Correction devoir numéro 1 LM256 Correction de l`exercice 0.1

Correction devoir numéro 1
LM256
Exercice 0.1. 1. Démontrer que lim
x→0
√1 + x−√1−x
x= 1.
2. Soient m, n des entiers positifs. Étudier lim
x→0
√1 + xm−√1−xm
xn.
3. Démontrer que lim
x→0
1
x(p1 + x+x2−1) = 1 2.
Indication pour l’exercice 0.1
Utiliser l’expression conjuguée.
Correction de l’exercice 0.1
Généralement pour calculer des limites faisant intervenir des sommes racines carrées, il est utile
de faire intervenir l’expression conjuguées :
√a−√b=(√a−√b)(√a+√b)
√a+√b=a−b √a+√b.
Les racines au numérateur ont disparu en utilisant l’identité (x−y)(x+y) = x2−y2.
Appliquons ceci sur un exemple :
f(x) = √1 + xm−√1−xm
xn
=(√1 + xm−√1−xm)((√1 + xm+√1−xm))
xn(√1 + xm+√1−xm)
=1 + xm−(1 −xm)
xn(√1 + xm+√1−xm)
=2xm
xn(√1 + xm+√1−xm)
=2xm−n
√1 + xm+√1−xm
Et nous avons
lim
x→0
2
√1 + xm+√1−xm= 1.
Donc l’étude de la limite de fen 0est la même que celle de la fonction x7→ xm−n.
Distinguons plusieurs pour la limite de fen 0.
1

– Si m > n alors xm−ntend vers 0, donc f(x)tend vers 0.
– Si m=nalors xm−net f(x)vers 1.
– Si m < n alors xm−n=1
xn−m=1
xkavec k=n−mun exposant positif. Si kest pair alors
les limites à droite et à gauche de 1
xksont +∞. Pour kimpair la limite à droite vaut +∞
et la limite à gauche vaut −∞. Conclusion pour k=n−m > 0pair, la limite de fen 0
vaut +∞et pour k=n−m > 0impair fn’a pas de limite en 0car les limites à droite et
à gauche ne sont pas égales.
Exercice 0.2. 1- Soit f:R→Rcontinue en 0telle que ∀x∈Rf(x) = f(2x). Montrer que f
est constante.
2- Les fonctions suivantes sont-elles prolongeables par continuité sur R?
af(x) = sin xsin( 1
x);
bf(x) = 1
xln ex+e−x 2;
cf(x) = 1
1−x−2
1−x2.
Indication pour l’exercice 0.2
1- Pour xfixé étudier la suite f(1
2nx).
2- Oui pour les deux premières en posant f(0) = 0, non pour la troisième.
Correction de l’exercice 0.2
Soit x∈R, comme f(y) = f(2y)en prenant y=x/2nous obtenons f(1
2x) = f(x). Puis en
prenant y=1
4x, nous obtenons f(1 4x) = f(1 2x) = f(x). Par une récurrence facile nous avons
∀n∈Nf(1
2nx) = f(x).
Notons (un)la suite définie par un=1
2nxalors un→0quand n→+∞. Par la continuité de f
en 0nous savons alors que : f(un)→f(0) quand n→+∞. Mais f(un) = f(1
2nx) = f(x), donc
(f(un))nest une suite constante égale à f(x), et donc la limite de cette suite est f(x)! Donc
f(x) = f(0). Comme ce raisonnement est valable pour tout x∈Rnous venons de montrer que
fest une fonction constante.
aLa fonction en définie sur R∗. Et elle est continue sur R∗. Il faut déterminer un éventuel
prolongement par continuité en x= 0, c’est-à-dire savoir si fa une limite en 0.
|f(x)|=|sin x||sin 1/x| ≤ |sin x|.
Donc fa une limite en 0qui vaut 0. Donc en posant f(0) = 0, nous obtenons une fonction
f:R−→ Rqui est continue.
bLa fonction fest définie et continue sur R∗. Étudions la situation en 0.fest la taux d’ac-
croissement en 0de la fonction g(x) = ln ex+e−x
2. Donc si les objets suivants existent : la
limite de fen 0est égale à la valeur de g0en 0. Calculons g0sur R∗:
g0(x) = ln ex+e−x
20=
ex−e−x
2
ex+e−x
2
=ex−e−x
ex+e−x.
2

Quand x→0alors le numérateur tend vers 0et le dénominateur vers 2, donc g0(x)tend
vers 0. Donc gest dérivable en 0et g0(0) = 0. En posant f(0) = 0 nous obtenons une
fonction fdéfinie et continue sur R.
cfest définie et continue sur R\ {−1,1}.
f(x) = 1
1−x−2 1−x2=1 + x−2 (1 −x)(1 + x)=−1 + x (1 −x)(1 + x)=−1 (1 + x).
Donc fa pour limite −1
2quand xtend vers 1. Et donc en posant f(1) = −1 2, nous
définissons une fonction continue sur R\{−1}. En −1la fonction fne peut être prolongée
continuement, car en −1,fn’admet de limite finie.
Exercice 0.3. Calculer la fonction dérivée d’ordre ndes fonctions f, g, h définies par :
f(x) = sin x;g(x) = sin2x;h(x) = sin3x+ cos3x.
Indication pour l’exercice 0.3
On ne cherchera pas à utiliser la formule de Leibniz mais à linéariser les expressions trigonomé-
triques.
Correction de l’exercice 0.3
1. Selon que n≡0[4],1[4],2[4],3[4] alors f(n)(x)vaut respectivement sin x,cos x,−sin x,
−cos x.
2. La dérivée de sin2xest 2 sin xcos x= sin 2x. Et donc les dérivées suivantes seront :
2 cos 2x, −4 cos 2x, 8 sin 2x, 16 cos 2x,... Et selon que n≡1[4],2[4],3[4],0[4],alors g(n)(x)
vaut respectivement 2n−1sin 2x,2n−1cos 2x,−2n−1sin 2x,−2n−1cos 2x.
3. sin(x)3+ cos(x)3=−1
4sin(3x) + 3 4sin(x) + 1 4cos(3x) + 3 4cos(x)et on dérive...
Exercice 0.4. On considère la fonction f:R→Rdéfinie par
f(t) = (e1/t si t < 0
0 si t≥0
1. Démontrer que fest dérivable sur R, en particulier en t= 0.
2. Étudier l’existence de f00(0).
3. On veut montrer que pour t < 0, la dérivée n`eme de fs’écrit
f(n)(t) = Pn(t)
t2ne1/t
où Pnest un polynôme.
(a) Trouver P1et P2.
3

(b) Trouver une relation de récurrence entre Pn+1, Pnet P0
npour n∈N∗.
4. Montrer que fest de classe C∞.
Correction de l’exercice 0.4
1. fest dérivable sur R∗
+en tant que composée de fonctions dérivables, et sur R∗ −car elle est
nulle sur cet intervalle ; étudions donc la dérivabilité en 0.
On a
f(t)−f(0)
t=(e1/t/t si t < 0
0 si t≥0
or e1/t/t tend vers 0 quand ttend vers 0 par valeurs négatives. Donc fest dérivable à
gauche et à droite en 0 et ces dérivées sont identiques, donc fest dérivable et f0(0) = 0.
2. On a
f0(t) = (−e1/t/t2si t < 0
0 si t≥0
donc le taux d’accroissement de f0au voisinage de 0 est
f0(t)−f0(0)
t=(−e1/t/t3si t < 0
0 si t≥0
et il tend vers 0 quand ttend vers 0 par valeurs supérieures comme inférieures. Donc f
admet une dérivée seconde en 0, et f00(0) = 0.
3. (a) On a déjà trouvé que f0(t) = −e1/t/t2, donc f0(t) = P1(t)/t2e1/t si on pose P1(t) = −1.
Par ailleurs, f00(t) = e1/t/t4+e1/t(−2/t3) = 1−2t
t4e1/t donc la formule est vraie pour
n= 2 en posant P2(t) = 1 −2t.
(b) Supposons que la formule est vraie au rang n. Alors f(n)(t) = Pn(t)
t2ne1/t d’où
f(n+1)(t) = P0
n(t)t2n−Pn(t)(2n)t2n−1
t4ne1/t +Pn(t) t2ne1/t(−1/t2)
=P0
n(t)t2−(2nt + 1)Pn(t)
t2(n+1) e1/t
donc la formule est vraie au rang n+ 1 avec
Pn+1(t) = P0
n(t)t2−(2nt + 1)Pn(t).
4. Sur R∗
−et sur R∗ +fest indéfiniment dérivable, donc il suffit d’étudier ce qui se passe en 0.
Montrons par récurrence que fest indéfiniment dérivable en 0, et que ∀n∈N, f(n)= 0.
On sait que c’est vrai au rang 1. Supposons que fest n-fois dérivable, et que f(n)= 0.
Alors le taux d’accroissement de f(n)en 0 est :
f(n)(t)−f(n)(0)
t=(Pn(t)e1/t/t2nsi t < 0
0 si t≥0
4

et sa limite est 0 quand ttend vers 0 par valeurs supérieures comme inférieures. Donc f(n)
est dérivable en 0, et f(n+1)(0) = 0. Donc l’hypothèse de récurrence est vérifiée au rang
n+ 1.
Par conséquent, fest de classe C∞.
Exercice 0.5. 1- Calculer les primitives suivantes :
Zsin x
sin x+ cos xdx et Zcos x sin x+ cos xdx.
2- Calculer Z1
0
(x−1)
(x2+x+ 1)3(x+ 2) dx.
Correction de l’exercice 0.5
1- Rsin x
sin x+cos xdx =1 2(x−ln |cos x+ sin x|) + csur R,
Rcos x
sin x+cos xdx =1 2(x+ ln |cos x+ sin x|) + csur R.
2-
Z1
0
(x−1)
(x2+x+ 1)3(x+ 2) dx
=Z1
0−1
9(x+ 2) +x (x2+x+ 1)3+x−1 3(x2+x+ 1)2+x−1 9(x2+x+ 1)dx
:= I1+I2+I3+I4.
Après cette décomposition, on calculera les termes I1, I2, I3, I4, on obtient
I1=1
9log 3 2,
I2=1
18 log 3 −π
27√3,
I3=1
9−√3π 27 ,
I4=5
18 −√3π 27 .
D’où il ressort que
Z1
0
(x−1)
(x2+x+ 1)3(x+ 2) dx =1 18 log 4 3−5π
27√3+7
18.
Exercice 0.6. On définit sur R2la forme différentielle :
w1= (x2+y)dx + (xy +y2)dy
1- Est-ce que w1est une forme différentielle exacte ?
On définit sur D=(x, y)∈R2|x+y > 0la forme différentielle :
w2=e−x1
x+y−ln(x+y)dx +e−x x+ydy.
5