(B. Mariou) Con - UFR 6

Université Paris 8 – UFR MITSIC Licence Maths et Licence Info – Automne 2015
INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS (B. Mariou) Contrôle no28 janvier 2016
la carte d’étudiant est obligatoire – aucun appareil électronique n’est autorisé
interdits également : communication, sacs et vêtements à votre place.
pas de sortie durant les 45 premières minutes
document autorisé : une page A4 manuscrite par vous-même
Indiquez vos nom, prénom, numéro sur chaque copie. – Durée : 2h30 – Barème : 5 5 4 3 3
Exercice 1 (1+1+1+0,5+1+0,5pts) Soit Xla v. a. de loi : i0 1 2 3
p(X=i) 20/35 10/35 4/35 1/35
a) Calculez l’espérance de X.
b) Calculez l’espérance de X2.
c) Calculez la variance de X.
d) Calculez l’écart-type de X.
e) Trouvez la médiane de X.
f) Représentez graphiquement la fonction de
répartition cumulative de F.
Exercice 2 (0,5+1+1+0,5+1+1 pts) Une urne A contient une boule verte et deux boules rouges ; tandis
qu’une urne B contient deux boules vertes et une boule rouge.
On pioche au hasard deux boules dans l’urne A et une seule boule dans l’urne B.
Soient VAle nombre de boules vertes piochées dans l’urne A et VBle nombre de boules vertes piochées
dans l’urne B.
a) Expliquez (brièvement) pourquoi VAet VBsont des variables aléatoires indépendantes.
b) Déterminez la loi de VA, puis la loi de VB. Que remarquez-vous ?
c) Déduisez-en la loi conjointe de VAet VB.
d) Il y a maintenant un joueur vert contre un joueur rouge. Chaque boule piochée dans l’urne A rapporte
2 points au joueur de sa couleur, et la boule pioche dans l’urne B rapporte 3 points. Soit SVle score du
joueur vert. Exprimez SVen fonction de VAet VB.
e) Déduisez-en l’espérance et la variance de SV.
f) Déduisez-en aussi la loi de SV.
Exercice 3 (1+0,5+1+1,5pts) Dans une salle, nous sommes n+ 1 personnes nées en juin. On suppose
que ces personnes ont leurs anniversaires respectifs uniformément et indépendamment répartis sur les 30
jours de juin.
a) Pour 06k6n, quelle est la probabilité que le nombre Xde personnes ayant leur anniversaire le même
jour que moi valent exactement k?
b) Comment s’appelle la loi de la variable aléatoire X?
c) Quelle est la probabilité qu’au moins une personne ait son anniversaire le même jour que moi ?
d) On change de point de vue maintenant et on se demande quelle est la probabilité que deux personnes
(pas forcément moi), au moins, aient leur anniversaire le même jour ?
Exercice 4 (2+1 pts) Lors d’une élection, 100 personnes votent mais 10 d’entre elles ne mettent pas
de bulletin dans leur enveloppe. Au moment du dépouillement, comme je suis volontaire, on me remet, au
hasard, un lot de 20 bulletins à dépouiller. Soit Xle nombre d’enveloppes vides que contient mon lot.
a) Pour ientre 0 et 20, exprimez par une formule p(X=i).
b) Quel est le nom de la loi de X?
Exercice 5 (3 pts) Démontrez l’inégalité de Chebyshev, en supposant connue l’inégalité de Markov.

Éléments de correction du contrôle du 8 janvier 2016
Exercice 1
a) E[X] =
3
P
i=0
ip(X=i) = 0 ×20
35 + 1 ×10 35 + 2 ×4 35 + 3 ×1 35 = (0 + 10 + 8 + 3) ×1 35 = 21/35 = 3/5.
b) E[X2] =
3
P
i=0
i2p(X=i) = (02×20
35 + 12×10 35 + 22×4 35 + 32×1 35 ) = (0 + 10 + 16 + 9) ×1 35 = 1.
c) var(X) = E[X2]−E[X]2= 1 −9
25 = 16/25.
d) ET (X) = pvar(X) = 4/5.
e) La médiane mde Xest le plus petit des nombres atels que : aest une valeur possible de Xet p(X6a)>1/2.
Ici le nombre a= 0 a ces propriétés. C’est bien sûr le plus petit nombre avec ces propriétés puisque c’est la plus
petite valeur que peut prendre X. Donc la médiane de Xest 0.
En conséquence, 0 à les propriétés suivantes : p(X60) >1/2et p(X>0) >1/2.
f) La fonction Fde répartition cumulative de Xest définie par : pour tout t∈IR,F(t) = p(X6t).
C’est donc une fonction (croissante) en étages. Précisément Fvaut
0 sur ]− ∞; 0[ 20/35 sur [0; 1[ 30/35 sur [1; 2[ 34/35 sur [2; 3[ 1 sur [3; +∞[
Exercice 2 a) Les v.a. VAet VBportent sur des pioches effectuées dans des urnes différentes. Il n’y aucune
raison pour que le résultat d’une de ces deux pioches modifie la composition de l’autre urne et donc, non plus, les
probabilités et la loi de la v.a. associée à l’autre pioche.
b) La v.a. VBpeut prendre les valeurs 0 et 1 car on effectue une seule pioche (c’est donc une v.a. de Bernoulli). Et
VB= 0 ssi on pioche la boule rouge de l’urne B. Donc p(VB=0)=1/3car il y a une boule rouge sur trois boules,
et équiprobabilité (pioche au hasard). Par conséquent, p(VB=1)=2/3. Loi de VBi0 1
p(VB=i) 1/3 2/3
n.b. La notation p(VB), trouvée dans certaines copies, n’a aucun sens.
La v.a. VApeut prendre les valeurs 0 et 1 car il n’y a qu’une boule verte dans l’urne A. Et VA= 0 ssi on pioche le
deux boules rouges. Donc p(VA= 0) = 1/3car on peut piocher trois paires distinctes et une seule comporte deux
boules rouges, et la pioche est effectuée au hasard (équiprobabiité). Par conséquent p(VA=1)=2/3.
La loi de v.a. VAest donc la même que celle de la v.a. VB. Ce sont deux v.a. de Bernoulli de paramètres 2/3.
n.b. Mais elles n’ont aucune raison d’être égales.
c) Comme ces deux v.a. sont indépendantes, leur loi conjointe se calcule facilement : pour tout a, b,p(VA=a;VB=
b) = p(VA=a)×p(VB=b). Ce qui donne VBVA0 1
0 1/9 2/9
1 2/9 4/9
d) Le joueur marque 2 points par boule verte piochée dans l’urne Asoit 0 ou 2 points, soit 2×VA. Et pour l’urne
B, il marque 3×VB. Donc SV= 2VA+ 3VB.
e) D’après le cours, on a E[SV] = E[2VA+ 3VB] = 2E[VA] + 3E[VB]. D’après ce qu’on a vu, l’espérance de VA
et celle de VBsont connues, et valent 2/3. Donc E[SV] = 10/3.
Pour la variance, il faut souligner que les deux v.a. VAet VBsont indépendantes, et de même variance 1
3×2 3.
var(SV) = var(2VA+ 3VB) = var(2VA) + var(3VB)car 2VAet 3VBsont indépendantes
= 4 var(VA)+9var(VB)car var(αX) = α2var(X).
= 4 ×2
9+ 9 ×2 9= 26/9.
f) On se rapporte à la loi conjointe de VAet VB:(VA, VB) (0,0) (1,0) (0,1) (1,1)
SV0 2 3 5
probabilité 1/9 2/9 2/9 4/9
Exercice 3 a) b) Chaque date d’anniversaire (des nautres personnes que moi) peut être vue comme un tirage
de Bernoulli avec résultat 1 (succès) si cette date est la même que celle de mon anniversaire, résultat 0 (échec) si
cette date n’est pas la même que celle de mon anniversaire.
Puisque les dates sont réparties uniformément, le paramètre de chacun de ces tirages de Berenoulli est p=1
30 (1
jour favorable, 30 jours possibles).
Puisque les dates sont indépendantes les unes des autres, ces tirages de Bernoulli sont indépendants.
Il s’agit donc de ntirages de Bernoulli, identiques et indépendants. Donc, le nombre Xdes succès obtenus au cours

de ces ntirages est la v.a. binomiale de paramètres net p=1
30 .
Or Xest précisément le nombre de personnes, parmi les nautres, qui ont le même anniversaire que moi.
Donc, pour 06k6n,p(X=k) = Ck
npkqn−k=Ck n29n−k
30n.
c) La probabilité qu’aucune personne n’ait le même anniversaire que moi est p(X= 0) = C0
n29n
30n=29 30 n. Par
conséquent, la probabilité qu’au moins une personne ait le même anniversaire que moi est 1−29
30 n.
d) On calcule plus facilement la probabilité de l’événement contraire E=“il n’y a pas deux personnes ayant le même
anniversaire”.
n.b. La question est très différente des précédentes et il n’est pas possible, pour y répondre, d’utiliser la v.a. Xdes questions
précédentes.
On peut refaire le calcul du cours :
Il y a 30n+1 listes possibles de n+ 1 dates en juin et
30 ×29 × · · · × (30 −((n+ 1) −1)) de ces listes sont
sans répétitions.
Puisque la répartition est indépendante et uniforme,
on a p(E) = nbre de listes sans répétitions
nbre total de listes
Ou utiliser les probabilités conditionnelles :
Ai=“la iepersonne n’a pas le même anniversaire
qu’une des i−1premières persones”.
Alors pA1∩A2∩···∩Ai(Ai+1) = 30−i
30 et p(A1) = 1 et
E=A1∩A2∩ · · · ∩ An+1.
Donc
p(E) = p(A1)×pA1(A2)× · · · × pA1∩···∩An(An+1).
Donc p(E) = 30 ×29 × · · · × 30 −((n+ 1) −1)
30n+1 =A31
n
30n+1 et p(E) = 1 −A31
n
30n+1 .
Exercice 4 a) Si i>11,p(X=i)=0car il n’y a que 10 enveloppes vides en tout, donc je ne peux pas en avoir
11 ou plus.
Si i610, mon lot a été constitué au hasard donc sur tous les lots possibles de 20 enveloppes (il y en C20
100), le
nombre de ceux qui comportent exactement ienveloppes vides est
Ci
10 (nbre de choix de ienveloppes vides) ×C20−i
90 (nbre de choix de 20 −ienveloppes non vides).
Donc p(X=i) = Ci
10×C20−i
90
C20
100
, pour 06i610.b) La loi de Xest la loi hypergéométrique : on a une population
particulière (les enveloppes vides) dans une population globale (toutes les enveloppes), et on pioche au hasard un
échantillon (les enveloppes que je dois déouiller), et Xdésigne le nombre d’individus de la population particulière
parmi l’échantillon pioché. Les paramètres de Xsont N= 100 l’effectif total, m= 10 l’effectif particulier, et n= 10
la taille de l’échantillon.
Exercice 5 Inégalité de Markov — Si Xest une v.a. à valeurs positives et aun réel >0, alors p(X>a)6E[X]
a.
Soit une v.a. X, d’espérance finie µet un réel λ > 0.
On considère la v.a. Y= (X−λ)2et a=λ2.
On a Y>0et λ2>0. Et l’inégalité de Markov donne p(Y>a)6E[Y]
a
i.e. p((X−λ)2>λ2)6E[(X−λ)2]
λ2
i.e. p(|X−λ|>λ)6var(X)
λ2.
On obtient donc l’inégalité de Chebyshev.