TD1 Conversions d`unités et équation aux dimensions

1ère année BTS SCBH
TD1 Conversions d’unités et équation aux dimensions
TD 1 : Conversions d’unités et équation aux dimensions
Préambule :
L'alphabet grec comporte les lettres suivantes:
α (alpha), β(bêta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ζ (dzêta), η (êta), θ (thêta), ι (iota), κ (kappa), λ (lambda),
µ (mu), ν (nu), ξ (ksi), ο (omicron), π (pi), ρ (rhô), σ (sigma), τ (tau), υ (upsilon), φ (phi), χ (khi), ψ (psi) et ω
(oméga).
Le système international d’unité : 7+2 unités…
Grandeur
Écriture
Unité SI
Symboles
Longueur
l
mètre
m
Masse
m
kilogramme
kg
Temps
t
seconde
s
Intensité d’un courant électrique
I
ampère
A
Quantité de matière
n
mole
mol
Température absolue
T
kelvin
K
Intensité lumineuse
Angle plan
Angle solide
IV
α
Ω
candela
radian
stéradian
cd
rad
sr
Multiple et sous-mutiples
Multiples
Symboles
Valeur
Sous-mutiples
Symboles
Valeur
déca
da
10
déci
d
10-1
hecto
h
102
centi
c
10-2
kilo
k
103
milli
m
10-3
méga
M
106
micro
µ
10-6
giga
G
109
nano
n
10-9
téra
T
1012
pico
p
10-12
péta
P
1015
femto
f
10-15
exa
E
1018
atto
a
10-18
zetta
Z
1021
zepto
z
10-21
yotta
Y
1024
yocto
y
10-24
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Toutes les autres unités peuvent s’exprimer à partir des 7+2 unités de bases mais il est souvent commode
d’utiliser les unités dérivées courantes. Quelques exemples :
Grandeur
Unités dérivées
Unité SI
Fréquence : f
hertz (Hz)
s-1
Pulsation : ω
rad.s-1
rad.s-1
Force : F ; P
newton (N)
kg.m.s-2
Énergie : E ; U ; W ; Q
joule (J)
kg.m².s-2
Puissance : P
watt (W)
kg.m².s-3
pascal (Pa)
kg.m-1.s-2
Résistance thermique surfacique : r
m².K.W-1
K.s3.kg-1
Conductivité thermique : λ
W.m-1.K-1
kg.m.s-3.K-1
coulomb (C)
A.s
Tension électrique : U ; V
volt (V)
kg.m². s-3.A-1
Résistance électrique : R
ohm (Ω)
kg.m². s-3.A-2
Éclairement lumineux : E
lux (lx)
cd.sr.m-2
lumen (lm)
cd.sr
lm. m-2
cd.sr.m-2
Pression : p
Quantité d’électricité, charge électrique :Q ;q
Flux lumineux : Ф
Émittance : M
Équation aux dimensions
Les grandeurs physiques ou chimiques sont remplacées par leurs dimensions écrites entre crochet :
- masse m devient [M ]
- distance l , L, h, r, d, e…devient [L]
- temps t devient [T ]
- intensité du courant I devient [ A]
- température θ ou T devient [K ]
- intensité lumineuse Iv devient [I ]
- quantité de matière devient [mol]
Pour écrire une équation aux dimensions :
- on remplace chaque terme de l’équation par sa dimension exprimée en termes :
[ Mα.Lβ.Tδ.Aγ.Kχ.Iε.molη ]
- α, β, δ, γ, χ, ε, et η étant des exposants > 0, < 0 ou = 0 si un(ou plusieurs) facteur(s) est sans dimension
- on réduit les expressions avec les règles mathématiques habituelles sur les puissances.
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Exercice 1 : Exprimer les dimensions et les unités du système international (SI).
a)…d’une surface S, d’un volume V, d’une masse volumique ρ.
b)…d’une vitesse v, d’une accélération a.
(variation de la vitesse avec le temps…accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s-2)
c)…d’une force F
Relation fondamentale de la dynamique : la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale
au produit de la masse du solide par l’accélération de son centre de gravité.
ur
r
∑ F = m. a
exemple : P = m.g
d)…d’une énergie E
Exemple : énergie cinétique Ec = 1/2.m.v2 ou énergie potentielle de pesanteur Ep = m.g.h
(h : hauteur d’élévation du corps)
ur
…d’un travail W…d’une force constante F dont le point d’application se déplace de A vers B :
ur uuur
W = F . AB = F . AB.cos α
r
F
α
A
B
e)…d’une puissance P
f)…d’une pression p
g)…d’une quantité d’électricité q, d’une tension U
Exercice 2 : Homogénéité d’une formule
Vérifier la formule donnant la période T d’un pendule de longueur l et de masse m.
l
T = 2π
g
Exercice 3 : Analyse dimensionnelle :
« Comment trouver une formule »
a) Trouver la formule donnant la poussée d’Archimède F sachant que cette force est une fonction monôme
du volume du corps immergé V, de la masse volumique ρ du fluide et de l’accélération de la pesanteur.
b) Trouver la formule donnant la résistance de l’air R sachant que c’est une fonction monôme de la masse
volumique de l’air ρ, de la vitesse dans l’air v et de la forme du corps par l’intermédiaire de sa section S.
À retenir
• La somme et la différence de plusieurs termes de même dimension donne un seul terme de même
dimension que les autres.
• On ne peut additionner ou soustraire que des quantités de même dimension : « on ne pas additionner
des pommes et des poires »
• De part et d’autre d’une égalité, les deux quantités doivent avoir la même dimension.
Exercice 4 :
Exprimer les unités suivantes à partir des unités de bases SI.
a) Le Joule (J), unité, d’énergie sachant qu’un solide se déplaçant d’un distance d dans la direction d’une
force F qui engendre ce déplacement reçoit l’énergie mécanique ∆W = F.d.
b) Le Watt (P), sachant que la puissance est égale à l’énergie par unité de temps.
c) Le rendement.
Exercice 5 : graphiques et fonctions
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a) Calculer la résistance d’un dipôle dont la caractéristique courant-tension est la suivante :
U (V)
20,0
I (A)
0
3,00
En déduire la valeur de l’intensité quand la tension passe à 24,5 V.
b) Sachant que lorsque un interrupteur électronique est fermé la tension à ses bornes est nulle et qu’elle peut
être quelconque lorsque il est ouvert, en déduire, à partir du relevé du graphe de la tension en fonction du
temps aux bornes d’un interrupteur (I), les phases où l’interrupteur est fermé et celles où il est ouvert.
uI (V)
10
0
10
25
35
60
70
t (ms)
Lorsque l’interrupteur est fermé, un technicien mesure l’intensité du courant électrique circulant dans celuici et obtient 2,2 A. Tracer, en concordance de temps avec la tension le graphe de l’intensité du courant dans
l’interrupteur.
c) La vitesse de rotation d’un moteur électrique varie selon le graphique ci-dessous :
n (tr/min)
1000
0
t1
t2
t3
T
T+t1
T+t2
T+t3
2T
t (s)
1. Donner la valeur maximale de la vitesse de rotation du moteur. Transformer sa valeur afin de
l’exprimer dans le SI.
2. Donner la valeur minimale de la vitesse de rotation du moteur.
3. Citer tous les intervalles de temps où la vitesse est nulle.
4. Citer tous les intervalles de temps où le moteur accélère.
5. Citer tous les intervalles de temps où la vitesse est constante.
6. À votre avis que symbolise la grandeur T ?
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Exercice 6 :
Donner le nom des grandeurs physiques suivante et convertir chacune des quantités en unités légales du
système international, on gardera pour chaque résultat le même nombre de chiffres significatifs.
Nom de la grandeur
Grandeur
En unité SI
Qv = 10 L.min-1
Qm = 630g. min-1
ρ = 7,89 g.cm-3
VM = 22,4 L.mol-1
χ = 350,52 g.L-1
C = 2,5 mol. L-1
Q = 70 A.h
t =1,00 jour
V = 30 cm3
Vgaz = 750,0L
p = 1013,25 hPa
p = 820 mm de Hg
S = 450 cm²
σ = 15g.cm-2
E = 1340 kW.h
V = 20 dm3
Fin
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