MULTIPLES ET DIVISEURS

FICHE 1
MULTIPLES ET DIVISEURS
On rappelle la signication des notations suivantes :
N désigne l'ensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . }.
Z désigne l'ensemble des entiers relatifs. Z = {. . . , −3, −2, −1, 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . }.
La dénomination "entier" sans précision signie en général "entier relatif".
Dénition
Soit a et b deux entiers relatifs.
S'il existe un entier relatif k tel que a = kb, on dit que a est un multiple de
b ou que b est un diviseur de a .
On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a .
On note parfois : b | a.
Exemples Les multiples de 6 sont les entiers de la forme 6k , c'est-à-dire 0, 6, 12,
18, 24, 30. . . mais aussi - 6, - 12, - 18, - 24. . . Il y en a une innité.
Les multiples de - 6 sont ces mêmes nombres.
0 n'a qu'un multiple : 0 lui-même.
Les diviseurs de 6 sont : 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6.
Les diviseurs de - 6 sont ces mêmes nombres.
Les diviseurs positifs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Pour essayer de ne pas en
oublier, on peut les grouper par 2 : 24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6.
Est-il vrai que les diviseurs positifs d'un entier seront toujours en nombre pair ?
Remarques
a
existe et est un entier relatif.
b
? Pour tout entier relatif a : a | a, a | 0 et 1 | a.
? Si b divise a et b 6= 0, le quotient
? Si b | a et a 6= 0, alors | b | ≤ | a |. Un entier non nul n'a donc qu'un nombre
ni de diviseurs (mais un nombre inni de multiples).
? Si b | a et a | b, alors a = b ou a = −b.
Propriétés
Quels que soient les entiers a, b et c :
1. Si c | b et b | a, alors c | a.
2. Si c | b, alors ca | ba.
3. Si c | a et c | b, alors c | a + b, c | a − b et plus généralement c | au + bv
quels que soient les entiers u et v .
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§Ex
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1.1 ¦
Déterminer la liste des diviseurs positifs des entiers : 72 ; 75 ; 83 ; 120 ; 200.
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§Ex
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1.2 ¦
Déterminer la liste des diviseurs des entiers : 50 ; - 56 ; - 8 ; 63.
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§Ex
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1.3 ¦
Combien y a-t-il de multiples de 29 compris entre - 500 et 500 ?
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§Ex
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1.4 ¦
Prouver que la somme de :
1. deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ;
2. trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ;
3. cinq entiers consécutifs est un multiple de 5 ;
4. quatre entiers consécutifs n'est jamais un multiple de 4.
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§Ex
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1.5 ¦
Un nombre n diminué de 4 est un multiple de 5.
Démontrer que n2 − 1 est aussi un multiple de 5.
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§Ex
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1.6 ¦
Un nombre n diminué de 2 est un multiple de 7.
Démontrer que n3 − 1 est aussi un multiple de 7.
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§Ex
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1.7 ¦
Soit a, b et d trois nombres entiers naturels.
Démontrer que si 7a + 5b et 4a + 3b sont deux multiples de d alors les nombres a et
b sont des multiples de d.
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§Ex
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1.8 ¦
Avec deux nombres entiers naturels non nuls, on eectue les quatre opérations suivantes :
on les additionne ;
on les multiplie ;
on retranche le plus petit du plus grand ;
on divise le plus grand par le plus petit.
La somme de ces quatre résultats est 243.
Quels sont ces deux nombres ?
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§Ex
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1.9 ¦
Déterminer les entiers naturels tels que : x − 3 divise x2 + 3.
Indication : Écrire x2 + 3 sous la forme : (x − 3)(x + 3) + 12.
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§Ex
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1.10 ¦
Déterminer les nombres relatifs x tels que :
1. x − 2 divise x + 5 ;
2. x + 7 divise 2x + 15 ;
3. x − 1 divise x2 ;
4. x + 1 divise x3 + 2.
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