Feuille 1

M1 2016–2017
Topologie alg´ebrique
Feuille 1 : Homotopie, et exemples d’espaces
topologiques.
Test de compr´ ehension
Test 1.
Rappeler pourquoi une bijection continue entre 2 espaces topologiques compacts s´epar´es
est un hom´eomorphisme.
Test 2.
Soit X={x0} . Montrer que f, g :X→Y sont homotopes si et seulement si f(x0) et g(x0)
sont dans la meme composante connexe par arcs.
Test 3.
a. Montrer que si Xest connexe, et Y⊂Xest un retract de X, alors Yest connexe.
b. Soit Xun espace topologique, et x0∈X. Montrer que {x0}est un retract de X.
Test 4.
Soient f, g :X→Sndeux applications non surjectives. Montrer qu’elles sont homotopes.
Si f, g et qui coincident sur A⊂X et qui ´evitent un meme point N∈Sn , montrer qu’elles
sont homotopes relativement `a A.
Test 5.
Soit X⊂Rn un sous-ensemble ´etoil´e par rapport `a x0 , c’est `a dire tel que pour tout x∈X ,
[x0, x]⊂X.
Montrer que Xse r´etracte par d´eformation sur {x0}, et donc que Xest contractile.
Homotopie, hom´ eomorphismes
Exercice 1.
Soit C⊂Rn un convexe compact d’int´erieur non vide, et Bn, Sn−1 la boule et la sph`ere
unit´e (pour la norme euclidienne).
Montrer qu’il existe un hom´eomorphisme h:C→Bntel que h(∂C) = Sn−1.
Exercice 2.
Montrer que [0,1] n’est pas hom´eomorphe a S1 (regarder la connexit´e du compl´ementaire
d’un point).
Montrer que Rn’est pas homeomorphe a R2.
1/4

Exercice 3.
a. Soient x, y ∈]0,1[ . Montrer qu’il existe un homeomorphisme h de [0,1] qui fixe 0 et 1 et
qui envoie x sur y . Montrer qu’il existe une homotopie H: [0,1] ×[0,1] →[0,1] entre h et
l’identit´e telle que pour tout s∈[0,1],Hssoit un hom´eomorphisme.
b. Montrer que Rn priv´e de k points est hom´eomorphe `a Rn\ {(i, 0, ..., 0)|i={1, . . . , k}}} .
Exercice 4.
Soit X, Y deux espaces m´etriques, avec Xlocalement compact.
Soit C(X, Y ) l’ensemble des fonctions continues de X dans Y . On met sur C(X, Y ) la topolo-
gie de la convergence uniforme sur les compacts : on d´efinit dK(f, g) = supx∈Kd(f(x), g(x)) ,
et une base de voisinages de fest donn´ee par
Wf,K,ε ={g:X→Y|dK(f, g)< ε}.
Montrer que f, g sont homotopes si et seulement si il existe une application continue
F: [0,1] →C(X, Y )
t7→ Ft
telle que F0=fet F1=g.
Remarque. Lorsque les espaces ne sont pas m´etriques, on utilise la topologie compact-ouvert
sur C(X, Y ) dont une base d’ouverts est WK,U ={f:X→Y|f(K)⊂U} , avec K⊂X
compact, et U⊂Youvert. Le meme r´esultat reste vrai.
Exercice 5.
Montrer que si Yest un retract d’un espace contractile X, alors Yest contractile.
Exercice 6.
Soit Xun espace contractile.
a. Montrer qu’il existe F:X×I→Xtelle que F0= id et F1est constante.
b. Montrer que si f, g :Z→Xsont 2 applications continues, elles sont homotopes.
c. Montrer que toute application f:X→Yest homotope a une application constante.
En particulier, toute application [0,1] →Y est homotope a une application constante
(mais ce n’est pas une homotopie `a extr´emit´es fix´ees !)
d. Donner un exemple d’espace Y et d’applications f, g telles que f, g :X→Y ne sont
pas homotopes.
e. Montrer que si Y est connexe par arcs, toute paire d’applications f, g :X→Y sont
homotopes.
Exercice 7.
En utilisant la decomposition polaire, montrer que GLn(R) est homotopiquement equivalent
`a On(R).
Rappel : toute matrice inversible M∈GLn(R) s’´ecrit de mani`ere unique M=OS avec
S sym´etrique d´efinie positive, et O orthogonale. De plus, l’application M7→ (O, S) de
GLn(R)→On(R)×Symn(R)est continue.
2/4

Exercice 8. Espace contractile vs retract par deformation
Soit Xun espace contractile.
a. Montrer qu’il existe F:X×I→X et x0∈X telle que F0(x) = x et F1(x) = x0 pour
tout x∈X.
b. En quoi Fn’est elle pas forc´ement une retraction par deformation sur {x0}?
c. Soit X⊂R2 l’espace de la figure ci-dessous, qui est la reunion de [0,1] × {0} avec
{q} × [0, q]pour q∈Q∩[0,1].
Montrer que X se r´etracte par deformation sur tout point dans [0,1] × {0} , mais pas sur
un autre point.
d. Soit Y⊂R2obtenu comme union de copies de Xcomme dans la figure ci-dessous.
Montrer que Y est contractile. Montrer cependant que Y ne se r´etracte par deformation
sur aucun point de Y.
Exercice 9.
Soit T2=S1×S1 le tore de dimension 2 , et Γ⊂T2 le graphe form´e par la r´eunion d’une
longitude (S1× {1}) et d’une latitude ({1} × S1) , et soit x0= (1/2,1/2) . Donner une
retraction par deformation explicite de T2\ {x0}sur Γ.
Connexit´ e
Exercice 10.
Un espace X est localement connexe par arcs si pour tout point x et tout voisinage V de
x, il existe un voisinage U⊂Vcontenant xet connexe par arcs.
a. Montrer qu’un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs.
b. En d´eduire qu’un ouvert connexe de Rnest connexe par arcs.
c. Un espace s´epar´e tq tout point a un voisinage hom´eomorphe a Rn s’appelle une vari´et´e
(topologique, de dimension n). Montrer qu’une vari´et´e connexe est connexe par arcs.
Exercice 11.
Soient X, Y deux espaces homotopiquement equivalents.
a. Montrer que si Xest connexe par arcs, Yaussi.
b.
Montrer que X et Y ont le meme nombre de composantes connexes par arcs : si
f:X→Y est une equivalence d’homotopie, montrer que x, x0∈X sont dans la meme
composante connexe par arcs ssi f(x) et f(y) sont dans la meme composante connexe par
arcs, et donc que finduit une bijection entre les composantes connexes par arcs de Xet
de Y.
c. Mˆemes questions avec les composantes connexes.
3/4

Exercice 12.
a. Montrer que [0,1]npour n≥2n’est pas hom´eomorphe a [0,1].
Sont-ils homotopiquement equivalents ?
b. Mˆemes questions avec S1et R2\ {0}.
Exemple d’espaces, recollements
Exercice 13.
Soit Bn={(x1, . . . , xn)|x2
1+· · · +x2
n≤1} ⊂ Rn
la boule ferm´ee de dimension n . Soit ∼
la relation d’equivalence qui identifie entre eux tous les points de Sn−1.
Montrer que Bn/∼est hom´eomorphe `a Sn.
Exercice 14. Cˆone sur un espace
Soit Xun espace topologique. On d´efinit le cˆone sur Xcomme
C(X) = (X×[0,1])/∼
o`u ∼est la relation d’´equivalence qui identifie les points de X× {0}entre eux.
a. Montrer que le cone sur Sn−1est hom´eomorphe `a la boule Bn.
b. Montrer que si Xest s´epar´e, C(X)l’est aussi.
c. Montrer que C(X)est contractile.
Exercice 15. Espace projectif r´eel
Soit PnR= (Rn+1 \ {0})/∼ l’espace projectif r´eel de dimension n , o`u ∼ est la relation
d’´equivalence d´efinie par x∼yssi x=λy pour un certain λ∈R∗.
a. Soit σ:Sn→Snl’application d’antipodie x7→ −x.
Montrer que PnRest hom´eomorphe `a Sn/hσi.
b. Montrer que PnR est hom´eomorphe a l’espace Bn/∼ o`u ∼ est la relation d’antipodie
sur Sn−1.
c. Montrer que PnR est hom´eomorphe au quotient (BntPn−1R)/∼f o`u f:Sn−1→Pn−1R
est l’application x7→ R∗.x , et ∼f est la plus petite relation d’´equivalence qui identifie
x∈Sn−1avec f(x).
Exercice 16. Espace projectif complexe
Soit PnC= (Cn+1 \ {0})/∼ l’espace projectif r´eel de dimension n , o`u ∼ est la relation
d’´equivalence d´efinie par x∼yssi x=λy pour un certain λ∈C∗.
a. Soit S2n+1 ={(z1, . . . , zn+1)| |z1|2+· · · +|zn+1|2= 1} la sphere unit´e dans Cn+1 . L’en-
semble U des complexes λ de module 1 agit sur S2n+1 par homoth´eties (z1, . . . , zn+1)7→ (λz1, . . . , λzn+1) .
Montrer que PnCest hom´eomorphe `a S2n+1/U.
b. Montrer que PnC est hom´eomorphe au quotient (B2ntPn−1C)/∼f o`u f:S2n−1→Pn−1C
est l’application x7→ C∗.x , et ∼f est la plus petite relation d’´equivalence qui identifie
x∈S2n−1avec f(x).
4/4