Sujet no 1

Sujet no 1
Consignes pour le candidat
⊳ La calculatrice est autorisée
⊳ Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳ La rédaction ne sera pas évaluée
⊳ La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
¡ ¢
1. Simplifier pour tout x ∈ R : e2x × (e−x )2 ex
2. Résoudre dans R : 4ex − 7 = 5 x = ln(3)
3. Étudier les variations de f (x) = (1 − 2x) ex sur R. f ′ (x) = −(2x + 1)ex
Exercice 2
1.
a. Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 4 | n + 17.n + 4 | 13
n + 4 = −1 ⇐⇒ n = −5, n + 4 = −13 ⇐⇒ n = −17, n + 4 = 1 ⇐⇒ n = −3, n + 4 = 13 ⇐⇒ n = 9
b. Pour k ∈ N, démontrer que si un entier naturel d divise 10k + 3 et 6k + 1 alors d divise 4.
2. Pour tout n ∈ N∗ , démontrer que 32n − 2n est divisible par 7.
3. Démontrer que :
⊳ Si n ≡ 0 (mod 4) alors 2n ≡ 1 (mod 5)
⊳ Si n ≡ 1 (mod 4) alors 2n ≡ 2 (mod 5)
⊳ Si n ≡ 2 (mod 4) alors 2n ≡ 4 (mod 5)
⊳ Si n ≡ 3 (mod 4) alors 2n ≡ 3 (mod 5)
1
Année 2013-2014
Cours
2
Terminale S
Sujet no 2
Consignes pour le candidat
⊳ La calculatrice est autorisée
⊳ Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳ La rédaction ne sera pas évaluée
⊳ La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
1
1
+ .
x x2
C est sa représentation graphique et son tableau de variation est donnée ci-dessous :
f est une fonction définie sur ] − ∞ ; 0[∪]0 ; +∞[ par f (x) = 1 +
x
−∞
0
−2
1
+∞
f
+∞
0, 75
+∞
1
1. Lire dans le tableau de variation les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2. En déduire l’existence de deux asymptotes à C .
3. Avec la calculatrice, représenter C et son asymptote horizontale D puis conjecturer la position de C
2
1
−4
−3
−2
1
−1
par rapport à D.
2
3
−1
1
1
x +1
+ 2= 2
x x
x
x < −1 alors C est en dessous de D, −1 < x < 0 ou x > 0 alors C est au dessus de D
4. Démontrer cette conjecture. f (x) − 1 =
Exercice 2
1. Sachant que 1159 = 47 × 24 + 31, en déduire le quotient q et le reste r de la division euclidienne de :
a. 1159 par 47 ;
b. 1159 par 24 ;1159 = 47 × 24 + 24 + 7 = 48 × 24 + 7
c. −1159 par 24.−1159 = −48 × 24 − 7 = −49 × 24 + 24 − 7 = −49 × 24 + 17
3
Année 2013-2014
2.
a. La division euclidienne de 523 par un entier naturel non nul b a un quotient égal à 17. Déterminer les valeurs possibles de b et du reste r .523 = 17b + r et 0 6 r < b 0 6 523 − 17b < b,
523
523
6b<
, b = 30, r = 523 − 17b = 13
17b 6 523 < 18b,
17
18
b. Soit n ∈ N∗ , effectuer la division euclidienne de a par b pour a = 3n 2 + n et b = n + 1.Soit n 6= 1,
3n 2 + n = (n + 1)(3n − 2) + 2 avec 0 6 2 < n + 1 Si n = 1, a = 4 et b = 2, q = 2 et r = 0
Cours
4
Terminale S
Sujet no 3
Consignes pour le candidat
⊳ La calculatrice est autorisée
⊳ Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳ La rédaction ne sera pas évaluée
⊳ La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
Soient les fonctions f et F définies sur ]0 ; +∞[ par : f (x) =
ln(x)
1
et F (x) = (ln(x))2
x
2
1. Démontrer que F est une primitive de f sur ]0 ; +∞[
1
1
2. Trouver la primitive de f sur ]0 ; +∞[ qui s’annule pour x = e. G(x) = (ln(x))2 −
2
2
Z1
2
e−x dx sans la calculer.
3. Déterminer le signe de l’intégrale
0
Exercice 2
1. Critère de divisibilité par 3 :
a. Soit un entier N dont l’écriture en base 10 est a n a n−1 a n−2 ...a 1 a 0 10 , ∀i ∈ {0, 1, 2, 3, ...., n − 1} :
0 ≤ a i ≤ 9 et a n 6= 0
On a en base 10 :
N=
iX
=n
a i 10i
i =0
i
Montrer que pour tout entier i : 10 ≡ 1 (mod 3)
b. Montrer que :
N≡
iX
=n
ai
(mod 3)
i =0
c. En déduire le critère de divisibilité par 3.
2. Reste de la division euclidienne de 2n par 5 :
a. Démontrer que :
⊳ Si n ≡ 0 (mod 4) alors 2n ≡ 1 (mod 5)
⊳ Si n ≡ 1 (mod 4) alors 2n ≡ 2 (mod 5)
⊳ Si n ≡ 2 (mod 4) alors 2n ≡ 4 (mod 5)
⊳ Si n ≡ 3 (mod 4) alors 2n ≡ 3 (mod 5)
b. En déduire le reste de la division euclidienne de 21527 par 5 1527 ≡ 3 (mod 4) d’où r = 3
5
Année 2013-2014
Cours
6
Terminale S
Sujet no 4
Consignes pour le candidat
⊳ La calculatrice est autorisée
⊳ Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳ La rédaction ne sera pas évaluée
⊳ La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
1. Étudier les variations de la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f (x) = ln(x) + x. f ′ (x) = 1 +
1
>0
x
2. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = x 3 − 6x 2 + 6.
a. Étudier les variations de f sur R puis dresser le tableau de variation de f sur R f ′ (x) = 3x 2 −12x =
3x (x − 4)
x
0
−∞
4
6
+∞
f
−∞
+∞
−26
b. Démontrer que l’équation f (x) = 0 admet exactement deux solutions dans l’intervalle ]−∞ ; 4].
Exercice 2
1.
a. En utilisant l’algorithme d’Euclide, montrer que 99 et 56 sont premiers entre eux
1
99 56
43 13
PGC D(99,
1
3
43 13
4
1
56) = 1
3
4
0
4
1
Quotients
Diviseurs
Restes
b. En déduire une couple de coefficients de Bézout de 99 et 56113 − 3 × 4 = 13 − 3 (43 − 3 × 13) =
10 × 13 − 3 × 43 = 10 (56 − 43) − 3 × 43 = 10 × 56 − 13 × 43 = 10 × 56 − 13 (99 − 56)
−13 × 99 + 23 × 56 = 1
2. Soit n ∈ N. En utilisant l’identité de Bézout, montrer que 2n+1 et 3n+2 sont premiers entre eux.−3 (2n + 1)+
2 (3n + 2) = 1
7
Année 2013-2014
Cours
8
Terminale S
Sujet no 5
Consignes pour le candidat
⊳ La calculatrice est autorisée
⊳ Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳ La rédaction ne sera pas évaluée
⊳ La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
On considère deux événements A et B liés à une expérience aléatoire modélisé par l’arbre ci-dessous :
0, 7
B
b
A
0, 8
b
B
b
b
0, 5
B
b
A
b
B
1. Indiquer la signification des nombres 0, 8 ; 0, 7 et 0, 5.
b
2. Compléter l’arbre précédent avec les probabilités manquantes.
3. Déterminer la probabilité de l’événement B .p (B ) = 0, 7 × 0, 8 + 0, 2 × 0, 5 = 0, 66
Exercice 2
µ
1
1
¶
Soit la suite de matrices colonnes (Un ) définies par U0 =
et par la relation de récurrence
µ
¶
0, 3 −0, 1
Un+1 = AUn avec A =
0, 2 0
¶
µ n+1
2
− 1 1 − 2n
n
n
. En déduire l’expression de Un en fonction de n.Récurrence
1. Montrer que A = 0, 1
2n+1 − 2 2 − 2n
£ ¤
a i j = A n+1
¡
¢
¡
¡
¢
¢
a 11 = 0, 1n 0, 3 2n+1 − 1 + 0, 2 (1 − 2n ) = 0, 1n (0, 6 × 2n − 0, 2 × 2n − 0, 1) = 0, 1n 0, 1 × 2n+2 − 0, 1
¶µ
¶
µ n+1
¶ µ
¶
µ n+1
1
2
− 1 1 − 2n
0, 2n
2
− 1 1 − 2n
n
n
n
=
= 0, 1
u n = A ×U0 = 0, 1
2n+1 − 2 2 − 2n
1
0, 2n
2n+1 − 2 2 − 2n
µ
¶
0
2. La suite (Un ) est-elle convergente. lim Un =
n→+∞
0
9
Année 2013-2014
Cours
10
Terminale S
Sujet no 6
Consignes pour le candidat
⊳ La calculatrice est autorisée
⊳ Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳ La rédaction ne sera pas évaluée
⊳ La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
La durée d’attente, en minutes, au départ d’une remontée mécanique dans une station de ski est une
variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0, 05.
1. Calculer en minutes, le temps d’attente moyen au départ de cette remontée mécanique.(T ) = 20
2. Calculer, à 10−2 près, la probabilité d’attendre au départ de cette remontée mécanique entre 10 et 30
minutes.p (20 6 T 6 30) = e−10λ − e−30λ ≈ 0, 38
3. Un skieur arrive à la remontée mécanique. Un panneau indique que le temps d’attente est d’au moins
p (20 6 T 6 30)
=
10 minutes. Calculer à 10−2 près la probabilité qu’il soit inférieur à 30 minutes.p T >10 (T 6 30) =
p (T > 10)
e−10λ − e−30λ
= 1 − e−20λ ≈ 0, 63
e−10λ
Exercice 2
Un couple part en voyage chaque année. S’il est resté en France une année donnée, la probabilité que
ce couple voyage à l’étranger l’année suivante est 0, 4. Dans le cas contraire, la probabilité qu’il voyage à
nouveau à l’étranger est 0, 7. En 2012, ce couple est allé à l’étranger.
1. Représenter cette marche aléatoire à l’aide d’un graphe.
2. Écrire la matrice de transition M de cette marche aléatoire.M =
µ
0, 6
0, 3
0, 4
0, 7
¶
3. Quelle est la probabilité que ce couple parte à l’étranger en 2017 ?u 5 = u 0 × M 5 =
¡
¢
0, 43 0, 57
11
¡
0 1
¢
× M5 ≈
Année 2013-2014
Cours
12
Terminale S
Sujet no 7
Consignes pour le candidat
⊳ La calculatrice est autorisée
⊳ Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳ La rédaction ne sera pas évaluée
⊳ La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
Un candidat sert des repas en nombre très important. Soit X la variable aléatoire qui donne le poids en
grammes des rations de viande. On suppose que X suit la loi normale N (120 , 225). Les probabilités seront
arrondies au millième.
1. Quel est le poids moyen d’une ration de viande. Le poids moyen est de 120 g
2. Quelle est la probabilité pour que le poids d’une ration de viande soit compris entre 110 g et 135 g ?
p
σ = 225 = 15 p (110 < X < 135) ≈ 0, 589
3. Le 19 septembre, la cantine a servi 850 repas. À combien peut-on évaluer le nombre de rations de
viande dont le poids dépassait 130 g ? p (X > 130) ≈ 0, 252, le nombre de repas est de 850×0, 252 ≈ 214
Exercice 2
Un coucou annonce l’heure en sortant de sa maison. Celui ci, un peu vieillissant est capricieux :
⊳ S’il est sorti de sa maison à l’heure exacte, il sort une heure plus tard avec la probabilité 0, 9 ;
⊳ S’il n’est pas sorti à l’heure exacte, il sort une heure plus tard avec la probabilité 0, 8.
Ces probabilités sont indépendantes de l’heure.
À huit heures, le coucou a chanté. On note S l’état « le coucou est sorti »et N l’état « le coucou n’est pas
sorti ».
1. Représenter cette marche aléatoire à l’aide d’un graphe.
2. Écrire la matrice de transition de cette marche aléatoire, les états étant dans l’ordre S, N.M =
3. Quelle est la probabilité, à 10−3 près, que le coucou chante à midi.u 4 = u 0 × M 4 =
¡
¢
0,743 0, 253
13
¡
0, 9 0, 1
0, 2 0, 8
µ
1 0
¢
× M4 ≈
¶
Année 2013-2014
Cours
14
Terminale S
Sujet no 8
Consignes pour le candidat
⊳ La calculatrice est autorisée
⊳ Pendant la préparation, il est souhaitable d’aborder toutes les questions
⊳ La rédaction ne sera pas évaluée
⊳ La pertinence des réponses et l’évaluation des connaissances lors du questionnement oral seront pris en
compte
Exercice 1
On considère qu’une machine à former des pilules fonctionne de façon satisfaisante si le pourcentage
de pilules défectueuses est de 1 pour 1000. Sur un échantillon de 10 000 pilules, on a trouvé 15 pilules défectueuses. On veut savoir si la machine est bien réglée.
1. Les conditions d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont elles
remplies ?
2. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 de la fréquence
de pilules défectueuses dans les échantillons de taille 10 000, prélevés au hasard et avec remise. Arrondir au millième.
3. Énoncer la règle de décision permettant d’accepter ou non l’hypothèse p = 0, 001 au seuil de risque 5
%. Conclure.
Exercice 1
On considère qu’une machine à former des pilules fonctionne de façon satisfaisante si le pourcentage
de pilules défectueuses est de 1 pour 1000. Sur un échantillon de 10 000 pilules, on a trouvé 15 pilules défectueuses. On veut savoir si la machine est bien réglée.
1. Les conditions d’utilisation d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % sont elles
¡
¢
remplies ?n = 10000 > 30, np = 10 > 5 et n 1 − p = 9990 > 5
2. Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 de la fréquence
de pilules défectueuses dans les échantillons de taille 10 000, prélevés au hasard et avec remise. Arrondir au millième.Un intervalle est [0, 0004 ; 0, 0016]
3. Énoncer la règle de décision permettant d’accepter ou non l’hypothèse p = 0, 001 au seuil de risque 5
%. Conclure.Soit f la fréquence observée des pilules défectueuses dans un échantillon de taille 10000 :
⊳ Si f ∈ I : on accepte l’hypothèse p = 0, 001
⊳ Si f 6∈ I : on rejette l’hypothèse p = 0, 001 au seuil de risque 5 %
f = 0, 0015 ∈ I la machine est bien réglée
15
Année 2013-2014
Exercice 2
Afin d’être performant lors d’une grande compétition, Christophe, champion d’athlétisme spécialiste du sprint,
s’entraîne chaque jour de l’année et réalise quotidiennement une course à pleine vitesse sur 100 mètres en tentant de
courir en moins de 10 secondes. On constate que :
•
S’il réalise moins de 10 secondes sur 100 mètres un jour, la probabilité qu’il réalise moins de 10 secondes sur
100 mètres le lendemain est égale à 0, 75.
•
S’il ne réalise pas moins de 10 secondes sur 100 mètres un jour, la probabilité qu’il réalise moins de 10 secondes
sur 100 mètres le lendemain est égale à 0, 5.
Le premier jour de l’année, Christophe n’a pas réussi à réaliser moins de 10 secondes sur sa course à pleine vitesse.
Soit n un entier naturel non nul. On note : an , la probabilité que Christophe réalise moins de 10 secondes le n-ième
jour, b n , la probabilité que Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes le n-ième jour.
P n = (an b n ), la matrice ligne traduisant l’état probabiliste le n-ième jour.
¡
¢
1. Écrire la matrice ligne P 1 de l’état probabiliste initial. P 1 = 0 1
2. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (A représentant l’état « Christophe réalise
moins de 10 secondes au 100 mètres », B représentant l’état « Christophe ne réalise pas moins de 10 secondes
au 100 mètres »).
¶
µ
0, 75 0, 25
3. Écrire la matrice de transition M de ce graphe en considérant les états dans l’ordre alphabétique.M =
0, 5
0, 5
4. Déterminer
la matrice
ligne P 3 . Comment peut-on interpréter ce résultat pour Christophe ? P 3 = P 1 × M 2 =
¡
¢
0, 625 0, 375
Cours
16
Terminale S