Chapitre 14 : probabilités

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Chapitre 14 : probabilités.
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Le mot hasard vient de l'arabe al zhar qui désigne un dé à jouer.
Les jeux de hasard sont connus depuis la plus haute antiquité.
Déjà les Romains et les Grecs jouaient aux osselets ( des astragales ).
C'est l'étude des jeux de hasard qui a conduit Blaise Pascal ( 1623 - 1662 ) à s'intéresser au calcul des
probabilités.
Lorsque l'on tire une carte dans un jeu de cartes, il s'agit d'une expérience aléatoire, c'est à dire une expérience
dont le résultat ne peut être connu à l'avance.
La personne jouant au loto, qui choisit 6 numéros sur une grille qui en comporte 49, attend avec impatience le
jour du tirage pour savoir si elle a gagné. Chacun des six numéros est choisi au hasard par un appareil.
On démontre qu'il y a 13 983 816 manières différentes de choisir 6 numéros parmi les 49 proposés sur la grille.
Notre joueur a donc une chance sur 13 983 816 de gagner au premier rang s'il n'a rempli qu'une grille.
Le calcul des probabilités a pour objet d'introduire les mathématiques dans le hasard.
E1 Activité d'approche.
N°1
Un dé, dodécaèdre régulier, a 12 faces identiques numérotées de 1 à 12.
Le numéro apparaissant sur la face supérieure à la suite d'un lancer, est une issue de ce lancer.
L'ensemble des issues possibles est l'ensemble Ω = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 }.
Ecrire de la même manière :
1.
L'ensemble A des issues paires.
2.
L'ensemble B des issues multiples de 3.
3.
L'ensemble C des issues paires et multiples de 3.
4.
L'ensemble D des issues paires ou multiples de 3.
5.
L'ensemble F des issues qui ne sont pas des multiples de 3.
1 Univers et événements élémentaires.
Lorsqu'on ne sait à l'avance quelle sera l'issue d'une expérience, on dit qu'il s'agit d'une expérience aléatoire.
Une expérience aléatoire peut conduire à plusieurs issues notées e1, e2, …, en.
L'ensemble des issues possibles d'une épreuve ( ou expérience ) aléatoire est appelé l'univers de l'épreuve.
On le note souvent Ω.
Un événement est un ensemble constitué d'issues de l'univers.
Un événement constitué d'une seule issue est un événement élémentaire.
Dans la pratique, on assimile un événement élémentaire à son issue.
Il existe deux événements particuliers :
L'événement impossible, noté ∅, ( dit ensemble vide ), qui ne contient aucune issue.
L'événement certain, noté Ω, qui contient toutes les issues possibles.
Réunion et intersection de deux événements et événements contraires.
Soit E une expérience aléatoire.
Soit Ω l'univers associé à cette expérience aléatoire.
Soient A et B deux événements de cette expérience aléatoire.
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Les issues qui sont dans l'événement A ou dans l'événement B constituent l'événement A ∪ B appelé réunion de
A et de B.
En mathématiques, le ou est inclusif et signifie soit l'un soit l'autre soit les deux.
Exemple : voir feuille annexe.
Les issues qui sont à la fois dans l'événement A et dans l'événement B constituent l'événement A ∩ B appelé
intersection de A et de B.
Deux événements sont dits incompatibles ( ou disjoints ) lorsqu'ils n'ont aucune issue en commun.
On note A ∩ B = ∅.
Deux événements sont dits contraires lorsqu'ils sont incompatibles et s'ils contiennent à eux deux toutes les
issues de l'univers. On note A le contraire de A et on a : A ∩ A = ∅ et A ∪ A = Ω.
E2 Connaître le langage des probabilités.
N°2
Dans un jeu de cartes, on en tire une au hasard.
On considère les événements A : " tirer un roi " et B : " tirer un cœur ".
1.
Décrire, par une phrase, l'événement A ∩ B.
2.
Décrire, par une phrase, l'événement A ∪ B.
N°3
A l'oral du bac, un examinateur interroge le candidat au hasard sur l'un des trois thèmes : statistiques,
probabilités, fonctions. On désigne par S l'événement : " le candidat est interrogé sur les statistiques "
et par P l'événement : " le candidat est interrogé sur les probabilités ".
1.
a)
Quel est l'événement S ∩ P ?
1.
b)
Que peut on dire des événements S et P ?
2.
a)
Décrire par une phrase l'événement S ∪ P.
2.
b)
Décrire par une phrase le contraire de l'événement S ∪ P.
N°4
Dans le train, je m'assois à côté d'un adulte au hasard.
Exprimer par une phrase les contraires des événements :
A : " la personne est un homme ".
B : " la personne travaille ".
C : " la personne est un homme qui travaille ".
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E3 Savoir dénombrer.
N°5
Première technique : le tableau.
Prenons l'exemple du lancer de deux dés. On lance deux dés bien équilibrés :
un bleu et un rouge et on s'intéresse à la somme des points obtenus sur les deux faces apparentes.
Construire un tableau afin de dénombrer tous les cas possibles.
N°6
Deuxième technique : l'arbre.
On jette successivement trois pièces de monnaie bien équilibrées.
Construire un arbre dénombrant tous les cas possibles.
N°7
Troisième technique : le diagramme de Venn.
Dans un club de 60 joueurs de cartes, 40 jouent au bridge, 28 au tarot et 10 à ces deux jeux.
Construire un diagramme résumant cette situation.
Combien d'adhérents jouent à d'autres jeux de cartes ?
E4 Des statistiques aux probabilités.
N ° 8 Le jeu de la boule au casino.
Chaque joueur mise sur le tapis : il pose chacun de ses jetons sur un numéro plein ( cases à un seul numéro )
ou sur une égalité ( autres cases ). Les jeux sont faits… Rien ne va plus…
Sur le plateau, le croupier lance la boule qui après plusieurs tours s'arrête dans un des godets numérotés de 1 à 9.
Sur ordinateur, un tableur permet de simuler des séries de lancers de la boule.
Le tableau ci dessous donne les résultats obtenus avec cinq séries de lancers.
Nombre de
lancers
9
90
900
9 000
90 000
Du 1
0
13
103
1018
10017
Du 2
0
12
83
996
9988
Du 3
0
10
102
1033
9876
Nombre de sorties
Du 4
Du 5
Du 6
2
1
1
9
10
8
123
120
102
966
982
1000
10110
9885
9951
Du 7
3
9
89
1046
10137
Du 8
0
12
83
942
10024
Du 9
2
7
95
1017
10012
Quelle série vous semble la plus fiable pour estimer la probabilité de sortie d'un chiffre ?
Quelle fraction simple peut exprimer cette probabilité ?
2 Loi de probabilité.
Jacques Bernoulli énonça le premier une propriété importante qui établit un lien entre fréquences et probabilités.
Soit Ω = { e1 ; e2 ; e3 ; … ; en } l'univers d'une épreuve aléatoire où chaque ei désigne une issue.
Définir une loi de probabilité sur l'univers Ω, c'est associer à chaque issue ei une probabilité pi qui vérifie :
Pour tout i
0 ≤ pi ≤ 1
et
p1 + p2 + p3 + …+ pn = 1.
Le nombre pi est noté aussi p ( ei ).
La probabilité d'un événement A notée p ( A ) est la somme des probabilités de toutes les issues de A.
Exemple : voir feuille annexe.
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Equiprobabilité.
Il y a équiprobabilité sur l'univers Ω lorsque toutes les issues ont la même probabilité.
Si Ω est constitué de n issues alors la probabilité de chaque issue est 1 .
n
Soit Ω un univers où il y a équiprobabilité.
Soit A un événement de Ω.
Alors la probabilité de l'événement A est donnée par les formules :
P ( A ) = nombre d'issues de A = nombre de cas favorables
nombres d'issues de Ω
nombre de cas possibles
E5 Savoir calculer des probabilités.
N°9
Au jeu de la boule décrit dans le n ° 8, le plateau a été truqué de manière à ce que la boule s'arrête deux fois plus
souvent sur le 1 que sur tout autre chiffre. La boule est lancée.
1.
Déterminer la probabilité de chacune des issues.
2.
Quelle est la probabilité que la boule s'arête sur un chiffre noir ( qui sont 1 ; 3 ; 6 et 8 ).
N ° 10
Dans sa poche, Tommy a mis cinq billes araignées dont 2 bleues, 2 jaunes et 1 verte, deux billes dauphins
dont 1 bleue et 1 jaune, et une bille clown jaune. Il en prend une au hasard. Quelle est la probabilité de chacun
des événements :
A : " il sort une bille araignée "
et
J : " il sort une bille jaune ".
N ° 11
Dans un jeu de 32 cartes, on en tire une au hasard.
1.
Quelle est la probabilité d'obtenir l'as de pique ?
2.
Calculer la probabilité de chacun des événements :
A : " obtenir un as "
P : " obtenir un pique "
F : " obtenir une figure ".
N ° 12
THEO connaît les quatre lettres de son prénom sans se rappeler de leur ordre.
1.
S'il écrit son prénom au hasard :
A)
Démontrer qu'il y a 24 écritures possibles.
B)
Quelle est la probabilité de l'écrire correctement ?
C)
Quelle est la probabilité que le mot écrit commence par un T ?
2.
S'il sait que son prénom commence par la lettre T, quelle est la probabilité qu'il l'écrive correctement ?
N ° 13
Une agence de voyages a questionné 500 de ses clients sur la nature de leurs loisirs en vacances :
Activités culturelles
A)
B)
Oui
Non
Total
Oui
134
105
Activités sportives
Non
197
64
Sur un questionnaire choisi au hasard,
Quelle est la probabilité que le client pratique des activités sportives ?
Quelle est la probabilité que le client pratique des activités sportives et culturelles ?
Total
500
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E6 A la découverte des formules.
N ° 14 Un transporteur doit charger 50 colis à livrer. Sur son bordereau, il a les informations suivantes :
Paiement
Par courrier
Client
Société
9
Particulier
21
Total
30
Par internet
A la livraison
Total
6
10
16
0
4
4
15
35
50
Il prend un colis au hasard et considère les événements suivants :
L : " Le colis est payable à la livraison " ;
I : " Le colis est payé par internet. " ;
S : " Le colis est destiné à une société. " ;
P : " Le colis est destiné à un particulier. ".
1.
2.
3.
a.
b.
c.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
Calculer p ( S ) et p ( P ).
Quel lien y a t-il entre les événements S et P ?
Quelle relation peut-on établir entre leurs probabilités ?
Calculer p ( L ) et p ( I ).
Exprimer par une phrase l'événement L ∪ I.
Calculer la probabilité de L ∪ I.
Quelle relation peut-on établir entre leurs probabilités ?
Exprimer par une phrase l'événement I ∪ S.
Calculer sa probabilité.
La relation établie à la question 2 convient-elle ? Pourquoi ?
3 Formules sur les probabilités.
Soient A et B deux événements.
Alors p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ∩ B ).
Cas particulier : Si A et B sont incompatibles alors A ∩ B = ∅ donc p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ).
Soient A et A deux événements contraires.
Alors p ( A ) = 1 − p ( A ).
Démonstration : voir feuille annexe.
E7 Savoir calculer des probabilités à l'aide des formules.
N ° 15 20 amis sont réunis autour de trois galettes des rois. La galette à la frangipane, contenant 2 fèves, est
coupée en 10 parts. Aucune ne contenant les deux fèves. Celle à la pomme qui ne contient qu'une fève
est partagée en 6 parts. La plus petite, dite nature, qui ne contient qu'une fève est coupée en 4 parts.
1.
Donner la répartition dans un tableau indiquant le contenu ( avec ou sans fève ) et le parfum ( … ).
On donne à un convive l'une des 20 parts au hasard.
2.
Quelle est la probabilité des événements suivants :
R : " il a une fève " ;
F : " sa part est à la frangipane " ;
P " sa part est à la pomme ".
3.
Calculer p ( F ) et p ( F ∪ P ).
4.
Quelle est la probabilité qu'il ait une part à la frangipane et une fève ?
5.
Calculer la probabilité qu'il ait une part à la frangipane ou une fève.