Feuille 1

M1
2016–2017
Topologie algébrique
Feuille 1 : Homotopie, et exemples d’espaces
topologiques.
Test de compréhension
Test 1.
Rappeler pourquoi une bijection continue entre 2 espaces topologiques compacts séparés
est un homéomorphisme.
Test 2.
Soit X = {x0 }. Montrer que f, g : X → Y sont homotopes si et seulement si f (x0 ) et g(x0 )
sont dans la meme composante connexe par arcs.
Test 3.
a. Montrer que si X est connexe, et Y ⊂ X est un retract de X , alors Y est connexe.
b. Soit X un espace topologique, et x0 ∈ X . Montrer que {x0 } est un retract de X .
Test 4.
Soient f, g : X → S n deux applications non surjectives. Montrer qu’elles sont homotopes.
Si f, g et qui coincident sur A ⊂ X et qui évitent un meme point N ∈ S n , montrer qu’elles
sont homotopes relativement à A.
Test 5.
Soit X ⊂ Rn un sous-ensemble étoilé par rapport à x0 , c’est à dire tel que pour tout x ∈ X ,
[x0 , x] ⊂ X .
Montrer que X se rétracte par déformation sur {x0 }, et donc que X est contractile.
Homotopie, homéomorphismes
Exercice 1.
Soit C ⊂ Rn un convexe compact d’intérieur non vide, et B n , S n−1 la boule et la sphère
unité (pour la norme euclidienne).
Montrer qu’il existe un homéomorphisme h : C → B n tel que h(∂C) = S n−1 .
Exercice 2.
Montrer que [0, 1] n’est pas homéomorphe a S 1 (regarder la connexité du complémentaire
d’un point).
Montrer que R n’est pas homeomorphe a R2 .
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Exercice 3.
a. Soient x, y ∈]0, 1[. Montrer qu’il existe un homeomorphisme h de [0, 1] qui fixe 0 et 1 et
qui envoie x sur y . Montrer qu’il existe une homotopie H : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] entre h et
l’identité telle que pour tout s ∈ [0, 1], Hs soit un homéomorphisme.
b. Montrer que Rn privé de k points est homéomorphe à Rn \ {(i, 0, ..., 0)|i = {1, . . . , k}}}.
Exercice 4.
Soit X, Y deux espaces métriques, avec X localement compact.
Soit C(X, Y ) l’ensemble des fonctions continues de X dans Y . On met sur C(X, Y ) la topologie de la convergence uniforme sur les compacts : on définit dK (f, g) = supx∈K d(f (x), g(x)),
et une base de voisinages de f est donnée par
Wf,K,ε = {g : X → Y |dK (f, g) < ε}.
Montrer que f, g sont homotopes si et seulement si il existe une application continue
F : [0, 1] → C(X, Y )
t 7→ Ft
telle que F0 = f et F1 = g .
Remarque. Lorsque les espaces ne sont pas métriques, on utilise la topologie compact-ouvert
sur C(X, Y ) dont une base d’ouverts est WK,U = {f : X → Y |f (K) ⊂ U }, avec K ⊂ X
compact, et U ⊂ Y ouvert. Le meme résultat reste vrai.
Exercice 5.
Montrer que si Y est un retract d’un espace contractile X , alors Y est contractile.
Exercice 6.
Soit X un espace contractile.
a. Montrer qu’il existe F : X × I → X telle que F0 = id et F1 est constante.
b. Montrer que si f, g : Z → X sont 2 applications continues, elles sont homotopes.
c. Montrer que toute application f : X → Y est homotope a une application constante.
En particulier, toute application [0, 1] → Y est homotope a une application constante
(mais ce n’est pas une homotopie à extrémités fixées !)
d. Donner un exemple d’espace Y et d’applications f, g telles que f, g : X → Y ne sont
pas homotopes.
e. Montrer que si Y est connexe par arcs, toute paire d’applications f, g : X → Y sont
homotopes.
Exercice 7.
En utilisant la decomposition polaire, montrer que GLn (R) est homotopiquement equivalent
à On (R).
Rappel : toute matrice inversible M ∈ GLn (R) s’écrit de manière unique M = OS avec
S symétrique définie positive, et O orthogonale. De plus, l’application M 7→ (O, S) de
GLn (R) → On (R) × Symn (R) est continue.
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Exercice 8. Espace contractile vs retract par deformation
Soit X un espace contractile.
a. Montrer qu’il existe F : X × I → X et x0 ∈ X telle que F0 (x) = x et F1 (x) = x0 pour
tout x ∈ X .
b. En quoi F n’est elle pas forcément une retraction par deformation sur {x0 } ?
c. Soit X ⊂ R2 l’espace de la figure ci-dessous, qui est la reunion de [0, 1] × {0} avec
{q} × [0, q] pour q ∈ Q ∩ [0, 1].
Montrer que X se rétracte par deformation sur tout point dans [0, 1] × {0}, mais pas sur
un autre point.
d. Soit Y ⊂ R2 obtenu comme union de copies de X comme dans la figure ci-dessous.
Montrer que Y est contractile. Montrer cependant que Y ne se rétracte par deformation
sur aucun point de Y .
Exercice 9.
Soit T 2 = S 1 × S 1 le tore de dimension 2, et Γ ⊂ T2 le graphe formé par la réunion d’une
longitude (S 1 × {1}) et d’une latitude ({1} × S 1 ), et soit x0 = (1/2, 1/2). Donner une
retraction par deformation explicite de T 2 \ {x0 } sur Γ.
Connexité
Exercice 10.
Un espace X est localement connexe par arcs si pour tout point x et tout voisinage V de
x, il existe un voisinage U ⊂ V contenant x et connexe par arcs.
a. Montrer qu’un espace connexe et localement connexe par arcs est connexe par arcs.
b. En déduire qu’un ouvert connexe de Rn est connexe par arcs.
c. Un espace séparé tq tout point a un voisinage homéomorphe a Rn s’appelle une variété
(topologique, de dimension n). Montrer qu’une variété connexe est connexe par arcs.
Exercice 11.
Soient X, Y deux espaces homotopiquement equivalents.
a. Montrer que si X est connexe par arcs, Y aussi.
b. Montrer que X et Y ont le meme nombre de composantes connexes par arcs : si
f : X → Y est une equivalence d’homotopie, montrer que x, x0 ∈ X sont dans la meme
composante connexe par arcs ssi f (x) et f (y) sont dans la meme composante connexe par
arcs, et donc que f induit une bijection entre les composantes connexes par arcs de X et
de Y .
c. Mêmes questions avec les composantes connexes.
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Exercice 12.
a. Montrer que [0, 1]n pour n ≥ 2 n’est pas homéomorphe a [0, 1].
Sont-ils homotopiquement equivalents ?
b. Mêmes questions avec S 1 et R2 \ {0}.
Exemple d’espaces, recollements
Exercice 13.
Soit Bn = {(x1 , . . . , xn )|x21 + · · · + x2n ≤ 1} ⊂ Rn la boule fermée de dimension n. Soit ∼
la relation d’equivalence qui identifie entre eux tous les points de S n−1 .
Montrer que Bn / ∼ est homéomorphe à S n .
Exercice 14. Cône sur un espace
Soit X un espace topologique. On définit le cône sur X comme
C(X) = (X × [0, 1])/ ∼
où ∼ est la relation d’équivalence qui identifie les points de X × {0} entre eux.
a. Montrer que le cone sur S n−1 est homéomorphe à la boule Bn .
b. Montrer que si X est séparé, C(X) l’est aussi.
c. Montrer que C(X) est contractile.
Exercice 15. Espace projectif réel
Soit P n R = (Rn+1 \ {0})/ ∼ l’espace projectif réel de dimension n, où ∼ est la relation
d’équivalence définie par x ∼ y ssi x = λy pour un certain λ ∈ R∗ .
a. Soit σ : S n → S n l’application d’antipodie x 7→ −x.
Montrer que P n R est homéomorphe à S n /hσi.
b. Montrer que P n R est homéomorphe a l’espace B n / ∼ où ∼ est la relation d’antipodie
sur S n−1 .
c. Montrer que P n R est homéomorphe au quotient (B n tP n−1 R)/ ∼f où f : S n−1 → P n−1 R
est l’application x 7→ R∗ .x, et ∼f est la plus petite relation d’équivalence qui identifie
x ∈ S n−1 avec f (x).
Exercice 16. Espace projectif complexe
Soit P n C = (Cn+1 \ {0})/ ∼ l’espace projectif réel de dimension n, où ∼ est la relation
d’équivalence définie par x ∼ y ssi x = λy pour un certain λ ∈ C∗ .
a. Soit S 2n+1 = {(z1 , . . . , zn+1 )| |z1 |2 + · · · + |zn+1 |2 = 1} la sphere unité dans Cn+1 . L’ensemble U des complexes λ de module 1 agit sur S 2n+1 par homothéties (z1 , . . . , zn+1 ) 7→ (λz1 , . . . , λzn+1 ).
Montrer que P n C est homéomorphe à S 2n+1 /U .
b. Montrer que P n C est homéomorphe au quotient (B 2n tP n−1 C)/ ∼f où f : S 2n−1 → P n−1 C
est l’application x 7→ C∗ .x, et ∼f est la plus petite relation d’équivalence qui identifie
x ∈ S 2n−1 avec f (x).
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