Correction C#3 1. Développer, réduire et ordonner : B = (3x – 5)2 +(9 – x)(2x – 1) B = (9x² – 2×3x×5 + 25) + (9×2x + 9×(–1) – x×2x – x×(–1)) B = (9x² – 30x + 25) + (18x – 9 – 2x² + x) B = 9x² – 30x + 25 + 19x – 9 – 2x² B = 7x² – 11x + 16 A = (3x – 4)² A = 9x² – 2×3x×4 + 16 A = 9x² – 24x +16 C = (5 x – 2)(1 – 3x) – (3x – 4)2 C = 5x×1 – 5x × 3x – 2×1 + (–2)×(–3x) – [(3x)² – 2×3x×4 + 4²] C = 5x – 15x² – 2 + 6x – 9x² + 24x – 16 C = – 24x² + 35x – 18 2. Factoriser : D = 27x3 – 12x D = 3 × 9 × x² × x – 3 × 4x D = 3x × (9x² – 4) D = 3x(3x – 2)(3x + 2) E = 16x2 – 25 E = (4x – 5)(4x + 5) G = 6x(2x – 3) – (x – 5) (2x – 3) G = (2x – 3)[6x – (x – 5)] G = (2x – 3)(6x – x + 5) G = (2x – 3)(5x + 5) G = 5(2x – 3)(x + 1) F = 5(x + 3) + (x + 3)(x + 2) F = (x + 3)(5 + x + 2) F = (x + 3)(x + 7) H = (x – 5)(7x – 4) + 49x2 – 56x + 16 H = (x – 5)(7x – 4) + (7x – 4)² H = (7x – 4)[x – 5) + (7x – 4)] H = (7x – 4)(x – 5 + 7x – 4) H = (7x – 4)(8x – 9) I = (3 – 2x)2 – (4x – 5)2 I = [(3 – 2x) – (4x – 5)][(3 – 2x) + (4x – 5)] I = (3 – 2x – 4x + 5)(3 – 2x + 4x – 5) I = (8 – 6x)(2x – 2) I = 2(4 – 3x)×2(x – 1) I = 4(4 – 3x)(x – 1) 3. On donne P = (4x – 5)² + (4x – 5)(x + 1) 1. Développer, réduire et ordonner P. P = (4x – 5)² + (4x – 5)(x + 1) P = (16x² – 2×4x×5 + 25) + (4x×x + 4x×1 – 5×x –5×1) P = 16x² – 40x + 25 + 4x² + 4x – 5x – 5 P = 20x² – 41x + 20 2. Factoriser P. P = (4x – 5)² + (4x – 5)(x + 1) P = (4x – 5)[(4x – 5) + (x + 1)] P = (4x – 5)(5x – 4) 3. Résoudre l’équation P = 0 en utilisant le résultat de la question 2. P = 0 ou encore (4x – 5)(5x – 4) = 0 4x – 5 = 0 ou 5x – 4 = 0 4x = 5 ou 5x = 4 x= 5 4 ou x= 4 5 4. Calculer P pour x = 1, puis pour x = 0 et enfin pour x = 4 . 5 x = 1 : P = 20x² – 41x + 20 = 20×(1)² – 41×(1) + 20 = 20 – 41 + 20 = – 1 x = 0 : P = 20x² – 41x + 20 = 20×0² – 41×0 + 20 = 20 Lycée Alexandre Dumas – 2009-2010 Didier Aribaud 4 4 4 4 : P = (4x – 5)(5x – 4) = 4 × − 5 5 × − 4 = 4 × − 5 × 0 = 0 . On aurait pu prévoir ce résultat puisque 5 5 5 5 4 x = est une des solutions qui annulent P ! 5 x= x+ 1 4. La figure ci-contre est composée de deux carrés. S 2x + 4 1. Exprimer la surface de chacun d’eux en fonction de x. 2. Exprimer la surface grisée S en fonction de x. (On donnera le résultat sous forme factorisée et sous forme développée). 3. Quelle doit être la valeur de x pour que la surface S soit égale à 15 cm². 1. Petit carré : (x + 1)² = x² + 2x + 1 Grand carré : (2x + 4)² = 4x² + 16x + 16 2. S = (2x + 4)² – (x + 1)² S = [(2x + 4) – (x + 1)][(2x + 4) + (x + 1)] S = (2x + 4 – x – 1)(2x + 4 + x + 1) S = (x + 3)(3x + 5) S = 3x² + 5x + 9x + 15 S = 3x² + 14x + 15 ou encore S = (4x² + 16x + 16) – (x² + 2x + 1) S = 4x² + 16x + 16 – x² – 2x – 1 S = 3x² + 14x + 15 Mais l’inconvénient de cette méthode est qu’elle ne permet pas d’obtenir la forme factorisée. 3. Pour que l’aire soit égale à 15, il faut que 3x² + 14x + 15 = 15, ou encore 3x² + 14x = 0 Cette égalité est vraie pour x = 0. Dans le cas où x est différent de 0, on peut diviser tous les termes des deux membres par x et on obtient : 3x + 14 = 0 ou encore x = – 14/3. Lycée Alexandre Dumas – 2009-2010 Didier Aribaud