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TABLE DES MATIÈRES – page -1
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
Table des matières
I
Exercices
I-1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-1
2
Calcul approché d’une intégrale par la méthode des rectangles . . . . . . . . . . . . . I-2
3
Intégrale d’une fonction affine (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-3
4
Intégrale d’une fonction affine (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
5
Intégrale d’une fonction affine (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-4
6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-5
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-6
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-7
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-7
16
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-7
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-7
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-7
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-8
20
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-8
21
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-9
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-9
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-10
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-10
25
Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-12
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-12
27
Signe d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-12
28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-12
29
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-12
30
Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-12
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-13
32
Domaine délimité par les courbes de deux fonctions positives.
33
Offre, demande, surplus des fournisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I-14
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. . . . . . . . . . . . . I-13
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TABLE DES MATIÈRES – page -2
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
II Cours
II-1
1
Intégrale d’une fonction continue et positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
2
Définition et propriété de primitive d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-1
3
Intégrale d’une fonction de signe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-2
4
Détermination de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
5
Valeur moyenne d’une fonction
6
Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-3
6a
Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
6b
Signe d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
6c
Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II-4
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I EXERCICES – page I-1
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
I
Exercices
Intégrale de fonction positive
1
Évaluer approximativement l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe Cf ci-dessous, l’axe
des abscisses, et la droite d’équation x = 10.
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
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I EXERCICES – page I-2
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
2
Calcul approché d’une intégrale par la méthode des rectangles
La fonction représentée dans l’exercice sur fiche no 1 était la fonction f définie par f (x) =
Elle est à nouveau représentée ci-dessous.
x2
.
10
Voici un algorithme.
Entrée : n
Stocker 0 dans s
Pour des valeurs de k allant de 0 à n − 1, de 1 en 1
10
dans x
Stocker k ×
n
x2
dans y
Stocker
10
10
Stocker y ×
dans r
n
s prend la valeur s + r
Fin de la boucle “pour”
Sortie (résultat) : s
1. Exéculer cet algorithme lorsque n = 5, en complétant ci-dessous.
Entrée : n = 5
k
x
y
r
s
0
Sortie : s = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Que représentent les valeurs successives de r ?
3. Que représente le résultat de cet algorithme (c’est à dire la valeur finale de s) ?
4. (a) Programmer cet algorithme à la calculatrice.
(b) Vérifier en exécutant ce programme avec n = 5.
(c) Exécuter ce programme avec n = 20, puis n = 100 (quelques secondes de calcul), puis
n = 1000 (environ 45 secondes de calcul).
(d) Compléter
n
5
Valeur finale de s
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I EXERCICES – page I-3
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
9
8
7
6
5
4
R5
3
2
R4
1
0
3
R3
R2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Intégrale d’une fonction affine (1)
Les fonctions définies par f (x) = 2 et g(x) = x + 1 sur l’intervalle [0 ; 5] sont représentées graphiquement ci-dessous.
1. Calculer l’intégrale
Z
4
f (x) dx, c’est à dire l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe
1
Cf , l’axe des abscisses, et les droites d’équations respectives x = 1 et x = 4.
Z
4
2. Calculer l’intégrale
g(x) dx, c’est à dire l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe
2
Cg , l’axe des abscisses, et les droites d’équations respectives x = 2 et x = 4.
x=1
x=4
5
4
x=2
x=4
y = f (x)
2
TES – Mathématiques
0
y = g(x)
2
1
unité d’aire
3
1
0
1
2
3
TDM
4
0
0
1
2
3
4
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I EXERCICES – page I-4
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
4
Intégrale d’une fonction affine (2)
Les fonctions f et g de l’exercice précédent sont à nouveau représentées graphiquement ci-dessous
et page suivante, chacune dans un repère orthogonal, d’unité 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
Dans ce cas l’unité d’aire est l’aire du « rectangle unité », c’est à dire 2 cm2.
1. (a) Calculer l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, et les
droites d’équations respectives x = 1 et x = 4 en unité d’aire puis en cm2.
(b) Quel résultat est égal à l’intégrale
Z
4
Z
4
f (x) dx ?
1
2. (a) Calculer l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe Cg , l’axe des abscisses, et les
droites d’équations respectives x = 2 et x = 4 en unité d’aire puis en cm2.
(b) Quel résultat est égal à l’intégrale
g(x) dx ?
2
x=1
x=4
y = f (x)
2
1
unité d’aire
0
0
1
2
x=1
3
4
x=4
5
4
3
y = g(x)
2
1
0
5
0
1
2
3
4
Intégrale d’une fonction affine (3)
Calculer les intégrales ci-dessous. Comme ce sont des intégrales de fonctions affines, les aires à calculer sont des aires de trapèzes.
Rappelons donc la formule de calcul de l’aire d’un trapèze :
(b + B) × h
aire d’un trapèze =
2
b
h
B
(1)
Z
12
(0, 25x + 3) dx
4
TES – Mathématiques
(2)
Z
3
(2x + 1) dx
(3)
Z
1
0,5
TDM
5
(−x + 7) dx
(4)
Z
6
(−0, 5x + 4) dx
2
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I EXERCICES – page I-5
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
6
La fonction exponentielle est représentée ci-contre sur l’intervalle
[0 ; 3].
1. ZMettre en évidence sur le graphique ci-contre l’intégrale
3
15
e dx
x
1
2. Déterminer graphiquement un encadrement de cette intégrale.
10
5
0
7
0
1
2
3
1. Sur la figure 1 ci-dessous, construireZ une courbe pouvant représenter une fonction f définie et
2
continue sur [-2 ; 3] et vérifiant 3 6
f (x)dx 6 9
−1
2. Sur la figure 2 ci-dessous, construireZ une courbe pouvant représenter une fonction g définie et
3
continue sur [-1 ; 4] et vérifiant 4 6
g(x)dx 6 6
1
Fig. 1
−2
−1
Fig. 2
3
3
2
2
1
1
0
1
2
0
−1
1
2
3
Théorème fondamental – Exemple
8
La fonction f est définie par f (t) = 2tZ + 1 et elle est représentée ci-contre.
x
La fonction F est définie par F (x) =
f (t) dt
1
1. À l’aide d’un calcul d’aire, calculer l’expression de F (x) en fonction de x.
2. Calculer F ′ (x)
3. Que constate-t-on ?
1
TES – Mathématiques
TDM
x
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I EXERCICES – page I-6
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
Définition et propriété de primitive d’une fonction
9
Soit deux fonctions f et F définies sur un intervalle I.
Dire que F est une primitive de f sur I signifie que f est la dérivée de F sur I, c’est à dire F′ = f
La fonction f est définie sur IR par f (x) = 2x + 3
1. Déterminer une primitive F de f .
2. Déterminer deux autres primitives F2 et F3 de f .
3. La fonction f a en fait une infinité de primitives sur IR. Quelle est la formule générale pour les
primitives de f ?
10
Pour chacune des fonctions définies ci-dessous, déterminer 3 primitives.
(1) f (x) = 4x3
(2) f (x) = x5
(3) f (x) = ex
Formule fondamentale de calcul d’une intégrale
11
La fonction f est définie sur IR par f (t) = 3t2
1. Déterminer une primitive F de f sur ZIR.
x
2. On appelle G la fonction définie par
(a) Justifier que pour tout réel x,
(b) Justifier que k = −F(3)
(c) En déduire l’expression de
Z
5
f (t) dt
3
G(x) = F(x) + k où k est une constante.
f (t) dt en fonction de F.
3
12
En utilisant les résultats de l’exercice 10, calculer les intégrales ci-dessous.
(1)
Z
5
4t3 dt
(2)
3
Z
5
3
t5 dt
(3)
Z
5
et dt
3
Détermination de primitives
13
Le tableau ci-contre rappelle les dérivées des fonctions usuelles.
Pour chacune des fonctions f suivantes, utiliser ce tableau pour déterminer une primitive F de f .
Tableau de DÉRIVÉES
f (x)
f ′ (x)
k constante
0
1. f (x) = 1
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
1
2. f (x) = x2
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x2
2x
3. f (x) = x
1
4. f (x) =
x
1
5. f (x) = 2
x
1
6. f (x) = √
x
x
7. f (x) = e
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n
5
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F(x) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TES – Mathématiques
TDM
x
1
x
√
x
nxn−1
1
− 2
x
1
√
2 x
ln x
1
x
ex
ex
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I EXERCICES – page I-7
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
14
On rappelle que pour une fonction u dérivable sur un intervalle I, on sait que :
u′
et que (eu )′ = u′ eu
(ln u)′ =
u
Pour chacune des fonctions f suivantes, déterminer une primitive F de f .
1
1
1
1) f (x) =
2) f (x) =
3) f (x) =
(a 6= 0)
2x + 3
3x − 5
ax + b
4) f (x) = e4x−6
5) f (x) = e0,2x
6) f (x) = eax+b
(a 6= 0)
15
Pour chacune des fonctions f définies ci-dessous, déterminer une primitive F de f .
1
1
1) f (x) = 5x + 4
2) f (x) = x2 + x3
3) f (x) = − √
4) f (x) = 3x2 − 4x + 7
x
x
1
3
6) f (x) = 5 −
7) f (x) = x + 9e−0,3x
8) f (x) = 128e0,004x
5) f (x) = −
x+1
x+1
16
Vérifier chaque fois que F est une primitive de f .
1) f (x) = 3xe−x
F(x) = (−3 − 3x)e−x
2) f (x) = ln x
F(x) = −x + x ln x
17
Pour chacune des fonctions f suivantes, déterminer une primitive F de f .
5
2x
3) f (x) =
1) f (x) = 3(3x + 1)4
2) f (x) = 2
x +1
(5x − 6)2
x
5) f (x) = 9e9x−4
6) f (x) = (4x + 1)5
7) f (x) = 2
x +9
2 ln x
1
9) f (x) =
Indication : f (x) = 2 × × ln x.
x
x
4x3
x4 + 7
1
8) f (x) =
(3x − 1)2
3 + ln x
10)f (x) =
x
4) f (x) = √
18
2
Déterminer une primitive F de la fonction définie par f (x) = e−x .
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I EXERCICES – page I-8
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
Calculs d’intégrales
19
La fonction définie par f (x) = 0, 3x2 + 1 est représentée page suivante. L’aire A est l’aire de la partie
du plan comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, et les droites d’équations x = 1 et x = 4.
1. En s’aidant du quadrillage, donner un encadrement de l’aire A par deux nombres entiers.
2. Calculer l’aire A en calculant une intégrale.
3. Vérifier que le résultat précédent est bien compris entre les deux entiers de la première question.
Ci-dessous, fig. 1 pour l’exercice 19 et fig. 2, 3, 4 pour l’exercice 20
Fig. 1
x=1
Fig.2
x=4
6
5
5
y = 0, 3x + 1
2
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
1
2
3
0
4
0
1
Fig. 3
2
1
1
0
0
1
2
3
4
3
4
5
Fig. 4
2
0
2
5
6
7
0
1
2
3
20
Même exercice que l’exercice 19 avec chacune des fonctions et des aires indiquées.
1. La fonction définie par f (x) = −2x + 3 + e0,5x est représentée sur la figure 2. L’aire A est l’aire
de la partie du plan comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, et les droites d’équations
respectives x = 1 et x = 5.
2. La fonction définie par f (x) = 1 + 2e−0,4x est représentée sur la figure 3. L’aire A est l’aire
de la partie du plan comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, et les droites d’équations
respectives x = 2 et x = 7.
1
3. La fonction définie par f (x) = 1 +
est représentée sur la figure 4. L’aire A est l’aire de
x+1
la partie du plan comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, et les droites d’équations
respectives x = 0 et x = 3.
TES – Mathématiques
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I EXERCICES – page I-9
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
21
La fonction définie par f (x) = 4 − 0, 25x2 est représentée ci-dessous (fig. 1, plus bas) dans un repère
orthogonal d’unité 2 cm pour l’axe des abscisses et d’unité 1 cm pour l’axe des ordonnées.
L’aire A est l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, et les droites
d’équations respectives x = 0 et x = 2.
1. En s’aidant du quadrillage, donner un encadrement de l’aire A par deux nombres entiers,
d’abord en unités d’aire, puis en cm2.
2. Calculer l’aire A en calculant une intégrale.
3. Calculer l’aire A en cm2.
4. Vérifier avec les encadrements trouvés à la première question.
22
Même exercice que l’exercice 21 avec la fonction f et l’aire indiquée ci-dessous.
La fonction définie par f (x) = 0, 2x+e−x est représentée ci-dessous (fig. 2) dans un repère orthogonal
d’unité 1 cm pour l’axe des abscisses et d’unité 2 cm pour l’axe des ordonnées.
L’aire A est l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe Cf , l’axe des abscisses, et les droites
d’équations respectives x = 1 et x = 4.
Fig. 1
Fig. 2
4
3
1
2
1
0
0
TES – Mathématiques
1
0
2
TDM
0
1
2
3
4
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I EXERCICES – page I-10
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
23
1. La fonction f définie par f (x) = ln x est représentée graphiquement ci-dessous sur l’intervalle
[0,4 ; 5] (figure 1).
(a) Justifier que la fonction définie par F(x) = x ln x − x est une primitive de f sur l’intervalle
[0,4 ; 5].
(b) Mettre en évidence sur le graphique ci-dessous, l’intégrale
Z
4
ln x dx.
2
(c) Justifier par un calcul que cette intégrale est égale à 6 ln 2 − 2.
(d) Arrondir le résultat précédent au dixième près et préciser ce que signifie le résultat.
4
2. La fonction g définie par g(x) = −4x + 11 − est représentée graphiquement ci-dessous sur
x
l’intervalle [0 ; 2,5] (figure 2).
(a) Mettre en évidence sur le graphique ci-dessous, l’intégrale suivante
Z
2
g(x) dx.
0,5
(b) Justifier par un calcul que cette intégrale est égale à 9 − 8 ln 2.
(c) Arrondir le résultat précédent au dixième près et préciser ce que signifie le résultat.
Fig. 1
Fig. 2
3
2
1
1
0
0
1
2
3
−1
4
1
2
−1
Valeur moyenne d’une fonction
24
La fonction définie par f (x) = 0, 12x2 est représentée graphiquement ci-contre.
1. ZMettre en évidence sur cette figure l’intégrale
6
0, 12x2 dx et la calculer.
2
2. Placer les points A (2 ; 0) et B (6 ; 0).
4
3. On veut tracer le rectangle ABCD dont l’aire
soit égale à l’intégrale précédente.
3
(a) Quelle est sa longueur (sans justifier) ?
(b) Calculer sa largeur. Arrondir au dixième près. On appelle ce nombre la
valeur moyenne de f sur l’intervalle [2 ; 6]
(c) Tracer le rectangle ABCD.
TES – Mathématiques
TDM
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
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I EXERCICES – page I-11
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
Exercices du manuel Mathématiques TES, Déclic, Hachette 2012 no 89 et 91 p 158, et
116 p 168
TES – Mathématiques
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I EXERCICES – page I-12
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
Propriétés de l’intégrale
25
LinéaritéZ
5
1. Calculer
(2x + 3x2 ) dx
1
2. Calculer
Z
5×
2
7
1
dx
x+2
5
Z
et
1
Z 7
et
2
5
Z
2x dx +
3x2 dx
et comparer les résultats.
1
1
dx
x+2
5×
et comparer les résultats.
26
1. Sachant que
2. Sachant que
Z
3
0
Z
2
27
3
4x e dx = 13e −1
2 2x
et que
6
Z
3
xe dx = 2e +1
x
calculer
3
0
1
ln(1, 5)
dx =
2
x −1
2
calculer
Z
3
(4x2 e2x +xex ) dx
0
Z
3
2
4
dx
2
x −1
Signe d’une intégrale
La fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 10] par : f (x) = 2x − 10
L’objectif de cet exercice est de faire le lien entre le signe d’une fonction et le signe d’une intégrale
– Tracer la représentation graphique de la fonction f ci-dessous.
– Dresser le tableau de signes de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 10].
– Calculer les intégrales suivantes :
Z
4
f (x) dx,
1
Z
8
f (x) dx.
6
– Si a < b, quel est apparemment le signe de
Z
b
f (x) dx selon le signe f sur [a ; b].
a
28
Une fonction f est définie sur l’intervalle [2 ; 15] ;
– positive sur l’intervalle [2 ; 9] ;
– négative sur l’intervalle [9 ; 15] ;
1. À propos du signe de l’intégrale
Z
12
f (x) dx on peut dire que (une seule bonne réponse) :
9
(a) son signe est positif ;
(b) son signe est négatif ;
2. Mêmes questions pour l’intégrale
Z
13
(c) on ne peut pas conclure.
f (x) dx
7
3. Mêmes questions pour l’intégrale
Z
7
f (x) dx
3
29
Sans calcul, déterminer le signe de chacune des intégrales suivantes.
(1)
Z
1
ln(x) dx
Z
(2)
0,5
30
7
ln(x) dx
2
(3)
Z
2
e dx
(4)
x
5
6
e
−x
(5)
dx
4
−8
Z
5
x ln(x) dx
1
Relation de Chasles
La fonction fZ est représentéeZ ci-contre, ainsi que
5
7
les intégrales
f (x) dx et
f (x) dx.
1
5
On donne les valeurs suivantes :
Z
Z
f (x) dx = 10, 76 et
1
Calculer
Z
7
Cf
f (x) dx = 3, 82.
5
Z
7
f (x) dx
1
1
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5
7
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I EXERCICES – page I-13
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
31
Calculer les intégrales :
(1)
Z
3
1
32
e dx +
x
Z
7
e dx
x
3
(2)
Z
4
(6x + 8x) dx +
2
0
Z
9
(6x + 8x) dx
(3)
2
4
Z
5
1
1
dx +
x
Z
8
5
1
dx
x
Domaine délimité par les courbes de deux fonctions positives.
Le programme de mathématiques de terminale ES indique qu’un élève doit savoir calculer l’aire du
domaine délimité par les courbes représentatives de deux fonctions positives.
Deux fonctions f et g sont représentées graphiquement ci-dessous.
Z
5
Z
5
g(x) dx sont-elles
f (x) dx et
1. Les intégrales
1
1
positives ? Justifier graphiquement.
2. Les fonctions f et g sont définies par :
1
f (x) = 2 −
et g(x) = 4 − 0, 03x2
x+1
Calculer l’aire de la partie du plan comprise entre les courbes Cf et Cg , l’axe des abscisses, et les
droites d’équations respectives x = 1 et x = 5.
4
Cg
3
2
Cf
1
0
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0
1
2
3
4
5
6
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7
I EXERCICES – page I-14
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
33
Offre, demande, surplus des fournisseurs
Un produit est mis sur le marché. Soit x le nombre d’unités pouvant être vendues, exprimée en
milliers.
La fonction d’offre de ce produit est la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 25] par f (x) = 150e0,04x .
Cela veut dire que pour un prix unitaire f (x), on peut trouver x milliers de fabricants prêts à vendre
ce produit à ce prix unitaire.
La fonction de demande de ce produit est la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; 25] par
g(x) = −100 ln(x + 1) + 500.
Cela veut dire que pour un prix unitaire g(x), on peut trouver x milliers de consommateurs prêts à
payer ce prix pour ce produit.
Les fonctions f et g sont représentées graphiquement ci-dessous par les courbes Cf et Cg .
400
300
200
100
0
0
10
20
1. Sans justifier, déterminer quelle courbe est Cf et laquelle est Cg .
2. Le prix d’équilibre est le prix unitaire tel que l’offre est égale à la demande.
(a) Déterminer graphiquement ce prix d’équilibre en euros, à 10 euros près.
(b) Déterminer graphiquement le nombre d’unités correspondant au millier près.
3. On pose h(x) = f (x) − g(x) et on admet que l’équation h(x) = 0 admet une unique solution x0
sur l’intervalle [0 ; 25]. À l’aide de la calculatrice, déterminer l’arrondi de x0 au millième.
4. On pose y0 = f (x0 ). Calculer l’arrondi de y0 au centième.
5. En déduire le prix d’équilibre en euros, à 1 euro près et le nombre d’unités correspondant à
l’unité près.
6. On appelle surplus des fournisseurs (*) le nombre réel S défini par : S = x0 × y0 −
Z
x0
f (x) dx
0
(a) Colorier sur le graphique le domaine du plan dont l’aire en unités d’aire est le nombre
réel S.
(b) Déterminer la valeur arrondie au millième du nombre S.
(*) La fonction d’offre f indique que certains fournisseurs seraient prêts à vendre le produit moins
cher à l’unité que le prix d’équilibre. Lorsque ces fournisseurs vendent finalement le produit au prix
unitaire d’équilibre, ils réalisent ensemble un gain qu’on appelle le surplus des fournisseurs.
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II COURS – page II-1
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
II
1
Cours
Intégrale d’une fonction continue et positive
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a ; b] représentée graphiquement par une
courbe C.
Z b
f (x) dx, est l’aire, exprimée en unités
L’intégrale de la fonction f sur intervalle [a ; b] qui s’écrit
a
d’aire, de la partie du plan comprise entre la courbe C, l’axe des abscisses, et les droites d’équations
respectives x = a et x = b.
Exemple
La fonction f est définie par f (x) = x + 1 sur l’intervalle [0 ; 5]. Elle est représentée graphiquement
ci-dessous et l’intégrale
Z
4
(x + 1) est égale à l’aire grisée en unités d’aire soit 8 unités d’aire .
2
x=2
x=4
5
4
3
y = f (x)
2
1
unité d’aire
0
0
1
2
3
4
Théorème
Si f est continue et positive sur [a, b], la fonction F définie sur [a, b] par F (x) =
Z
x
f (t)dt
a
est dérivable sur [a, b] et a pour dérivée f .
Exemple : exercice sur fiche no 8
f (t) = 2t + 1
(x − 1)(2x + 4)
(x − 1)(f (1) + f (x))
=
= x2 + x − 2
2
2
1
F ′ (x) = 2x + 1 = f (x)
F (x) =
2
Z
x
f (t) dt =
Définition et propriété de primitive d’une fonction
Définition
Soit deux fonctions f et F définies sur un intervalle I.
Dire que F est une primitive de f sur I signifie que f est la dérivée de F sur I, c’est à dire F′ = f
Exemple
Soit la fonction F définie et dérivable sur IR par F(x) = x2 + 3x
et la fonction f définie sur IR par f (x) = 2x + 3.
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II COURS – page II-2
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
Pour tout nombre x de IR, F′ (x) = f (x)
f est la dérivée de F sur IR donc F est une primitive de f sur IR.
Propriété
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
Alors
– la fonction f admet une infinité de primitives
– toute primitive de f est de la forme x 7−→ F(x) + c, où c est un nombre réel.
Exemple
On reprend les fonctions f et F de l’exemple précédent.
Les fonctions F2 et F3 définies par
F2 (x) = x2 + 3x + 5
et
sont des primitives de f , en effet, pour tout nombre x de IR,
F′2 (x) = 2x + 3 = f (x)
et
F′3 (x) = 2x + 3 = f (x)
et pour nombre x de IR, on a
3
F3 (x) = x2 + 3x − 4
F2 (x) = F(x) + 5
et
F3 (x) = F(x) − 4
Intégrale d’une fonction de signe quelconque
Dans l’exercice sur fiche no 11 Zon justifie sur un exemple que pour une fonction f continue et positive
ayant une primitive F, on a :
b
a
f (t)dt = F (b) − F (a)
Cette propriété est vraie pour toute fonction f continue et positive ayant une primitive F, et on étend
cette formule aux fonctions continues de signe quelconque, d’où la définition et la formule ci-dessous.
Définition
Si F est une primitive d’une fonction f sur un intervalle I, et si a et b sont deux nombres de cet
intervalle, on appelle intégrale de a à b de f l’expression F(b) − F(a).
On écrit :
Z
b
a
f (x) dx = F(b) − F(a)
Exemple
x2
+x
2
!
!
Z 4
42
16
4
22
(x + 1) dx = F(4) − F(2) =
+4 −
+2 =
+4− −2 =8
2
2
2
2
2
f (x) = x + 1
F(x) =
Utilisation des calculatrices
Calculons l’intégrale précédente à l’aide de la calculatrice.
TI 82
Appuyer sur les touches math 9 . On obtient l’affichage : fonctIntégr(
Compléter ainsi : fonctIntégr(X+1,X,2,4)
TI 89
Touches HOME
3 (Calc)
choisir 2: ( integrate
Compléter ainsi : (x+1,x,2,4)
CASIO
R
R
Touche MENU , choisir RUN touches OPTN
F3 (CALC)
Compléter ainsi : (X+1,2,4)
R
TES – Mathématiques
TDM
F4 ( dX)
R
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II COURS – page II-3
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
4
Détermination de primitives
Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
La propriété et les deux tableaux ci-dessous sont utiles pour déterminer des primitives. On les obtient
en lisant des tableaux de dérivation « à l’envers ».
Propriété
Soient U et V des primitives respectives des fonctions u et v sur un intervalle I, et k un nombre réel.
Alors U + V est une primitive de u + v sur I et kU est une primitive de ku sur I
Tableau 1
Dans le tableau ci-dessous :
f désigne une fonction définie sur un intervalle I, F est une primitive
de f , et c est une constante.
f (x)
F(x)
I
k constante
kx + c
x2
+c
2
xn+1
+c
n+1
IR
ln x + c
] − ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
x
xn
1
x
1
x2
1
√
x
1
− +c
x
√
2 x+c
ex
IR
IR
] − ∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[
ex + c
Tableau 2
Dans ce tableau, u est une
fonction dérivable sur un intervalle I, et n est un nombre entier.
Fonctions Primitives
un+1
u′ un
n+1
′
u
ln u
u
u′
1
−
2
u
u
′
√
u
√
2 u
u
u′eu
]0 ; +∞[
eu
IR
b
1
1
b
(a 6= 0)
ln(ax + b) + c ] − ∞ ; − [ ou ] − ; +∞[
ax + b
a
a
a
1 ax+b
e
+c
eax+b (a 6= 0)
IR
a
Remarque : il arrive que pour une fonction donnée, on ne puisse pas déterminer une primitive à
2
l’aide des fonctions de références, par exemple la fonction définie par f (x) = e−x 1
Déterminer une primitive avec la calculatrice TI 89
Par exemple une primitive de la fonction définie par f (x) = x2 est la fonction définie par F(x) =
Appuyer sur les touches HOME F3 R
Dans le menu déroulant, choisir : 2: integrate
5
x3
3
puis compléter ainsi : (x∧ 2,x)
R
Valeur moyenne d’une fonction
Définition
Soient a et b deux nombres tels que a < b et une fonction f admettant
une primitive sur l’interZ b
1
valle [a ; b]. La valeur moyenne de f sur [a ; b] est le nombre
f (x) dx.
b−a a
1. On retrouvera cette fonction dans le chapitre de probabilité « Loi à densité ».
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II COURS – page II-4
Chapitre 7 – Intégrale et primitive
Remarque
Si on appelle
m cette valeur moyenne, on a l’égalité
Z b
1
m=
f (x) dx
b−a a
Z
donc
b
m × (b − a) =
f (x) dx
a
m
Donc pour une fonction f positive, cela signifie
graphiquement que l’aire du rectangle
de largeur
Z
b − a et de hauteur m est égale à
b
f (x) dx.
a
a
6
Propriétés de l’intégrale
6a
Linéarité
b
Propriétés
Soient f et g deux fonctions admettant chacune une primitive sur un intervalle I, et a et b deux
nombres
Z bde cet intervalle.
Z b
Z b
alors :
(f (x) + g(x)) dx =
f (x) dx +
g(x) dx.
a
a
a
Soient f une fonction admettant une primitive sur un intervalle I, et a et b deux nombres de cet
intervalle.
Z b
Z b
alors :
(k × f (x)) dx = k ×
f (x) dx.
a
a
Exemples : voir l’exercice sur fiche no
6b
Signe d’une intégrale
Propriété – Signe d’une intégrale
Soient f une fonction admettant une primitive sur un intervalle I, et a et b deux nombres de cet
intervalle.
Z b
– Si f > 0 sur l’intervalle I, et si a 6 b alors :
f (x) dx > 0.
– Si f 6 0 sur l’intervalle I, et si a 6 b alors :
Zab
f (x) dx 6 0.
a
6c Relation de Chasles
Soient f une fonction
admettant Zune primitiveZ sur un intervalle I, et a, b, c trois nombres de cet
Z
b
intervalle, alors :
a
c
f (x) dx +
b
c
f (x) dx =
f (x) dx.
a
Remarque – Interprétation pour les aires
Pour une fonction f positive, si a 6 b 6 c, la
relation de Chasles traduit le fait que les aires s’ajoutent comme on le voit sur la figure ci-contre.
Cf
a
TES – Mathématiques
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b
c
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