Sujet no 1

Sujet no1
Consignes pour le candidat
⊳La calculatrice est autorisée
⊳Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳La rédaction ne sera pas évaluée
⊳La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
1. Simplifier pour tout x∈R:¡e2x¢×(e−x)2ex
2. Résoudre dans R: 4ex−7=5x=ln(3)
3. Étudier les variations de f(x)=(1−2x)exsur R.f′(x)=−(2x+1)ex
Exercice 2
1.
a. Déterminer les entiers relatifs ntels que n+4|n+17.n+4|13
n+4=−1⇐⇒n=−5, n+4=−13 ⇐⇒n=−17, n+4=1⇐⇒n=−3, n+4=13 ⇐⇒n=9
b. Pour k∈N, démontrer que si un entier naturel ddivise 10k+3 et 6k+1 alors ddivise 4.
2. Pour tout n∈N∗, démontrer que 32n−2nest divisible par 7.
3. Démontrer que :
⊳Si n≡0 (mod 4) alors 2n≡1 (mod 5)
⊳Si n≡1 (mod 4) alors 2n≡2 (mod 5)
⊳Si n≡2 (mod 4) alors 2n≡4 (mod 5)
⊳Si n≡3 (mod 4) alors 2n≡3 (mod 5)
1

Année 2013-2014
Cours 2Terminale S

Sujet no2
Consignes pour le candidat
⊳La calculatrice est autorisée
⊳Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳La rédaction ne sera pas évaluée
⊳La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
fest une fonction définie sur ] −∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ par f(x)=1+1
x+1 x2.
Cest sa représentation graphique et son tableau de variation est donnée ci-dessous :
x−∞ −2 0 +∞
f
1
0,75
+∞ +∞
1
1. Lire dans le tableau de variation les limites de faux bornes de son ensemble de définition.
2. En déduire l’existence de deux asymptotes à C.
3. Avec la calculatrice, représenter Cet son asymptote horizontale Dpuis conjecturer la position de C
par rapport à D.
1
2
−1
1 2 3−1−2−3−4
4. Démontrer cette conjecture. f(x)−1=1
x+1 x2=x+1 x2
x<−1 alors Cest en dessous de D,−1<x<0 ou x>0 alors Cest au dessus de D
Exercice 2
1. Sachant que 1159 =47×24+31, en déduire le quotient qet le reste rde la division euclidienne de :
a. 1159 par 47 ;
b. 1159 par 24 ;1159 =47×24+24+7=48×24 +7
c. −1159 par 24.−1159 =−48×24−7= −49×24 +24−7=−49×24 +17
3

Année 2013-2014
2.
a. La division euclidienne de 523 par un entier naturel non nul ba un quotient égal à 17. Dé-
terminer les valeurs possibles de bet du reste r.523 =17b+ret 0 6r<b06523 −17b<b,
17b6523 <18b,523
17 6b<523 18 ,b=30, r=523−17b=13
b. Soit n∈N∗, effectuer la division euclidienne de apar bpour a=3n2+net b=n+1.Soit n6= 1,
3n2+n=(n+1)(3n−2)+2 avec 0 62<n+1 Si n=1, a=4 et b=2, q=2 et r=0
Cours 4Terminale S

Sujet no3
Consignes pour le candidat
⊳La calculatrice est autorisée
⊳Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳La rédaction ne sera pas évaluée
⊳La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
Soient les fonctions fet Fdéfinies sur ]0 ; +∞[ par : f(x)=ln(x)
xet F(x)=1 2(ln(x))2
1. Démontrer que Fest une primitive de fsur ]0 ; +∞[
2. Trouver la primitive de fsur ]0 ; +∞[ qui s’annule pour x=e. G(x)=1
2(ln(x))2−1 2
3. Déterminer le signe de l’intégrale Z1
0e−x2dxsans la calculer.
Exercice 2
1. Critère de divisibilité par 3 :
a. Soit un entier Ndont l’écriture en base 10 est anan−1an−2...a1a010,∀i∈{0, 1, 2, 3, ...., n−1}:
0≤ai≤9 et an6=0
On a en base 10 :
N=
i=n
X
i=0
ai10i
Montrer que pour tout entier i: 10i≡1 (mod 3)
b. Montrer que :
N≡
i=n
X
i=0
ai(mod 3)
c. En déduire le critère de divisibilité par 3.
2. Reste de la division euclidienne de 2npar 5 :
a. Démontrer que :
⊳Si n≡0 (mod 4) alors 2n≡1 (mod 5)
⊳Si n≡1 (mod 4) alors 2n≡2 (mod 5)
⊳Si n≡2 (mod 4) alors 2n≡4 (mod 5)
⊳Si n≡3 (mod 4) alors 2n≡3 (mod 5)
b. En déduire le reste de la division euclidienne de 21527 par 5 1527 ≡3 (mod 4) d’où r=3
5