Etude de la convergence des séries de Fourier

Etude de la convergence des séries de Fourier
Lise Monnier Marie Fouré Lamine Sokhna
1

Table des matières
1 Introduction 3
2 Définition des séries de Fourier 3
2.1 Série de Fourier ..................................... 3
2.2 Coefficients de Fourier ................................. 3
2.3 Coefficients de Fourier des fonctions paires et impaires ............... 5
2.4 Types de convergence ................................. 6
3 La convergence uniforme 7
3.1 L’espace ξ........................................ 7
3.2 Théorème de Dirichlet ................................. 7
3.3 Démonstration du théorème de Dirichlet ....................... 7
3.3.1 Prérequis .................................... 7
3.3.2 Démonstration de i) et ii) du théorème (1) .................. 8
3.3.3 Démonstration de iii) ............................. 10
4 Application : Phénomène de Gibbs 11
5 Bibliographie 13
2

1 Introduction
Une des questions centrales est celle du comportement de la série de Fourier d’une fonction
et en cas de convergence de l’égalité de sa somme avec la fonction initialement considérée, ceci
dans le but de pouvoir remplacer l’étude de la fonction elle-même par celle de sa série de Fourier,
qui autorise des opérations analytiques aisément manipulables. Mais, sous quelles hypothèses
peut-on étudier la série de Fourier d’une fonction plutôt qu’elle-même ?
2 Définition des séries de Fourier
2.1 Série de Fourier
Etant donnée une fonction fde Rvers C,2π-périodique, intégrable (au sens de Riemann) sur
tout intervalle borné, on souhaiterait trouver des coefficients (cn, n ∈Z)tels que fse développe
en :
f(x) = X
n∈Z
cneinx (1)
ou, ce qui revient au même, trouver des coefficients (an, n ∈N)et (bn, n ∈N∗)tels que fse
développe en la série trigonométrique :
f(x) = a0+
+∞
X
n=1
(ancos(nx) + bnsin(nx)).(2)
En 1807, le mathématicien Joseph Fourier propose de prendre cnégal à
cn=1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt.
La série de fonctions définie par (1) et (2) est appelée série de Fourier associée à f.
2.2 Coefficients de Fourier
Définition 1. Soit f:R−→ Rune fonction 2π-périodique et intégrable sur tout segment de R.
Alors :
•Les coefficients de Fourier de fsont :
a0=1
2πZ2π
0
f(x)dx,
an=1
πZ2π
0
f(x) cos(nx)dx,
bn=1
πZ2π
0
f(x) sin(nx)dx.
•La série de Fourier de fest la série trigonométrique :
S(f) =
+∞
X
n=0
ancos(nx) + bnsin(nx)(3)
avec an, bndéfinis comme précédemment.
3

Remarque. Il n’est pas évident que S(f)converge et même si c’est le cas, il n’est pas évident
que la somme soit f!
Exemple 1. Soit fune fonction 2π-périodique sur R, donnée par : f(x) = x, sur [0,2π[.
On a :
a0=1
2πZ2π
0
x dx =1
2π
x2
22π
0
=π,
pour n≥1,
an=1
πZ2π
0
xcos(nx)dx =1
π xsin(nx) n2π
0
+Z2π
0
cos(nx)
ndx!= 0,
bn=1
2πZ2π
0
xsin(nx)dx =1
2π −xcos(nx) n2π
0
+Z2π
0
cos(nx)
ndx!=1 π−2π n=−2 n.
Ainsi,
S(f) = π−2
+∞
X
n=1
sin(nx)
n.
Dans cet exemple, on voit que S(f)(x)6=f(x)pour x= 0 et x= 2π.
Lemme 1. Si f est une fonction 2π-périodique sur Ret intégrable sur tout segment de R, alors
les coefficients de Fourier de fsont :
a0=1
2πZα+2π
α
f(x)dx,
an=1
πZα+2π
α
f(x) cos(nx)dx,
bn=1
πZα+2π
α
f(x) sin(nx)dx.
Autrement dit, on peut intégrer sur tout intervalle de longueur 2π!
Démonstration. On fait le cas an:
an=1
πZ2π
0
f(x) cos(nx)dx
=1
πZα
0
f(x) cos(nx)dx +Zα+2π
α
f(x) cos(nx)dx +Z2π
α+2π
f(x) cos(nx)dx
=1
πZα+2π
α
f(x) cos(nx)dx
4

car :
Z2π
α+2π
f(x) cos(nx)dx =Z0
α
f(x) cos(nx)dx
=−Zπ
0
f(x) cos(nx)dx.
2.3 Coefficients de Fourier des fonctions paires et impaires
Pour les fonctions paires et impaires, les coefficients de Fourier sont remarquables.
−→ Soit f, fonction 2π-périodique, paire (f(x) = f(−x),∀x∈R).
Dans ce cas, on choisit l’intervalle [−π, π]pour calculer les coefficients de Fourier :
a0=1
2πZπ
−π
f(x)dx =1
πZπ
0
f(x)dx,
an=1
πZπ
−π
f(x) cos(nx)dx =2
πZπ
0
f(x) cos(nx)dx,
bn=1
πZπ
−π
f(x) sin(nx)dx = 0.
Ainsi, pour fpaire,
S(f) =
+∞
X
n=0
ancos(nx).
−→ Soit f, fonction 2π-périodique, impaire (f(x) = −f(−x),∀x∈R).
Dans ce cas,
an= 0,∀n≥0,
bn=2
πZπ
0
f(x) sin(nx)dx,
d’où
S(f) =
+∞
X
n=1
bnsin(nx).
Exemple 2. Trouvons la série de Fourier de fdonnée par f(x) = xsur [−π, π[.fest impaire,
donc an= 0,∀n≥0:
5