DS n°4 - No Math Error à Mourenx

Nom :
Classe : 2nde
Devoir surveillé n°4
Note :
le 07/02/2017
… / 25
Avis de
l’élève
Oui Non
Je sais :
Avis du
professeur
Oui
Non
Exercice 1
Identifier des fonctions affines / des coefficients directeurs / des ordonnées à l'origine.
Exercice 2
Déterminer les variations d'une fonction affine.
Déterminer le signe d'une fonction affine.
Déterminer si un point appartient ou non à la représentation graphique d'une fonction.
Construire la représentation graphique d'une fonction affine.
Déterminer le point d'intersection de deux droites.
Exercice 3
Résoudre une équation / une inéquation / un système.
Exercice 4
Calculer une équation de la droite passant par deux points donnés.
Calculer l'équation d'une droite parallèle à une autre et passant par un point donné.
Exercice 5
Démontrer que deux droites sont parallèles / Démontrer qu'une droite est parallèle à un plan.
Exprimer un volume en fonction d'une longueur.
Calculer.
Ecrire un algorithme.
Exercice 1 :
… / 2,5
Identifier les fonctions affines en précisant leurs coefficients directeurs et leurs ordonnées à l'origine.
1
a) f (x) = 2x2 ¡ 3
b) g(x) = 5¡6x
c) h(x) = -7x+4
d) i(x) = (2 ¡ x)(x2 + 2x ¡ 7 ) + x3
2
Exercice 2 : f et g sont les fonctions affines définies par f (x) = 2x ¡ 7 et g(x) = 4 – 3
2 x.
…/8
1. Déterminer les sens de variation de f et g .
2. Etudier le signe de f (x) et g(x).
3. On note (df ) et (dg ) les représentations graphiques des fonctions f et g .
a) (df ) et (dg ) sont elles parallèles ? Justifier.
b) Le point A (- 4 ; - 1) appartient-il à (df ) ? justifier.
c) Construire ces droites dans le repère orthonormé ci-dessous.
d) Déterminer par le calcul les coordonnées exactes de leur point d'intersection M.
e) Les droites (∆) et (∆') tracées ci-dessous peuvent-elles être associées à des fonctions affines ? Justifier
(∆)
(∆')
Exercice 3 : Résoudre.
a) (3x + 5)2 – 4 = 0
b) 2(x ¡ 3)2 – 5 < 2x2 + 6x + 22
c)
½
… / 4,5
3x ¡ 4y = 7
6x + 5y = -12
Exercice 4 : On donne A (- 1 ; 3), B (2 ; - 2) et C (3 ; - 1
… / 2,5
2)
1. Calculer une équation de la droite passant par A (- 1 ; 3) et B (2 ; - 2).
2. Calculer une équation de la droite parallèle à la droite d'équation y = -3
4 x + 5 et passant par C.
Exercice 5 :
Un réservoir est formé d'une pyramide régulière ABCDE dont la base est un
carré de centre O, surmontée d'un parallélépipède rectangle ABCDKLMN.
Partie A :
1. a) Démontrer que les droites (GI) et (AC) sont parallèles.
b) Que peut-on dire des droites (GI) et (BD) ?
2. Justifier la position relative de la droite (JH) et du plan (ABC).
Partie B : On donne : AB = 2 m, OE = 2 m, DN = 5 m.
On note x la hauteur d'eau contenue dans le réservoir, en m, et v(x) le
volume d'eau dans le réservoir, en m3 .
1. Sur quel intervalle la fonction v est-elle définie ?
2. Calculer la longueur BD.
3. a) On admet que :
3
◦ si : 0 ≤ x ≤ 2 alors : v(x) = x3
Démontrer que :
◦ si : 2 < x ≤ 7 alors : v(x) = 4x – 16
3
b) Calculer le volume d'eau contenu dans le réservoir quand la
hauteur d'eau est x = 1,5 m puis x = 3 m.
c) Le volume d'eau est-il proportionnel à la hauteur d'eau ? Justifier.
4. Ecrire un algorithme affichant en sortie le volume d'eau contenu
dans le réservoir lorsqu'on saisit en entrée la hauteur d'eau.
… / 7,5
Correction du DS n°4
Exercice 1 :
Identifier les fonctions affines en précisant leurs coefficients directeurs et leurs ordonnées à l'origine.
1
a) f (x) = 2x2 ¡ 3
b) g(x) = 5¡6x
c) h(x) = -7x+4
d) i(x) = (2 ¡ x)(x2 + 2x ¡ 7 ) + x3
2
Les fonctions f et h ne sont pas affines car f (x) et h(x) ne peuvent pas s'écrire sous la forme ax + b .
5¡6x 5 6x
g(x) = 2 = 2 – 2 = 2, 5 ¡ 3x
Donc g est une fonction affine de coefficient directeur - 3 et d'ordonnée à l'origine 2,5.
i(x) = (2 ¡ x)(x2 + 2x ¡ 7 ) + x3 = 2x2 + 4x ¡ 14 ¡ x3 ¡ 2x2 + 7x + x3 = 11x ¡ 14
Donc i est une fonction affine de coefficient directeur 11 et d'ordonnée à l'origine - 14.
Exercice 2 : f et g sont les fonctions affines définies par f (x) = 2x ¡ 7 et g(x) = 4 – 3
2 x.
1. Etude des variations de f et g .
f est une fonction affine croissante sur R car son coefficient directeur 2 est positif.
3
g est une fonction affine décroissante sur R car son coefficient directeur - 2 est négatif.
2. Etude du signe de f (x) et g(x) :
3
g(x) = 4 – 2 x
f (x) = 2x ¡ 7
7
2x ¡ 7 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ 7 ⇔ x ≥ 2
On en déduit le tableau de signe ci-dessous :
x
f (x)
7
2
-∞
–
O
3
3
2
8
4 – 2x ≥ 0 ⇔ 4 ≥ 2x ⇔ x ≤ 4 × 3 ⇔ x ≤ 3
On en déduit le tableau de signe ci-dessous :
+∞
+
x
g(x)
8
3
-∞
+
O
+∞
–
3. On note (df ) et (dg ) les représentations graphiques des fonctions f et g .
a) (df ) et (dg ) sont elles parallèles ? Justifier.
(df ) et (dg ) ne sont pas parallèles car elles n'ont pas les mêmes coefficients directeurs.
b) Le point A (- 4 ; - 1) appartient-il à (df ) ? justifier.
f (-4) = 2 £ (-4) ¡ 7 = -8 ¡ 7 = - 15 ≠ - 1
Donc A (- 4 ; - 1) ∉ (df ).
c) On peut construire (dg ) à partir de son ordonnée à l'origine (4) et de son coefficient directeur (- 3
2 ).
Pour (df ), on ne peut pas placer l'ordonnée à l'origine (- 7) sur le graphique.
Pour tracer (df ) on calcule les coordonnées de deux points de (df ) :
◦ f (1) = 2 £ 1 ¡ 7 = 2 ¡ 7 = - 5
Donc B (1 ; - 5) ∈ (df )
◦ f (3) = 2 £ 3 ¡ 7 = 6 ¡ 7 = - 1
Donc C (3 ; - 1) ∈ (df )
Les droites (BC) et (df ) sont confondues.
d) Déterminer par le calcul les coordonnées exactes de leur point d'intersection M.
½
½
½
y = 2x ¡ 7
4x ¡ 14 = 8 ¡ 3x
2x ¡ 7 = 4 ¡ 32 x (L1 × 2)
3
y = 4 ¡ 2x
y = 2x ¡ 7
y = 2x ¡ 7
½
½
½
4x + 3x = 8 + 14
7x = 22
x = 22
7
y = 2x ¡ 7
y = 2x ¡ 7
y = 2x ¡ 7
½
½
½
x = 22
x = 22
x = 22
7
7
7
44
49
5
y = 2 £ 22
¡
7
y
=
¡
y
=
7
7
7
7
5
Le point d'intersection des droites (df ) et (dg ) est M ( 22
7 ; - 7)
e) Les droites (∆) et (∆') tracées ci-dessous peuvent-elles être associées à des fonctions affines ? Justifier
(∆) ne peut pas être associée à une fonction affine car elle est parallèle à l'axe des ordonnées.
(∆') a pour équation y = - 3. Elle peut être associée à une fonction affine constante.
(dg)
4
×
(∆)
(df)
-3
+2
×M
×
C
(∆')
×
B
Exercice 3 : Résoudre.
a) (3x + 5) – 4 = 0
2
b) 2(x ¡ 3) – 5 < 2x + 6x + 22
2
2
(3x + 5) – 2 = 0
2(x ¡ 6x + 9) – 5 < 2x + 6x + 22
(3x + 5 ¡ 2)(3x + 5 + 2) = 0
2x ¡ 12x + 18 – 5 < 2x + 6x + 22
(3x + 3)(3x + 7 ) = 0
2x ¡ 12x ¡ 2x ¡ 6x < 22 – 18 + 5
2
2
2
2
2
2
2
2
Un produit est nul si et seulement
- 18x < 9
l'un de ses facteurs est nul.
9
- 18 < 0 donc x > - 18
1
x > -2
l'un de ses facteurs est nul.
3x + 3 = 0 ou 3x + 7 = 0
3x = - 3
3
x = -3
ou 3x = - 7
ou x = - 7
3
ou x = - 7
3
x=-1
Exercice 4 : On donne A (- 1 ; 3), B (2 ; - 2) et C (3 ; - 1
2)
1. Calculer une équation de la droite passant par A (- 1 ; 3) et B (2 ; - 2).
On commence par calculer le coefficient directeur a de (AB) :
y ¡y
3+2
5
5
a = xA ¡xB = -1¡2 = -3 = - 3
A
B
(AB) a une équation de la forme : y = - 5
3x + b
5
A (- 1 ; 3) ∈ (AB) donc :
3 = - 3£(-1) + b
3= 5
3 +b
5 9
5 4
b=3–3 =3 ¡ 3 =3
4
Finalement, (AB) a pour équation y = - 5
3x + 3
c)
½
½
½
½
½
½
½
½
3x ¡ 4y = 7
6x + 5y = -12
6x ¡ 8y = 14 (L1 × 2)
6x + 5y = -12
-13y = 26
(L1 – L2 )
3x ¡ 4y = 7
y = -2
3x ¡ 4y = 7
y = -2
3x ¡ 4 £ (-2) = 7
y = -2
3x + 8 = 7
y = -2
3x = -1
x = - 13
y = -2
2. Calculer une équation de la droite parallèle à la droite d'équation y = -3
4 x + 5 et passant par C.
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
On en déduit que l'équation de la droite (d) recherchée est de la forme : y = -3
4 x+b
C (3 ; - 1
2 ) ∈ (d) donc :
-3
-1
2 = 4 £3 + b
-9
-1
2 = 4 +b
1 9
2 9
7
b=-2 +4 =-4 +4 =4
7
Finalement, la droite cherchée a pour équation y = -3
4x+4
Exercice 5 :
Un réservoir est formé d'une pyramide régulière ABCDE dont la base est un
carré de centre O, surmontée d'un parallélépipède rectangle ABCDKLMN.
Partie A :
1. a) Démontrer que les droites (GI) et (AC) sont parallèles.
ABCDGHIJ est un pavé droit.
On en déduit que les arêtes [AG], [DJ] et [CI] sont deux à deux
parallèles et de même longueur.
Le quadrilatère AGIC est donc un parallélogramme.
Or,dans un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles.
On en déduit que les droites (GI) et (AC) sont parallèles.
×
O'
b) Que peut-on dire des droites (GI) et (BD) ?
En supposant que le niveau d'eau n'est pas au niveau du plan (ABC),
les plans (ABC) et (GHI) sont strictement parallèles. On en déduit que
les droites (GI) et (BD), respectivement incluses dans (GHI) et (ABC)
ne peuvent pas être sécantes. Sachant que (GI) est parallèle à (AC) et
que (AC) et (BD) sont sécantes, (GI) ne peut pas être parallèle à (BD).
Ainsi, les droites (GI) et (BD) ne sont pas coplanaires.
2. Justifier la position relative de la droite (JH) et du plan (ABC).
On sait que les plans (GHI) et (ABC) sont parallèles et que la droite
(JH) est incluse dans le plan (GHI).
Or, si deux plans sont parallèles et si une droite est incluse dans l'un
alors elle est parallèle à l'autre.
Donc (JH) est parallèle au plan (ABC).
Partie B : On donne : AB = 2 m, OE = 2 m, DN = 5 m.
On note x la hauteur d'eau contenue dans le réservoir, en m, et v(x) le volume d'eau, en m3 .
1. La hauteur maximale du réservoir est la somme des hauteurs de la pyramide et du parallélépipède
rectangle ABCDKLMN.
OE + DN = 2 + 5 = 7
On en déduit que la fonction v est définie sur [0 ; 7].
2. ABCD est un carré donc ABD est un triangle isocèle et rectangle en A.
On en déduit, d'après le théorème de Pythagore, que :
BD2 = AD2 + AB2
BD2 = 22 + 22 = 4 +p4 = 8p
p
p
BD > 0 donc BD = 8 = 4 £ 2 = 2 2
3. a) On admet que :
3
◦ si : 0 ≤ x ≤ 2 alors : v(x) = x3
Démontrer que :
◦ si : 2 < x ≤ 7 alors : v(x) = 4x – 16
3
Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu.
En notant O' le milieu de [GI], la longueur EO' correspond à la hauteur d'eau dans le cas ou : 2 < x ≤ 7.
1
v(x) = vABCDGHIJ + vABCDE = AB × AD × OO' + 1
3 AB × AD × OE = 2 × 2 × (x ¡ 2) + 3 × 2 × 2 × 2
8
24 8
16
v(x) = 4 (x ¡ 2) + 8
3 = 4x ¡ 8 + 3 = 4x – 3 + 3 = 4x – 3
b) Calculer le volume d'eau contenu dans le réservoir quand la hauteur d'eau est x = 1,5 m puis x = 3 m.
Si x = 1,5 m Alors : 0 ≤ x ≤ 2
1,53
On en déduit : v(1, 5) = 3 = 1,125 m3 .
Si x = 3 m
Alors : 2 < x ≤ 7
16 36 16 20 3
On en déduit : v(3) = 4 £ 3 – 16
3 = 12 – 3 = 3 – 3 = 3 m .
3
3
c) v(3) = 20
3 m ≈ 6,67 m
v(3) ≠ 2 × v(1, 5)
Donc, le volume d'eau dans le réservoir n'est pas proportionnel à la hauteur d'eau.
Remarque : Puisque la fonction v n'est pas linéaire, le volume d'eau v(x) n'est pas proportionnel à x.
4. Ecrire un algorithme affichant en sortie le volume d'eau contenu dans le réservoir lorsqu'on saisit en
entrée la hauteur d'eau.
Variables :
X et V deux nombres réels
Entrée :
Saisir X
Traitement :
Si 0 ≤ X ≤ 2
3
Alors V prend la valeur X3
Afficher V
Sinon
Si 2 < X ≤ 7
Alors V prend la valeur 4X – 16
3
Afficher V
Sinon Afficher « X doit prendre une valeur entre 0 et 7 »
Fin Si
Fin si
Algorithme simplifié (en admettant que la valeur saisie de X est comprise à coup sûr entre 0 et 2) :
Variables :
X et V deux nombres réels
Entrée :
Saisir X
Traitement :
Si 0 ≤ X ≤ 2
3
Alors V prend la valeur X3
Sortie :
Sinon V prend la valeur 4X – 16
3
Fin Si
Afficher V