Identités remarquables

Maths à Harry
Identités remarquables
I) Factoriser :
1) 4x² + 12x + 9 ; 2) 16x² - 40x + 25 ;
3) 4x² - 49 ; 4) x² + 1
2 x + 1 16 ; 5) 4x² - 12xy + 9y² ; 6) x² - 8xy + 16y² ; 7) a² + 0,2a + 0,01 ;
8) 1
9 x² + 4 15 x + 4 25 ; 9) 16x² - 40 7x + 25 49 ; 10) -12x + 4x² + 9.
II) Compléter :
1) (…… - 4 )² = 25x² - ………… + 16 ; 2) ( 1
2 x + …. )² = ……… + x + 1 ;
3) ( ….. + ….. )² = 0,01 b² + 0,2bc + c² ; 4) ( …… + 1
3 )² = 9 16 x² + ……. + …… ;
5) ( ….. - ….. )(….. + 1
4 ) = 4x² - ……. ; 6) ( 3 p + …. )² = ……. + …….. + m² ;
7) ( ….. - 2a )² = 5 - ……… + …….. ; 8) (….. + …..)(….. - ….. ) = x² - 2.
III) Donner l'autre forme de l'identité remarquable :
1) (x - 1
4)² ; 2) 49 64 x² - 16 25 y² ; 3) (1 + 7x)² ; 4) (-x - 3)² ; 5) ( 1 2 - 3 5 y )².
IV) En utilisant les identités remarquables, sans utiliser la calculatrice et sans poser
l'opération, calculer :
1) 999 × 1001 ; 2) 1001² ; 3) 9999² ; 4) 1 000 000 001² - 1 000 000 000² .
V) ABGF est un carré de côté b, ACDE est un carré de côté a.
Un agriculteur possède le terrain BCDEFG, et sait que l'aire de son
terrain vaut 7200 m². Il décide un jour d'aller du point C au point E en
passant par B, A et F. Arrivé en F, il a déjà parcouru 120 m.
Quelle distance lui reste-t-il à parcourir pour arriver en E ?
VI) Factoriser en utilisant l'identité : (a + b)(a - b) = a² - b².
1) 4 - x² ; 2) 16a² - 49 ; 3) 16a² - 49b² ; 4) x² - 3 ; 5) (2x + 1)² - 49 ;
6) 81 - (2a - 5)² ; 7) (4x - 5)² - (2x + 3)² ; 8) (2x - 3)² - 3 ; 9) 16x² + 8x + 1 - x² + 6x - 9.
Correction : I) 1) (2x + 3)² ; 2) (4x - 5)² ; 3) (2x - 7)(2x + 7) ; 4) (x + 1
4)² ; 5) (2x - 3y)² ; 6) (x - 4y)² ;
7) (a + 0,1)² ; 8) (x
3 + 2 5)² ; 9) (4x - 5 7)² ; 10) (2x - 3)² . II) 1) (5x - 4)² = 25x² - 40x + 16 ; 2) (x 2 + 1)² = x² 4 + x + 1 ;
3) (0,1b + c)² = 0,01b² + 0,2bc + c² ; 4) (
3
4 x + 1 3)²= 9 16x² + 1 2x + 1 9 ; 5) (2x - 1 4)(2x + 1 4) = 4x² - 1 16 ;
6) ( 3p + m)² = 3p² + 2 3 pm + m² ; 7) (5 - 2a)² = 5 - 2 10a + 2a² ; 8) (x + 2)(x - 2) = x² - 2.
III) 1) x² - x
2 + 1 16 ; 2) (7 8x - 4 5y) (7 8x + 4 5y) ; 3) 1 + 14x + 49x² ; 4) x² + 6x + 9 ; 5) 1 4 - 3 5 y + 9 25 y² .
IV) 1) (1000 - 1)(1000 + 1) = 1000² - 1 = 999 999 ; 2) (1000 + 1)² = 1000² + 2000 + 1 = 1 002 001;
3) (10 000 - 1)² = 10 000² - 2×10 000×1 + 1 = 99 980 001 ;
4) (109 + 1)² - (109)2 = (109 + 1 + 109)(109 + 1 - 109) = 2 × 109 + 1 = 2 000 000 001 ;
V) Utilisez une des identités… ; VI) 1) (2 - x)(2 + x) ; 2) (4a - 7)(4a + 7) ; 3) (4a - 7b)(4a + 7b) ;
4) (x - 3)(x + 3) ; 5) (2x - 6)(2x + 8) = 4(x-3)(x+4) ; 6) (14 - 2a)(4 + 2a) = 4(7-a)(2+a) ; 7) 4(x - 4)(3x - 1) ;
8) 2x(2x - 2 3) = 4x(x - 3) ; 9) Utilisez les trois identités ! V) 60m ; VI) (3x + 4)(5x - 2).
Rappel :
forme factorisée : forme développée :
( a + b )² =
( a - b )² =
( a + b )( a - b ) =
b
a
A B C
D E
F G