Analyse I pour Ingénieurs - Exercices 2006-2007

Analyse I pour Ing´enieurs - Exercices 2006-2007
Joachim STUBBE
20 octobre 2006

Chapitre 1
Nombres
1.1 Exercices
1. Axiomes. En utilisant les axiomes alg´ebriques d’un corps Kmontrez
l’´el´ement neutre de l’addition 0 est unique.
2. Axiomes. En utilisant les axiomes alg´ebriques pour les nombres r´eels
montrez que pour tout x∈Rona:0·x= 0 et (−1) ·x=−x. En d´eduire
que (−1) ·(−1) = 1.
3. Axiomes. En utilisant les axiomes d’ordre pour les nombres r´eels et le
r´esultat de l’exercice 2 montrez que pour tout x6= 0 on a : x2:= x·x > 0,
i.e. le carr´e d’un nombre r´eel nonz´ero est positif.
4. La progression g´eom´etrique. Montrez que pour tout x, y ∈Ret tout
entier positif n:
xn−yn= (x−y)·
n−1
X
k=0
xn−k−1yk
En d´eduire que la somme d’une progression g´eom´etrique, `a savoir pour
tout r´eel a6= 1 et tout entier positif n:
n
X
k=0
ak=1−an+1
1−a.
5. Montrez que pour 20002000 −1 est divisible par 1999.
6. In´egalit´e de Young. Montrer que pour tout entier positif net tout
a, b > 0 :
b(bn−an)−nan(b−a)≥0.
En d´eduire pour tout x, y > 0l’in´egalit´e de Young :
xy ≤xn+1
n+ 1 +ny n+1
n
n+ 1 .
2

CHAPITRE 1. NOMBRES 3
7. Une progression arithm´etrique. Montrez que pour tout entier positif
n:n
X
k=1
k=n(n+ 1)
2.
8. La somme de carr´es d’entiers. Montrez que pour tout entier positif
n:n
X
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
En d´eduire la somme suivante :
1000
X
k=0
(k+ 1)(3k+ 2).
9. La somme altern´ee de carr´es d’entiers. Montrer par r´ecurrence que
pour tout n∈N
n
X
k=0
(−1)n−kk2=n(n+ 1)
2
10. Une in´egalit´e pour le factoriel. Montrez qu’il existe n0∈Ntel que
pour tout n > n0:
n!>2n.
Donner le plus petit n0possible.
11. La somme de cubes d’entiers. Pour tout entier positif ndonner
n
X
k=1
k3
Id´ee : Appliquer l’identit´e
n
X
k=1
ak=
n
X
k=1
an+1−k
et les r´esultats des exercices 7 et 8.
12. La formule de binˆome de Newton. Soient k, n des entiers tels que
0≤k≤n. On d´efinit le coefficient binomial Ck
npar
Ck
n=n
k=n!
k!(n−k)!.
V´erifiez que pour tout n≥k≥1 :

CHAPITRE 1. NOMBRES 4
n+ 1
k=n k−1+n k.
Montrez que pour tout x, y ∈Ret tout entier positif nla formule de
binˆome de Newton :
(x+y)n=
n
X
k=0 n
kxkyn−k.
(a) Constater que pour tout entier n > 1 :
2n=
n
X
k=0 n
k
(b) Montrez que pour tout entier n > 1, l’´equation an+bn=cnn’admet
aucune solution pour a, b, c ∈Navec 0 < a, b < n.
13. Sommes t´el´escopiques I.
Soit f:N→Rune fonction d´efinie pour tout entier naturel n. Montrer
par r´ecurrence la somme t´el´escopique
f(n+ 1) −f(0) =
n
X
k=0 f(k+ 1) −f(k)
pour tout n∈N.
(a) En posant f(n) = anpour un a∈R,a6= 1 d´emontrer ainsi la formule
pour la progression g´eom´etrique (voir l’exercice 4)
(b) Poser f(n) = n2et en d´eduire la formule pour la progression arithm´etique
(voir l’exercice 7)
(c) Trouver une formule pour
n
X
k=0
kak.
14. Sommes t´el´escopiques II. En posant f(n) = sin((n+a)x) avec a, x ∈R
choisir aconvenablement et donner pour tout x∈Rla somme trigo-
nom´etrique n
X
k=0
cos kx.
15. L’in´egalit´e de Bernoulli. Montrez que pour tout x∈R+et tout entier
positif nl’in´egalit´e de Bernoulli :
(1 + x)n≥1 + nx.

CHAPITRE 1. NOMBRES 5
16. L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz I. Soient x1, . . . , xn∈Ret y1, . . . , ynR.
Montrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, `a savoir
n
X
k=1
xkyk2 ≤
n
X
k=1
x2
k
n
X
k=1
y2
k.
En d´eduire que
n
X
k=1
xk2 ≤n
n
X
k=1
x2
k.
Id´ee : Pour montrer l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz noter que
n
X
k=1
xkyk2 =
n
X
k=1
n
X
l=1
xkykxlyl
et ´ecrire xkykxlylcomme somme et diff´erence des carr´es pour conclure.
17. L’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz II *. Montrer l’in´egalit´e de Cauchy-
Schwarz, `a savoir
n
X
k=1
xkyk2 ≤
n
X
k=1
x2
k
n
X
k=1
y2
k.
par r´ecurrence.
18. L’in´egalit´e des moyens g´eom´etriques et arithm´etiques I*.Soient
x1, . . . , xn∈R+dont le produit vaut 1. Montrer que
n≤
n
X
k=1
xk.
19. L’in´egalit´e des moyens g´eom´etriques et arithm´etiques II*. Soient
a1>0, . . . , an>0. Montrer que leur moyenne g´eom´etrique, est inf´erieure
`a leur moyenne arithm´etique. Autrement dit,
n
Y
k=1
ak1/n ≤1
n
n
X
k=1
ak.
20. Un produit fini. Montrez que pour tout entier positif n:
n
Y
k=1 1 + 1
kk=(n+ 1)n n!.
21. Nombres rationnels et irrationels*
(a) Montrer qu’entre deus irrationnels distincts, il y a une infinit´e de
rationnels.
(b) Montrer qu’entre deus rationnels distincts, il y a une infinit´e d’irra-
tionnels.