Exercice 1. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes

Université Claude Bernard - Lyon 1 2016-2017
Master mathématiques appliquées, statistique Probabilités
TD 4 : Conditionnement
Exercice 1. Soient Xet Ydeux variables aléatoires indépendantes de lois de Poisson de para-
mètre respectivement λet µ.
1. Calculer la loi de X+Y.
2. Pour tout entier naturel n, identifier la loi de Xsachant {X+Y=n}. Expliciter E(X|X+
Y).
Exercice 2. Une usine a produit nrobots. Chacun d’eux est défectueux avec une probabilité φ.
On fait passer un test à chaque robot. Si le robot est défectueux, alors le test détecte le défaut
avec une probabilité δ, sinon aucun défaut n’est détecté. Soit Xle nombre de robots défectueux
et Yle nombre de robots détectés comme défectueux. On suppose que les robots et les tests sur
les robots sont indépendants.
1. Montrer que la probabilité qu’un robot soit défectueux sachant que le test n’a pas détecté
de défaut est φ(1 −δ)
1−φδ .
2. Soit Zle nombre de robots defectueux pour lesquels le test n’a pas détecté de défaut. Quelle
est la loi conditionnelle de Zsachant Y?
3. Montrer que
E[X|Y] = Y+(n−Y)φ(1 −δ)
1−φδ .
Exercice 3. Soit (X, Y )un couple aléatoire de densité
f(x, y) = 1
2πexp −1 2(x2−2xy + 2y2).
1. Déterminer la densité de Y.
2. Expliciter E(X|Y).
Exercice 4. Calculer la densité conditionnelle et l’espérance de Ysachant Xquand la densité
de la loi jointe est :
1. f(x, y) = λ2e−λy pour 06x6y < ∞.
2. f(x, y) = xe−x(y+1) pour x, y >0.
Exercice 5. Soit (X, Y )un couple de densité f: (x, y)7→ 1x2+y2≤1/π.
1. Déterminer la loi de X.
2. Déterminer la loi de Ysachant {X=x}.
3. En déduire E(Y|X).
1

Exercice 6. Soit (X, Y )un couple aléatoire gaussien centré de matrice de covariance C
C=2 1
1 3
1. Déterminer les densités de (X, Y )et X.
2. En déduire, pour tout réel xfixé, la loi conditionnelle de Ysachant {X=x}.
3. Expliciter E(Y|X).
4. Déterminer un réel λtel que cov(Y−λX, X)=0.
5. Avec ce choix de λ, montrer que Y−λX est indépendant de Xet en déduire E(Y|X).
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