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Terminale ES-méthode
Chapitre 5: Intégration
Primitives
Table des matières
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2 Primitive prenant une valeur donnée en un point
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1
Primitives
1.1
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3
R
F
S.
E
S
H
Rappels
f (x) =
Primitive F (x) =
l’intervalle
1
x
R
2
W
W
R
W
T
A
f (x) =
M
. 1
Primitive F (x) =
l’intervalle
ln(x)
]0; +∞[
x
(Tous les réels sauf 0)
1
x2
−1
x
R∗
x
x
2
x2
x3
3
R
1
x3
−1
2x2
R∗
3
x4
4
R
1
x4
−1
3x3
R∗
x4
x5
5
R
1
x5
−1
4x4
R∗
eax+b
a
R
x
R
F
.
S
E
S
(a et b réels a 6= 0)
H
1.2
Recherche d’une primitive
AT
.M
r Exemple 1 : Fonctions polynômes
W
f est définie sur R par f (x) = 5x − 3x + 1
.
WF de f sur R.
Déterminer une primitive
W
* Solution:
ex
1
1
1
2
3
ex
eax+b
R
2
x3
x2
F (x) = 5 ×
−3×
+ x est une primitive de f sur R
3
2
En effet :
3x2
2x
−3×
+ 1 = 5x2 − 3x + 1 = f (x)
F 0 (x) = 5 ×
3
2
Chapitre 5: Intégration
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1 Primitives
1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Recherche d’une primitive . . . . . . . . .
1.3 Cas de l’exponentielle . . . . . . . . . . . .
1.4 Prouver qu’une fonction est une primitive
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F (x) =
Chapitre 5: Intégration
5x3 3x2
−
+1
3
2
* Solution:
1
1
On peut écrire f (x) = −2 × 2 + 3 ×
x
x
−1
2
F (x) = −2 ×
+ 3 × ln(x) = + 3ln(x) est une primitive de f sur ]0; +∞[.
x
x
En effet :
−2
1
1
2 × (−1)
+ 3 × = 2 + 3 × = f (x)
F 0 (x) =
2
x
x
x
x
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R
F
S.
E
S
F (x) =
1.3
H
2
+ 3ln(x)
x
Cas de l’exponentielle
u 0
W
AT
.M
W
W
0 u
Rappel : (e ) = u e où u est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Par exemple (e2x+1 )0 = 2e2x+1
e2x+1
est une primitive de f (x) = e2x+1 sur R.
donc F (x) =
2
eax+b
Plus généralement. si a et b sont deux réels tels que a 6= 0, F (x) =
est une primitive de
a
f (x) = eax+b sur R.
F (x) = −e−x est une primitive de f (x) = e−x sur R.
R
F
.
S
E
r Exemple 3 : Primitive avec exponentielle
f est définie sur R par f (x) = 2e2−3x .
Déterminer une primitive F de f sur R.
S-
H
T
(2 − 3x) = −3
A
e
−2e
donc F (x) = 2 ×
=
est une primitive de f sur R
−3
3.M
En effet :
W
−2 × (−3)e
6e
=
F (x) =
3
W 3 = 2e = f (x)
W
−2e
* Solution:
0
2−3x
2−3x
0
2−3x
2−3x
2−3x
2−3x
F (x) =
3
Chapitre 5: Intégration
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r Exemple 2 : Avec la fonction ln
−2 3
f est définie sur ]0; +∞[ par f (x) = 2 + .
x
x
Déterminer une primitive F de f sur ]0; +∞[.
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1.4
Chapitre 5: Intégration
Prouver qu’une fonction est une primitive
Rappel : F est une primitive de f sur un intervalle I si pour tout réel x de I, on a F 0 (x) = f (x)
Méthode
• Vérifier que F 0 (x) = f (x)
• Conclure : F est une primitive de f sur I
r Exemple 4 : Prouver que F est une primitive de f
Montrer que F définie par F (x) = xln(x) − x est une primitive de f (x) = ln(x) sur ]0; +∞[
R
F
S.
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* Solution:
E
S
• Calcul de F 0 (x)
On pose u(x) = x et v(x) = ln(x)
1
On a alors u0 (x) = 1 et v 0 (x) =
x
1
0
0
0
F (x) = u (x)v(x) + u(x)v (x) − 1 = 1 × ln(x) + x × − 1 = ln(x) + 1 − 1 = ln(x) = f (x)
x
• On a donc F 0 (x) = f (x) pour tout réel x ∈]0; +∞[
H
W
•
2
AT
.M
W
W
donc F est une primitive de f sur ]0; +∞[
Primitive prenant une valeur donnée en un point
méthode
• Rechercher une primitive F de f sur I
R
F
. C puis déterminer C
• Si on veut que G(a) = b, écrire une équation d’inconnue
S
Ede f sur I telle que G(a) = b
• Réponse : G(x) = F 8x) + C est LA primitive
S
r Exemple 5 : Primitive prenant uneH
valeur donnée en un point
f est définie sur R par f (x) = 3e . T
A
Déterminer la primitive de f sur R s’annulant en x = 1.
M
.
* Solution:
W
Rappel : (e ) = −e W
F (x) = −3e estW
une primitive de f sur R.
• Les primitives de f sont de la forme G(x) = F (x) + C avec C constante réelle.
−x
−x 0
−x
−x
En effet :
F 0 (x) = −3 × (−e−x ) = 3e−x = f (x)
Les primitives de f sur R sont de la forme G(x) = −3e−x + C avec C constante réelle.
Chapitre 5: Intégration
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• Calculer F 0 (x)
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Chapitre 5: Intégration
On veut G(1) = 0.
G(1) = 0
⇐⇒ −3e−1 + C = 0
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⇐⇒ C = 3e−1
⇐⇒ C =
3
e
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G(x) = −3e−x +
R
F
S.
3
et la primitive de f sur R telle que G(1) = 0
e
E
S
H
W
AT
.M
W
W
R
F
.
S
E
H
AT
.M
W
W
S-
W
Chapitre 5: Intégration
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