Chapitre 1 Notions de base : Nombres, Structures et Fonctions

Chapitre 1
Notions de base : Nombres,
Structures et Fonctions
1.1 Exercices
1. Ensembles.
(a) Soit E={a, b, c}. Donner P(E).
(b) Soit Eun ensemble fini tel que card(E) = n. Donner card(P(E)).
2. Ensembles et Fonctions. Soit f:E→Fune fonction et A, B ⊂E.
Montrer que
(a) f[A∩B]⊂f[A]∩f[B],
(b) f[A∪B] = f[A]∪f[B].
Donner un exemple o`u f[A∩B]̸=f[A]∩f[B].
3. Le cardinal. Soit E, F des ensembles finis. Montrer que
(a) card(E)+card(F) = card(E∪F)+card(E∩F) (principe d’exclusion-
inclusion)
(b) card(E×F) = card(E)·card(F).
4. Axiomes. En utilisant les axiomes alg´ebriques d’un corps K, montrer que
l’´el´ement neutre de l’addition 0 est unique.
5. Axiomes. En utilisant les axiomes alg´ebriques pour les nombres r´eels,
montrer que pour tout x∈Ron a : 0 ·x= 0 et (−1) ·x=−x. En d´eduire
que (−1) ·(−1) = 1.
6. Axiomes. En utilisant les axiomes d’ordre pour les nombres r´eels et le
r´esultat de l’exercice 5, montrer que pour tout x̸= 0 on a : x2:= x·x > 0,
i.e. le carr´e d’un nombre r´eel nonz´ero est positif.
7. Axiomes. Soit a, b ∈R, a ̸= 0. Montrer que l’´equation ax +b= 0 admet
l’unique solution x=−b
a.
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CHAPITRE 1. NOTIONS DE BASE : NOMBRES, STRUCTURES ET FONCTIONS3
8. Axiomes. Soit K√2={(a, b) := a+b√2 : a, b ∈Q}. Montrer que
K√2(+,·) est un corps o`u
(a1, b1)+(a2, b2) = (a1+a2, b1+b2),(a1, b1)·(a2, b2) = (a1·a2+2b1·b2, a2b1+a1b2).
9. D´eveloppement d´ecimal. Montrer qu’un nombre r´eel est rationnel si et
seulement si son d´eveloppement d´ecimal est p´eriodique.
10. Relation d’´equivalence. On rappelle la relation d’´equivalence dans Z×
Z\{0}qui d´efinit l’ensemble Qdes rationnels : p
q∼p′ q′si pq′=p′q. Soit
a, a′, c, c′∈Zet b, b′, d, d′∈Z∗tels que a
b∼a′ b′et c d∼c′ d′. Montrer que
(a) a
b+c d∼a′ b′+c′ d′
(b) a
b·c d∼a′ b′·c′ d′
11. Nombres premiers I. Montrer que tout nombre naturel n > 1 s’´ecrit de
mani`ere unique comme produit de nombres premiers :
n=
m
i=1
pki
i, p1< p2<··· < pm, ki∈N∗
Id´ee : raisonner par r´ecurrence pour prouver l’existence de la d´ecomposition
en nombre premiers. Pour l’unicit´e, utiliser le lemme d’Euclide qui dit que
si un nombre premier pdivise un produit d’entiers ab, alors il divise aou
il divise b.
12. Nombres premiers II. Montrer qu’il existe une infinit´e de nombres pre-
miers.
13. Calcul des fonctions compos´ees. Pour les deux fonctions f, g :R→R
d´efinies respectivement par
f(x) = x+ 3 si x≥0,
x2si x < 0
et
g(x) = 2x+ 1 si x≥3,
xsi x < 3,
calculer g◦fet f◦g.
14. Propri´et´es des fonctions I. Montrer que la fonction f:N×N→N∗
d´efinie par
f(m, n) = 2m(2n+ 1)
est bijective.
En d´eduire une bijection entre N×Net Net entre N×N∗et N.
15. Propri´et´es des fonctions II. Soit une fonction bijective g:N→Q+
telle que g(0) = 0. Montrer que gn’est pas croissante.

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16. Propri´et´es des fonctions III. Montrer que la fonction f:N→Zd´efinie
par
f(n) = n
2si nest pair,
−n+1
2si nest impair
est bijective. Donner f−1.
17. Propri´et´es des fonctions IV*. Montrer que la fonction f:N×N→N
d´efinie par
f(m, n) = (m+n)(m+n+ 1)
2+m
est bijective.
18. Fonctions des ensembles I. Soit A⊂Ret χAsa fonction indicatrice
(voir cours). On note Ac=R\Ale compl´ementaire de A. V´erifier que
χAc(x) = 1 −χA(x).
Soit A, B ⊂R. V´erifier que
χA(x)·χB(x) = χA∩B(x)
et
χA(x) + χB(x) = χA∪B(x) + χA∩B(x).
Conclure que
1−χA(x)1−χB(x)= 1 −χA∪B(x).
Interpr´eter cette identit´e.
19. Fonctions des ensembles II - principe d’exclusion-inclusion. Soit
A1, . . . , An⊂R. Montrer par r´ecurrence que
1−χA1∪...∪An(x) =
n
k=1 1−χAk(x)
20. La progression g´eom´etrique. Montrer que pour tout x, y ∈Ret tout
entier positif n:
xn−yn= (x−y)·
n−1
k=0
xn−k−1yk
En d´eduire la somme d’une progression g´eom´etrique, `a savoir pour tout
r´eel a̸= 1 et tout entier positif n:
n
k=0
ak=1−an+1
1−a.
21. Montrer que 12341234 −1 est divisible par 1233.

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22. In´egalit´e de Young. Montrer que pour tout entier positif net tout
a, b > 0 :
b(bn−an)−nan(b−a)≥0.
En d´eduire l’in´egalit´e de Young pour tout x, y > 0 :
xy ≤xn+1
n+ 1 +ny n+1
n
n+ 1 .
23. Une progression arithm´etique. Montrer que pour tout entier positif
n:n
k=1
k=n(n+ 1)
2.
24. La somme de carr´es d’entiers. Montrer que pour tout entier positif
n:n
k=1
k2=n(n+ 1)(2n+ 1)
6.
En d´eduire la somme suivante :
1000
k=0
(k+ 1)(2k+ 3).
25. La somme altern´ee de carr´es d’entiers. Montrer par r´ecurrence que
pour tout n∈Nn
k=0
(−1)n−kk2=n(n+ 1)
2
26. Une in´egalit´e pour la factorielle. Montrer qu’il existe n0∈Ntel que
pour tout n > n0:
n!>2n.
Donner le plus petit n0possible.
27. La somme de cubes d’entiers. Pour tout entier positif n, donner
n
k=1
k3
Id´ee : appliquer l’identit´e
n
k=1
ak=
n
k=1
an+1−k
et les r´esultats des exercices 23 et 24.

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28. La formule du binˆome de Newton. Soit k, n des entiers tels que 0 ≤
k≤n. On d´efinit le coefficient binomial Ck
npar
Ck
n=n
k=n!
k!(n−k)!.
V´erifier que pour tout n≥k≥1 :
n+ 1
k=n k−1+n k.
Montrer la formule du binˆome de Newton pour tout x, y ∈Ret tout entier
positif n:
(x+y)n=
n
k=0 n
kxkyn−k.
(a) Constater que pour tout entier n > 1 :
2n=
n
k=0 n
k
(b) Montrer que pour tout entier n > 1, l’´equation an+bn=cnn’admet
aucune solution pour a, b, c ∈Navec 0 < a, b < n.
29. Sommes t´el´escopiques I.
Soit f:N→Rune fonction d´efinie pour tout entier naturel n. Montrer
par r´ecurrence la somme t´el´escopique
f(n+ 1) −f(0) =
n
k=0 f(k+ 1) −f(k)
pour tout n∈N.
(a) En posant f(n) = anpour un a∈R,a̸= 1, d´emontrer ainsi la
formule pour la progression g´eom´etrique (voir exercice 20).
(b) Poser f(n) = n2et en d´eduire la formule pour la progression arithm´etique
(voir exercice 23).
(c) Trouver une formule pour
n
k=0
kak.
30. Sommes t´el´escopiques II. En posant f(n) = sin((n+a)x) avec a, x ∈R,
choisir aconvenablement et donner pour tout x∈Rla somme trigo-
nom´etrique n
k=0
cos kx.