Etude de la convergence des séries de Fourier

Etude de la convergence des séries de Fourier
Lise Monnier
Marie Fouré
1
Lamine Sokhna
Table des matières
1 Introduction
3
2 Définition des séries de Fourier
2.1 Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . .
2.3 Coefficients de Fourier des fonctions paires
2.4 Types de convergence . . . . . . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
et impaires
. . . . . . .
3 La convergence uniforme
3.1 L’espace ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . .
3.3 Démonstration du théorème de Dirichlet . . .
3.3.1 Prérequis . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Démonstration de i) et ii) du théorème
3.3.3 Démonstration de iii) . . . . . . . . .
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(1) .
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3
3
3
5
6
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7
7
7
7
7
8
10
4 Application : Phénomène de Gibbs
11
5 Bibliographie
13
2
1
Introduction
Une des questions centrales est celle du comportement de la série de Fourier d’une fonction
et en cas de convergence de l’égalité de sa somme avec la fonction initialement considérée, ceci
dans le but de pouvoir remplacer l’étude de la fonction elle-même par celle de sa série de Fourier,
qui autorise des opérations analytiques aisément manipulables. Mais, sous quelles hypothèses
peut-on étudier la série de Fourier d’une fonction plutôt qu’elle-même ?
2
Définition des séries de Fourier
2.1
Série de Fourier
Etant donnée une fonction f de R vers C, 2π-périodique, intégrable (au sens de Riemann) sur
tout intervalle borné, on souhaiterait trouver des coefficients (cn , n ∈ Z) tels que f se développe
en :
X
cn einx
(1)
f (x) =
n∈Z
ou, ce qui revient au même, trouver des coefficients (an , n ∈ N) et (bn , n ∈ N∗ ) tels que f se
développe en la série trigonométrique :
f (x) = a0 +
+∞
X
(an cos(nx) + bn sin(nx)).
(2)
n=1
En 1807, le mathématicien Joseph Fourier propose de prendre cn égal à
Z 2π
1
f (t)e−int dt.
cn =
2π 0
La série de fonctions définie par (1) et (2) est appelée série de Fourier associée à f .
2.2
Coefficients de Fourier
Définition 1. Soit f : R −→ R une fonction 2π-périodique et intégrable sur tout segment de R.
Alors :
• Les coefficients de Fourier de f sont :
Z 2π
1
f (x) dx,
a0 =
2π 0
Z
1 2π
an =
f (x) cos(nx) dx,
π 0
Z
1 2π
f (x) sin(nx) dx.
bn =
π 0
• La série de Fourier de f est la série trigonométrique :
S(f ) =
+∞
X
an cos(nx) + bn sin(nx)
n=0
avec an , bn définis comme précédemment.
3
(3)
Remarque. Il n’est pas évident que S(f ) converge et même si c’est le cas, il n’est pas évident
que la somme soit f !
Exemple 1. Soit f une fonction 2π-périodique sur R, donnée par : f (x) = x, sur [0, 2π[.
On a :
1
a0 =
2π
2π
Z
1 x2
x dx =
2π 2
0
2π
= π,
0
pour n ≥ 1,
1
bn =
2π
0
2π
Z
0
!
2π Z 2π
sin(nx)
cos(nx)
x
dx = 0,
+
n
n
0
0
2π
Z
1
an =
π
1
x cos(nx) dx =
π
1
x sin(nx) dx =
2π
cos(nx)
−x
n
2π
Z
+
0
0
2π
!
cos(nx)
1 −2π
−2
dx =
=
.
n
π
n
n
Ainsi,
S(f ) = π − 2
+∞
X
sin(nx)
.
n
n=1
Dans cet exemple, on voit que S(f )(x) 6= f (x) pour x = 0 et x = 2π.
Lemme 1. Si f est une fonction 2π-périodique sur R et intégrable sur tout segment de R, alors
les coefficients de Fourier de f sont :
Z α+2π
1
f (x) dx,
2π α
Z
1 α+2π
an =
f (x) cos(nx) dx,
π α
Z
1 α+2π
bn =
f (x) sin(nx) dx.
π α
a0 =
Autrement dit, on peut intégrer sur tout intervalle de longueur 2π !
Démonstration. On fait le cas an :
an =
=
=
2π
1
π
Z
1
π
Z
1
π
Z
f (x) cos(nx) dx
0
α
Z
α+2π
f (x) cos(nx) dx +
Z
α
0
α+2π
2π
f (x) cos(nx) dx +
α+2π
f (x) cos(nx) dx
α
4
f (x) cos(nx) dx
car :
Z
2π
Z
0
f (x) cos(nx) dx =
α+2π
f (x) cos(nx) dx
α
Z
=−
π
f (x) cos(nx) dx.
0
2.3
Coefficients de Fourier des fonctions paires et impaires
Pour les fonctions paires et impaires, les coefficients de Fourier sont remarquables.
−→ Soit f , fonction 2π-périodique, paire (f (x) = f (−x), ∀x ∈ R).
Dans ce cas, on choisit l’intervalle [−π, π] pour calculer les coefficients de Fourier :
Z π
Z
1
1 π
a0 =
f (x) dx =
f (x) dx,
2π −π
π 0
Z
Z
1 π
2 π
an =
f (x) cos(nx) dx =
f (x) cos(nx) dx,
π −π
π 0
Z
1 π
bn =
f (x) sin(nx) dx = 0.
π −π
Ainsi, pour f paire,
S(f ) =
+∞
X
an cos(nx).
n=0
−→ Soit f , fonction 2π-périodique, impaire (f (x) = −f (−x), ∀x ∈ R).
Dans ce cas,
an = 0, ∀n ≥ 0,
Z
2 π
f (x) sin(nx) dx,
bn =
π 0
d’où
S(f ) =
+∞
X
bn sin(nx).
n=1
Exemple 2. Trouvons la série de Fourier de f donnée par f (x) = x sur [−π, π[. f est impaire,
donc an = 0, ∀n ≥ 0 :
5
bn =
=
=
=
Z
2 π
x sin(nx) dx
π 0
π Z π
2
cos(nx)
cos(nx)
−x
+
dx
π
n
n
0
0
2
cos(nπ
−π
π
n
2
(−1)n+1 .
n
Donc
S(f ) = 2
2.4
+∞
X
(−1)n+1
sin(nx).
n
n=1
Types de convergence
Plusieurs types de convergence peuvent être considérés , par exemple :
• la convergence ponctuelle (ou simple), (Lejeune Dirichlet, 1824) :
lim SN f (x) − f (x) = 0,
N →+∞
∀x ∈ [−π, π]
• la convergence uniforme :
lim
sup
N →+∞ x∈[−π,π]
|SN f (x) − f (x)| = 0
• la convergence en norme dans Lp :
Z π
lim
|SN f (x) − f (x)|p dx = 0
N →+∞
−π
• la convergence presque partout (Lennart Carleson, 1964).
Chacune de ces notions de convergence requiert des hypothèses différentes sur la fonction f ,
ainsi que différents types de preuves, dont certaines nécessitent des notions d’analyse fonctionnelle avancée. Dans cet exposé, nous allons nous concentrer sur l’une des ces convergences : la
convergence uniforme.
6
3
La convergence uniforme
3.1
L’espace ξ
On considère l’espace ξ des fonctions f : R → R qui sont :
• 2π-périodiques,
• continues par morceaux sur [−π, π] (ie : continues sauf en un nombre fini de points de
[−π, π], points en lesquels ces fonctions admettent une limite à droite, f (x+ ), et une limite
à gauche, f (x− ) finies),
• f 0 est continue par morceaux sur [−π, π].
Exemple 3.
(
f (x) =
si − π ≤ x < 0
si 0 ≤ x ≤ π
0
π−x
y
x
f est continue par morceaux.
3.2
Théorème de Dirichlet
Théorème 1. Soit f ∈ ξ. Alors, la série de Fourier S(f ) de f :
i) converge vers f en tout point de continuité de f (S(f )(x) = f (x) si f est continue en x),
ii) converge vers
f (x+ )+f (x− )
2
en tout point de discontinuité,
iii) la convergence est uniforme sur tout segment [a, b] ne contenant pas de point de discontinuité.
3.3
3.3.1
Démonstration du théorème de Dirichlet
Prérequis
Lemme 2 (Riemann-Lebesgue).
Si f est intégrable sur [a, b], alors :
b
Z
f (x)cos(tx)dx = 0,
lim
t→∞
a
Z
t→∞
b
f (x)sin(tx)dx = 0.
lim
a
7
3.3.2
Démonstration de i) et ii) du théorème (1)
Soit f ∈ ξ. Sa série de Fourier est :
S(f ) =
∞
X
an cos(nx) + bn sin(nx)
0
avec
Z π
1
f (t) dt,
2π −π
Z
1 π
an =
f (t)cos(nt) dt,
π −π
Z
1 π
bn =
f (t)sin(nt) dt.
π −π
a0 =
On veut montrer que S(f )(x) →
f (x+ )+f (x− )
2
, ce qui équivaut à :
f (x+ ) + f (x− ) lim Sn (x) −
=0
n→∞ 2
où Sn (x) sont les sommes partielles de S(f ).
Remarque.
• Si f continue en x, alors f (x+ ) = f (x− ) = f (x) d’où
démontrer i) et ii) dans le même temps.
f (x+ )+f (x− )
2
= f (x) Ainsi, on peut
• Sn (x) est la nième somme partielle de S(f ). Alors,
Z π
1
Sn (x) =
f (t) [1 + 2cos(x − t) + . . . + 2cos n(x − t)] dt.
2π −π
(Rappel : cos k(x − t) = cos(kx)cos(kt) + sin(kx)sin(kt)).
Définition 2. On appelle Dn (u) =
1
2π (1
+ 2cos(u) + . . . + 2cos(nu)) le Noyau de Dirichlet.
Donc,
Z
π
f (t)D(x − t) dt.
Sn (x) =
−π
Propriétés. de Dn (u)
Rπ
• −π Dn (u) du = 1
• Dn (u) =
1
1 sin[(n+ 2 )u]
2π
sin( u
2)
• Dn (u) est une fonction paire et C ∞ .
8
(4)
Maintenant, on peut écrire (4) comme :
Z π
Sn (x) =
f (t)Dn (x − t) dt
−π
x−π
Z
f (x − u)Dn (u) (−du)
=
(5)
x+π
Z π+x
f (x − u)Dn (u) du
=
−π+x
π
Z
f (x − u)Dn (u) du
=
−π
Z π
(6)
Z
0
f (x − t)Dn (t) dt +
=
Z
f (x − t)Dn (t) dt
−π
Z π
0
π
f (x − t)Dn (t) dt +
=
f (x + t)Dn (t) dt.
0
0
En (5), on effectue le changement de variable : u = x − t ⇒ t = x − u, du = −dt.
L’égalité (6) est vraie car f Dn est 2π-périodique donc on peut intégrer sur n’importe quel intervalle.
Puisque
Z π
Z
1 π
1
Dn (t) dt =
Dn (t) dt = ,
2
2
0
−π
on a :
Z π
Z π
f (x+ ) + f (x− )
Sn (x) −
=
[f (x − t) − f (x− )]Dn (t) dt +
[f (x + t) − f (x+ )]Dn (t) dt.
2
0
0
Comme
Dn (u) =
1 sin[(n + 12 )u]
2π
sin( u2 )
on a :
Z
π
−
Z
[f (x − t) − f (x )]Dn (t) dt +
0
π
[f (x + t) − f (x+ )]Dn (t) dt
0
1
sin[(n + 12 )u]
1
1
+ sin[(n + 2 )u]
[f (x − t) − f (x− )]
dt
+
[f
(x
+
t)
−
f
(x
)]
dt
2π
sin( u2 )
2π
sin( u2 )
Z
1 π f (x − t) − f (x− ) 2t
1
=
sin[(n + )t] dt
π 0
t
2
sin( 2t )
Z π
t
+
1
f (x + t) − f (x ) 2
1
+
t sin[(n + )t] dt.
π 0
t
2
sin( 2 )
=
Donc, par le lemme (2) de Riemann-Lebesgue, ces intégrales convergent vers 0 lorsque n tend
vers l’infini, d’où :
f (x+ ) + f (x− )
lim Sn (x) −
= 0.
n→∞
2
Ceci conclut la démonstration du point i) et ii) du théorème (1).
9
3.3.3
Démonstration de iii)
(dans le cas où f est de classe C 2 )
Idée :
S(f ) =
+∞
X
an cos(nx) + bn sin(nx)
n=0
Sn (x) =
+∞
X
ak cos(kx) + bk sin(kx)
k=0
On sait que Sn (x) converge simplement vers f (x) donc il suffit de montrer que (Sn ) converge
uniformément.
• On montre que :
lim n2 |an | = 0
n→+∞
et
lim n2 |bn | = 0,
n→+∞
d’où ∃N tel que ∀n ≥ N , on a |an | ≤
X
1
n2
et |bn | ≤
1
n2 ,
X
|an cos(nx) + bn sin(nx)| ≤
n≥N
ce qui implique que :
|an | + |bn | ≤
n≥N
X 2
.
n2
n≥N
Cela implique que (Sn) converge normalement, donc uniformément.
• Montrons que ∃N tel que ∀n ≥ N , |an | ≤
1
an =
π
Z
1
n2
:
π
f (x) cos(nx) dx
(7)
−π
!
π
Z
sin(nx)
1 π 0
f (x)
−
f (x) sin(nx) dx
n
n −π
−π
Z π
1 1 0
1
π
00
[f
(x)cos(nx)]
f
(x)
cos(nx)
dx
=
−
−π
π n2
n2 −π
Z π
1
=⇒ n2 an = −
f 00 (x) cos(nx) dx.
π −π
=
1
π
(NB : Dans (7), f est C 2 )
Mais f 00 est continue (car f est C 2 ) donc intégrable d’où :
Z
1 π 00
lim −
f (x) cos(nx) dx = 0
n→∞
π −π
10
par le lemme (2) de Riemann-Lebesgue.
Donc, ∃N tel que ∀n ≥ N ,
Z
1 π 00
2
f (x) cos(nx) dx ≤ 1
|n an | = −
π −π
1
=⇒ ∀n ≥ N, |an | ≤ 2 .
n
• De même pour bn : ∃N 0 tel que ∀n ≥ N 0 , |bn | ≤
1
n2 .
• Ainsi, il existe N 00 = max{N, N 0 } tel que :
X
X
|an cos(nx) + bn sin(nx)| ≤
(|an | + |bn |)
n≥N 00
n≥N 00
≤
X 2
.
n2
00
n≥N
Alors, (Sn ) converge normalement donc uniformément vers f .
Ceci conclut la démonstration du iii) du théorème (1).
4
Application : Phénomène de Gibbs
Voici un exemple de ce qui peut se passer lorsque l’on se place en dehors des conditions
d’application du théorème (1).
Lors de l’étude des séries de Fourier et de la transformée de Fourier, il apparaît parfois une
déformation de signal connu sous le nom de Gibbs. Ce phénomène est un effet de bord qui se
produit à proximité d’une discontinuité, lors de l’analyse d’une fonction dérivable par morceaux.
Soit f (x) une fonction continue périodique de période T ≥ 0. Supposons que la limite de f
en x0+ soit différente de la limite en x0− et notons a la différence de ces deux limites qui est non
nulle :
f (x0+ ) − f (x0+ ) = a 6= 0.
Pour tout entier n ≥ 1 et Sn la nième somme partielle de la série de Fourier,
Sn f (x) :=
X
X
2πinx
2πnx
2πnx
1
fˆ(n)e T = a0 +
(an cos(
) + bn sin(
))
2
T
T
où les coefficients de Fourier fˆ(n), an et bn sont donnés par les formules suivantes :
Z
1
fˆ(x) :=
T
f (x)e2πinx/T dx,
0
T
2
an :=
T
Z
2
T
Z
bn :=
T
f (x) cos
2πnx
dx,
T
f (x) sin
2πnx
dx.
T
0
T
0
11
Donc on a :
lim Sn f (x0 +
T
) = f (x+
0 ) + a(0.089)
2N
lim Sn f (x0 +
T
) = f (x−
0 ) − a(0.089)
2N
N →∞
et
N →∞
mais
+
f (x−
0 ) − f (x0 )
.
N →∞
2
Plus généralement, si xn est une séquence de nombres réels qui converge en x0 quand N tend
vers +∞ et si l’écart est positif alors :
lim Sn f (x0 ) =
lim sup Sn f (xN ) ≤ f (x0 +) + a(0.089)
N →∞
et
lim inf Sn f (xN ) ≥ f (x0 −) − a(0.089).
N →∞
Si l’écart est négatif :
lim inf Sn f (xN ) ≥ f (x0 +) + a(0.089)
N →∞
et
lim sup Sn f (xN ) ≤ f (x0 −) − a(0.089).
N →∞
Exemple 4. L’onde carrée
Soit :
Sn f (x) = sin(x) +
1
1
sin(3x) + ... +
sin((N − 1)x)
3
N −1
En prenant x= 0 on obtient :
Sn f (x) = 0 =
π
4
−
2
π
4
12
=
f (0−) + f (0+)
2
Ensuite nous calculons :
Sn f (
2π
π
1
3π
1
) = sin( ) + sin( ) + ... +
sin((N − 1)π)
N
N
3
N
N −1
Si nous introduisons la fonction "sinus cardinal", sinc(x) = sin(x)
, alors on a :
x
π 2
1
2
3
2
N −1
2π
sinc( ) + sinc( ) + ... + sinc(
)
Sn f ( ) =
N
2 N
N
N
N
N
N
lim Sn f (
N →∞
lim Sn f (
N →∞
2π
π
)=
N
2
Z
Z
1
2π
π
)=
N
2
1
sinc(x) dx
0
0
sin(πx)
dx
πx
Z
1 1 sin(πx)
=
dx
2 0
x
π π
= + .(0.0899490).
4
2
De même, on a par l’imparité de la fonction sinus :
lim Sn f (−
N →∞
5
2π
2π
π π
) = lim −Sn f ( ) = − − .(0.0899490).
N →∞
N
N
4
2
Bibliographie
• Wikipédia
• Dr Guy-Bart Stan, Convergence d’une série de Fourier
• Mr Mark Baker, Cours de Suites et séries de fonctions, 2010
• Mr Thomas Hakon Gronwall, Phénomène de Gibbs et les séries trigonométriques
13