Leçon 3 Les systèmes d`équations et d`inéquations

Leçon 3
Les systèmes d’équations et d’inéquations
Cette leçon ne figure pas explicitement au programme mais, comme nous rencontrons de plus
en plus de systèmes dans les exercices, j’ai pensé qu’il était utile de faire un point rapide sur
les méthodes pour résoudre les systèmes d’équations linéaires, non linéaires et les systèmes
d’inéquations.
2
Exercice 1 : Résoudre dans R :
2
Exercice 2 : Résoudre dans R :
x2 + y2 = 10
xy
=3
3x – y = 10
x + 2y = 8
Exercice 3 : Résoudre dans R2 :
1
3
+
=2
x y−4
8
2
−
=3
x y−4
Exercice 4 : Résoudre dans R3 :
x+2y–z=2
3x – y + z = 3
5x – 2y – 6z = − 3
2
Exercice 5 : Résoudre dans R :
x≥ 0
−2 ≤ y ≤2
x–y ≥0
Exercice 6 : (un peu plus difficile)
Résoudre dans R2 :
(x – y + 1) (x + 2y – 4) ≥ 0
Exercice 7 : Un système que l’on peut dire mixte, résoudre dans R2 :
x≥0; y≥ 0
x + 2y ≤ 8
x
y=
2
Correction
Exercice 1
Nous pouvons utiliser la substitution mais, en 1reS nous préférons la combinaison de lignes
pour résoudre ce premier système qui est un système linéaire. Il ne contient que des équations
formées avec des polynômes en x et y de degré 1 autrement dit des équations de droites.
DE = R2 (Il n’y a pas de conditions particulières à poser)
R2 est l’ensemble des couples (x ; y) avec x et y réels.
3 x – y = 10 (L1)
x + 2 y = 8 (L2) ⇔
x + 2 y = 8 (L2)
7 x = 28 (2L1 + L2)
⇔
x=4
2y = 4
S = {(4 ; 2)}.
N’oublions pas que graphiquement, nous avons ici deux droites et le système permet de
trouver les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites. L’accolade remplace le
mot « et » donc les deux équations doivent être vérifiées en même temps.
(D1) y = 3x – 10
1
(D2) y = − x + 4
2
(D1) ∩ (D2) = { I }
Exercice 2
Ce n’est pas un système linéaire, nous pouvons le faire aussi par substitution, mais nous
pouvons voir qu’il s’agit d’un système symétrique par rapport à x et y c’est-à-dire nous
pouvons échanger les variables x et y sans changer le système.
Pour résoudre un tel système, nous pouvons utiliser S et P
(S = x + y ; P = xy)
En effet x2 + y2 = (x + y)2 – 2 xy
x2 + y2 = 10
xy = 3
⇔
S2 – 2P = 10 ⇔
P = 3S2 = 16
P=3
donc S = 4 ou − 4
Théorème (rappel)
Si on connaît la somme et le produit de deux réels, si ces réels existent, ils sont solutions de
X2 – SX + P = 0
Nous avons deux équations à résoudre :
X2 – 4 X + 3 = 0, deux racines évidentes : X1 = 1 et X2 = 3 car P = 3
X2 + 4 X + 3 = 0, deux racines évidentes encore : X3 = − 1 et X4 = − 3
Nous avons donc 4 solutions pour ce système :
S = {(1 ; 3) ; (3 ; 1) ; (−
− 1 ; − 3) ; (−
− 3 ; − 1)}
Nous pouvons la aussi voir graphiquement mais c’est un peu plus compliqué : x2 + y2 = 10
donne une courbe que nous allons étudier cette année : en effet dans un repère orthonormé, cet
équation équivaut à OM2 = 10 si M (x ; y) et O l’origine du repère et donc OM = 10 , le
point M est sur le cercle ( C ) de centre O et de rayon 10 .
Pour tracer ce cercle sur la calculette, il faut tirer y :
x2 + y2 = 10 ⇔ y2 = 10 – x2 ⇔ y = 10 − x 2 ou y = − 10 − x 2 .
Pour la deuxième équation, nous retrouvons une courbe étudiée en seconde :
3
xy = 3 ⇔ y = (nous savons que x ≠ 0 car xy = 3) c’est un hyperbole.
x
(Nous voyons bien 4 points d’intersection.)
Exercice 3
x dans R et y dans R
1
3
+
=2
x y−4
Il y a ici des conditions à poser : x ≠ 0 et y ≠ 4.
8
2
−
=3
x y−4
Nous devons procéder à des changements d’inconnus (technique souvent utilisée) :
1
1
X=
et Y =
( X∈R* et Y∈R*)
x
y−4
Le système devient linéaire en X et Y :
X + 3Y = 2 (L1)
8X – 2Y = 3 (L2)
⇔
X + 3Y = 2 (L1)
⇔
26Y = 13 (8L1 – L2)
Cherchons maintenant x et y :
Y=
1
2
X = 2−
3 1
=
2 2
1 1
1
1
= ⇔ x = 2 et
=
⇔ y − 4 = 2 ⇔ y = 6 ; S = {(2 ; 6)}
x 2
y−4 2
Pour vérifier graphiquement, c’est encore un peu plus compliqué mais nous pouvons le faire :
11x − 4
10 x − 32
L’équation 1 donne y =
; l’équation donne y =
2x − 1
3x − 8
Il y a deux points d’intersection mais
x = 0, y = 4 ne convient pas.
(voir conditions)
Exercice 4
La méthode utilisée s’appelle la méthode du pivot de GAUSS, elle est préférable à la
substitution.
a) Nous choisissons une équation comme premier pivot après avoir numéroter les lignes et
dans un premier temps, nous éliminons par combinaisons de lignes la même inconnue dans
les deux autres lignes (Ici, nous éliminons y) :
x + 2 y – z = 2 (L1)
3x – y + z = 3 (L2)
5x – 2y – 6z = − 3 (L3)
⇔
x + 2 y – z = 2 (1er Pivot) (L1)
7x + z = 8
(L1+2L2) (L2)
6x – 7z = − 1 (L1+L3) (L3)
Nous pouvons utiliser l’addition ou la soustraction de lignes après les avoir multipliées si
nécessaire.
b) Dans un deuxième temps, après avoir renumèroter les lignes, nous choisissons un deuxième
pivot et nous éliminons une deuxième inconnue
(Ici, z). (Nous pouvons mettre (L’1, L’2 etc. mais c’est plus simple de garder le même
nom)
x + 2 y – z = 2 ( 1er Pivot)
x=1
7x + z = 8
( 2ième Pivot)
⇔
z = 8 – 7(1) z = 1
55 x = 55
( 7L2 + L3)
2y = 2 – (1) + (1)
y=1
Nous remontons donc dans les pivots pour calculer successivement les deux inconnues qui
ne sont pas données par la dernière équation.
Conclusion : S = {(1 ; 1 ; 1)}(une seule solution)
Nous verrons dans la leçon suivante sur l’espace que ce système représente la recherche du
point d’intersection de trois plans dans l’espace, en effet chaque équation est l’équation d’un
plan de l’espace.
Vous pouvez vous entraîner tout seul en fabriquant vous-même un système :
Vous décidez que la solution sera par exemple x = 1, y = 2 et z = 3 et vous fabriquez des
équations de plans :
Ex : 5x – y + 6z = ? en remplaçant par la solution choisie, vous trouvez 5(1) − 2 + 6(3) = 21.
Puis vous créez une autre équation etc.
Exercice 5
Les systèmes d’inéquations se font par le graphique et il n’y a pas de solutions par le calcul.
Nous avons un seul théorème pour les systèmes d’inéquations linéaires :
Théorème
Toute expression de la forme ax+ by+ c=0 est l’équation d’une droite du plan (P), cette
droite partage le plan (P) en deux régions sur lesquelles, ax+ by + c garde le même signe.
La méthode consiste donc à traiter chaque inéquation graphiquement l’une prés l’autre et à
barrer chaque fois la région qui ne convient pas.
(Nous testons avec un point choisi au hasard)
x≥ 0
(I1)
− 2 ≤ y ≤ 2 (I2)
x–y≥0
(I3)
Pour (I1), nous utilisons l’axe des y (x = 0) et nous barrons la région qui contient les points
d’abscisse négative :
Pour (I2), nous gardons les points qui font partie de la bande comprise entre les droites
horizontales d’équations y = −2 et y = 2.
Pour (I3), appliquons la méthode, nous traçons la droite (D3) d’équation : x – y = 0. Si x = 0,
y = 0 et si x = 2, y = 2.
Pour tester, nous choisissons un point quelconque A(4 ; 1)
4 – 1 est-il supérieur ou égal à zéro : réponse oui donc nous barrons la région ne contenant pas
le point A en considérant uniquement les deux régions apparue avec la droite (D3).
S = {les coordonnées (x ; y) des points de la région non hachurée y compris les frontières}
(Les frontières sont les demi-droites ou segments bordant la zone solution, elles sont ici
valables à cause du signe = dans les inéquations.)
(Nous avons colorié la région solution.)
Exercice 6
Nous cherchons x et y tels que : (x – y + 1)(x + 2 y – 4) ≥ 0.
Nous avons ici deux expressions qui nous donne à penser qu’il faut utiliser deux droites :
(D1) x – y + 1 = 0 et (D2) x + 2 y – 4 = 0.
Traçons ces deux droites dans un repère du plan (P), il apparaît alors 4 régions, nous prenons
un point pour tester une des régions et nous pouvons dire, en utilisant le théorème vu cidessus que chaque fois que nous franchirons une demi droite, le produit étudié changera de
signe. Nous pouvons ainsi déterminer les régions qui conviennent.
La méthode reste donc graphique :
Nous testons avec le point O : (0 – 0 +1)(0 + 2(0) – 4)= − 4 donc la région contenant O est
négative pour ce produit, elle ne convient pas donc nous la barrons, la région, à droite en
franchissant (D2) convient donc etc.
La solution ici, est représenté par les coordonnées x et y des points des régions restées
blanches
Exercice 7
Les systèmes «mixtes» se font par le calcul ou/et par le graphique, en effet la présence d’une
équation permet grâce au signe = d’effectuer des calculs sur les inéquations. Le plus simple
est de garder l’équation et de travailler sur les conditions concernant x :
x≥ 0;y≥ 0
x+2y ≤ 8
y=
x
2
y=
⇔
x
2
x≥ 0;
y=
x
≥ 0
2
x
x + 2  ≤ 8
2
⇔
x
2
x≥0
x≤4
Conclusion : La solution est représenté par les coordonnée x et y des points de la droite
x
mais 0 ≤ x ≤ 4 .
d’équation y =
2
Il s’agit donc des coordonnées des points d’un segment de droite.
Nous barrons la région à droite de l’axe des ordonnées (x ≥ 0) puis nous barrons la partie en
dessous de l’axe des abscisses (y ≥ 0) puis, nous utilisons la droite (D) d’équation :
x + 2y − 8 = 0 enfin, nous testons avec le point O, 0 + 0 – 8 est négatif donc nous mettons
en gris la région au dessus de la droite.
x
et le segment solution apparaît. Il s’agit des points de
2
la droite qui sont dans la région non grisée. La solution est donc bien constituée par les
coordonnées des points du segment colorié ici en rouge.
Il reste tracer la droite d’équation y =