égales si et seulement si leurs valeurs en tout entier sont égales et le fait que
R
est
un espace vectoriel. On commence par l’addition.
a)
Laddition est associative. Soit en eet
u,v
et
w
trois suites de
Un0
. Pour tout
nn0on a
((u+v) + w)n= (u+v)n+wn
= (un+vn) + wn
=un+ (vn+wn)
=un+ (v+w)n
=(u+ (v+w))n.
Ainsi, (u+v) + w=u+ (v+w).
b)
Laddition est commutative. Soit en eet
u
et
v
deux suites de
Un0
. Alors pour
tout nn0on a
(u+v)n=un+vn=vn+un= (v+u)n.
Ainsi, u+v=v+u.
c)
La loi admet un élément neutre. Notons en eet 0 la suite qui prend la valeur 0
en tout entier nn0. Pour tous ces entiers, on a
(u+ 0)n=un+ 0n=un+ 0 = un
et donc u+ 0 = u.
d)
Tout élément de
Un0
admet un opposé. Considérons en eet une suite
u∈ Un0
.
Définissons la suite ude Un0par
(u)n=un
pour tout nn0. Alors, pour ces entiers on a
(u+ (u))n=un+ (u)n=unun= 0 = 0n
et donc uest l’opposé de u.
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