2 TD - DLST

MAT243 2011-2012
Variables aléatoires sur un espaces probabilisé ni
Exercice 1. La v.a. N suit la loi uniforme sur {1, 2, . . . , n}. Déterminer la loi X = (1+cos πN )/2.
Exercice 2. La v.a. X suit la loi B(2n, p). Déterminer la loi de Z = |X − n|.
Exercice 3. Un groupe de n personnes dont A et B se mettent au hasard dans une rangée.
a) Décrire un ensemble fondamental Ω associé à cette expérience et donner son nombre d'éléments.
b) Quelle est la probabilité pour qu'il y ait k personnes entre A et B ?
c) Quelle est la loi du nombre K de personne entre A et B ?
Exercice 4. On répartit au hasard n jetons numérotés de 1 à n dans 3 boîtes numérotées de 1 à 3.
Soit, pour i = 1, 2, 3 l'événement Bi = "après répartition, la ième boîte est vide". On note
N = 11B1 + 11B2 + 11B3 le nombre de boîtes vides après répartition. Déterminer la loi de N .
Exercice 5. Soit deux événements A et B tels que P (A) = 1/2, P (B) = 1/3 et P (A ∪ B) = 7/12.
Calculer P (A ∩ B), P (Ac ∩ B), P (A ∪ B c ) et P (Ac ∩ B c ). Quelle est la loi de X = 11A − 11B ?
Exercice 6. Un enfant joue de la façon suivante avec une pièce : s'il obtient pile, il fait 1 pas vers
le nord ; s'il obtient face il fait 1 pas vers le sud. Il arrête son jeu au dixième pas.
1) Quelle est la probabilité pour qu'après avoir fait 10 pas, il se retrouve :
a) à son point de départ ; b) à 2 pas de son point de départ ?
2) On suppose maintenant qu'il décide de s'arrêter avant le dixième pas si la pièce lui ordonne
de marcher dans le même sens que la fois précédente. On appelle X la variable aléatoire égale au
nombre de fois où il lance la pièce avant de s'arrêter. Donner la loi de X .
Espérance, variance
Exercice 1. Soit X une v.a.r. On note X + = max(X, 0) et X − = max(−X, 0).
1) Exprimer X et |X| à l'aide de X + et X − .
2) En déduire l'inégalité |IE(X)| ≤ IE(|X|).
3) On suppose que X est à valeurs dans {−1, 0, 1} et on pose α = IE(X), β = IE(|X|).
a) On a |α| ≤ β ≤ 1. Pourquoi ?
b) Déterminer la loi de X à l'aide de α et β .
Exercice 2. Une urne contient n boules bleues et 2n boules rouges.
1) On eectue 2 tirages avec remise et on note X le nombre de boules bleues tirées.
a) Sur quel espace (Ω, P ) la v.a. X est-elle dénie (les tirages sont équiprobables) ?
b) Quelle est la loi de X ? Déterminer la moyenne IE(X) et la variance Var (X).
2) On eectue 2 tirages sans remise et on note Y le nombre de boules bleues tirées.
a) Sur quel espace (Ω0 , P 0 ) la v.a. Y est-elle dénie (les tirages sont équiprobables) ?
b) Quelle est la loi de Y ? Déterminer la moyenne IE(Y ) et la variance Var (Y ).
3) Comparer les résultats. Que se passe-t-il lorsque n → ∞ ?
Exercice 3. 1) Montrer que si X est une v.a. entière et GX son polynôme générateur alors
Var (X) = G00X (1) + G0X (1) − [G0X (1)]2 .
2) On suppose que X suit la loi uniforme sur [[0, n]]. Déterminer le polynôme générateur GX . En
déduire IE(X) et Var (X).
3) Même question si X suit la loi binomiale B(n, p) (n ∈ N et 0 < p < 1 xés).
Déduire du calcul de GX que : Si X et Y sont indépendantes avec X de loi B(n, p) et Y de loi
B(m, p) (n, m ∈ N et 0 < p < 1 xés) alors X + Y suit la loi B(n + m, p).
Exercice 4. On tire successivement sans remise d'un sac de jetons numérotés de 1 à n (n ≥ 2)
deux jetons. On note X le numéro du premier jeton et Y le numéro du second jeton et S = X + Y .
a) Décrire l'espace probabilisé (Ω, P ) sur lequel sont dénies les variables aléatoires X et Y .
b) Déterminer les lois de X et Y . En déduire E(X), E(Y ) et E(S).
c) Est-ce que les v.a. X et Y sont indépendantes ?
d) Si n = 6, déterminer la loi de S = X + Y . Retrouver ainsi la valeur de E(S).
e) On note Z = max(X, Y ), déterminer la loi de Z . En déduire GZ (t) et E(Z).
Probabilités conditionnelles.
Exercice 1. Dans une boîte se trouvent n pièces numérotées de 1 à n. La k-ième pièce a la
probabilité pk de tomber sur "pile" lors d'un lancer. On tire au hasard une pièce et on la lance.
Sachant qu'elle est tombée sur "pile", quelle est la probabilité d'avoir tiré la k-ième pièce ? Traiter
le cas où l'on a 3 pièces, la 1ière ayant 2 côtés face, la 2ième normale et la 3ième 2 côtés pile.
Exercice 2. Une urne contient 6 boules bleues, 4 boules jaunes et 3 boules noires, les boules de
même couleur étant indiscernables. On extrait (simultanément) 4 boules au hasard. Calculer la
probabilité des événements suivants : A ="tirer au moins 1 noire", B ="tirer 2 jaunes exactement
et au moins 1 bleue". Quelle est la probabilité conditionnelle de A sachant B ? Les événements A
et B sont-ils indépendants ?
Exercice 3. La fabrication d'une vis est assurée par quatre machines Mi , i = 1, . . . , 4 qui
produisent respectivement 15%, 20%, 30% et 35% des vis fabriquées. Dans la production propre
de chaque machine il y a respectivement 5%, 4%, 3% et 2% de vis défectueuses. Quelle est
la probabilité pour qu'une vis prise au hasard soit défectueuse ? On tire une vis au hasard, on
constate qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité pour qu'elle provienne de la machine Mi ?
Exercice 4. Une information pouvant prendre les valeurs 0 ou 1 est transmise par une suite de
n personnes. La première personne a reçu l'information initiale. La probabilité pour que chaque
personne transmette l'information qu'elle a reçue est p. On suppose que les diérentes personnes
ont un comportement indépendant les unes des autres.
1) Quel est l'espace probabilisé (Ω, P ) à considérer.
2) Calculer la probabilité Pn que la ne personne transmette l'information initiale. Quelle est la
limite de Pn lorsque n → +∞ ?
[Introduire les événements : Ai ="la ième personne transmet l'information initiale " et
Bi ="la ième personne transmet l'information qu'elle a reçue"]
Exercice 5. Pour tester le comportement d'un rat, on place l'animal dans une cage comportant
4 issues dont une seule est la bonne. On décide de laisser au rat N > 4 essais et de le faire sortir,
s'il n'y est pas encore arrivé, à l'essai numéro N . Chaque fois que le rat choisit une mauvaise issue,
il reçoit une décharge électrique qui le ramène dans la cage. On note X la variable aléatoire égale
au nombre d'essais eectués par le rat pour trouver la bonne issue. On envisage trois hypothèses :
H1 le rat n'a aucune mémoire ;
H2 le rat a une mémoire immédiate (il se souvient du résultat de l'essai précédent) ;
H3 le rat a une bonne mémoire (il se souvient des résultats de tous les essais précédents).
Déterminer, sous chacune des hypothèses, la loi de X et calculer E(X).
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