Les cours du Lycée J.Durand - Wicky-math

2013-2014
Les cours du Lycée J.Durand
Mathématiques
Terminale S
Enseignement de spécialité
Rédaction :
David Zancanaro
Réalisé à l’aide de :
L
A
T
EX

Table des matières
I. Définitions et premières propriétés 3
I.1. Exemple introductif ........................................ 3
I.2. Définitions .............................................. 4
I.3. Opération sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.3.a. Somme de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.3.b. Produit d’une matrice par un nombre réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.3.c. Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.3.d. Puissance entière d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II. Applications : Processus aléatoire - matrice de transition 12
II.1. Généralités .............................................. 12
II.2. Marche aléatoire .......................................... 15

Matrice PARTIE 1 wicky-math.fr.nf Chapitre 2
Leçon 2
Matrice PARTIE 1
I. Définitions et premières propriétés
I.1. Exemple introductif
Synthèse de l’aspirine
Un laboratoire pharmaceutique produit de l’aspirine en la synthétisant à partir de deux com-
posants (l’acide salicylique et l’anhydride acétique) et avec l’aide d’un catalyseur (l’acide sulfurique
concentré).
La production est répartie entre deux sites appelés S1et S2. Le tableau ci-dessous présente les
quantités de composés chimiques utilisées pour le premier semestre de l’année 2012 :
Acide salicylique (kg) Anhydride acétique (L) Acide sulfurique (L)
Site de production S12300 3000 80
Site de production S21500 2100 50
On peut représenter ce tableau en supprimant les titres des lignes et des colonnes et en entourant
le contenu avec des parenthèses. On obtient un objet mathématique nommé matrice, à deux lignes
et trois colonnes, que l’on nomme A1. Voici comme s’écrit la matrice A1:
A1=Ã2300 3000 80
1500 2100 50!
1. Voici la matrice A2donnant les quantités de composés chimiques utilisées pour le second se-
mestre 2012 :
A2=Ã2500 3300 90
1800 2500 60!
Interpréter, dans le contexte de l’exercice, la valeur du nombre situé à l’intersection de la pre-
mière ligne et de la deuxième colonne.
2. On souhaite calculer la matrice A donnant les quantités de composés chimiques utilisés sur
l’ensemble de l’année 2012 ; comment procéder ? Calculer les six coefficients de cette matrice A,
appelée somme des matrices A1et A2et notée A1+A2.
3. Pour l’année 2013, le laboratoire prévoit une augmentation homogène de la production de 5%.
Par quel nombre doit-on multiplier tous les coefficients de la matrice A1pour obtenir la matrice
B1donnant les quantités de composés chimiques nécessaire à cette production lors du premier
semestre 2013 ? Calculer B1, puis la matrice B2donnant ces quantités pour le second semestre
2013. Calculer de deux manières différentes la matrice B dont les coefficients sont les quantités
de produit prévues pour la production de l’ensemble de l’année 2013.
D.Zancanaro
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Matrice PARTIE 1 wicky-math.fr.nf Chapitre 2
I.2. Définitions
Dans tout ce qui suit, n,met psont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
Une matrice A de dimensions m×pest un tableau de nombres à mlignes et pcolonnes.
Ces nombres sont appelés les coefficients de la matrice A.
Pour 1 ≤i≤met 1 ≤j≤p, on note ai j le coefficient de la matrice situé au croisement de la
i−ème ligne et j−ème colonne.
Définition 1.
Exemple :
A=
1 2 3 4
5−6 7 −9
10 1
25 3
est une matrice de dimensions 3 ×4. a23 =7.
Une matrice de dimensions 1 ×pest appelée vecteur-ligne.
Une matrice de dimensions m×1 est appelée vecteur-colonne.
Si m=palors la matrice est dite carrée d’ordre p.
Définition 2.
Exemple :
A=³1 2 3´
est un vecteur ligne de dimensions 1 ×3.
B=
1
2
3
−3
est un vecteur colonne de dimensions 3 ×1.
C=
1 2 3 4
5−6 7 −9
10 1
25 3
−1−2−3−4
est une matrice carré d’ordre 4.
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Matrice PARTIE 1 wicky-math.fr.nf Chapitre 2
I.3. Opération sur les matrices
I.3.a. Somme de deux matrices
La somme de deux matrices de mêmes dimensions m×pest la matrice de dimensions
m×pobtenue en ajoutant entre les coefficients occupant la même position dans chacune
des matrices.
Définition 3.
Exemple :
Ã1 2 3 4
5−6 7 −9!+Ã−2 0 −3 4 5 1 1 −9!=Ã−1 2 0 8 10 −5 8 −18!
Soit A, B et C trois matrices de mêmes dimensions. Alors on a :
A+B=B+A : on dit que la somme de matrices est commutative ;
(A +B) +C=A+(B +C) : on dit que la somme de matrices est associative.
Propriété 1.
Preuve
Ces propriétés découlent immédiatement de la commutativité et de l’associativité de l’addition
des nombres réels.
I.3.b. Produit d’une matrice par un nombre réel
Le produit d’une matrice par un nombre réel est la matrice obtenue en multipliant chacun
des coefficients de cette matrice par ce nombre réel.
Définition 4.
Exemple :
Si A =Ã1 4
5−6!alors (−2) ×A= −2A =Ã−2−8 −10 12!
Soit λet µdeux nombres réels et A et B deux matrices de mêmes dimensions. On a :
λ(A +B) =λA+λB , ¡λ+µ¢A=λA+µA et (λµ)A =λ(µA)
Propriété 2.
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