opérations sur les nombres relatifs

CHAPITRE I
OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES RELATIFS
COMPÉTENCES ÉVALUÉES DANS CE CHAPITRE :
(T: compétences transversales, N: activités numériques, G: activités géométriques, F: gestion de don-
nées et fonctions)
Intitulé des compétences Evaluations
T1 Connaître le vocabulaire, les définitions et les propriétés du cours
N1 Calculer une somme et une différence de nombres relatifs ∗
N2 Calculer un produit de nombres relatifs ∗
N3 Déterminer une valeur approchée du quotient de deux nombres re-
latifs ∗
N4 Ecrire des programmes de calcul portant sur des nombres relatifs
N5 Savoir organiser et effectuer à la main une succession de calculs avec
les nombres relatifs
N6 Savoir organiser et effectuer à la calculatrice une succession de cal-
culs avec les nombres relatifs
∗: cette compétence fait partie du socle commun de connaissances.
Deux points verts :Je sais très bien faire
Un point vert :Je sais bien faire, mais il reste quelques erreurs
Un point rouge :Je ne sais pas bien faire, il y a trop d’erreurs
Deux points rouges :Je sais pas faire du tout
Légende du tableau de compétences :
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Compétence N1 : Somme et différence de nombres relatifs.
•Pour additionner deux nombres relatifs de même signe :
– on conserve le signe commun aux deux termes de la somme,
– on additionne les distances à zéro.
•Pour additionner deux nombres relatifs de signes contraires :
– on conserve le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro,
– on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
Additionner des nombres relatifs
Exemples :
Ï(−5) +(−11) = −16
Ces deux nombres sont négatifs, donc la somme sera un nombre négatif. La somme de leurs distance à
zéro est égale à 5 +11 =16. La somme de ces deux nombres est donc bien −16.
Ï(−3) +(+4,9) = +1,9
Ces deux nombres sont de signes contraires, mais (+4,9) a la plus grande distance à zéro : la somme sera
donc positive. De plus la différence des distances à zéro est égale à 4, 9 −3=1,9. La somme de ces deux
nombres est donc bien +1,9.
•Deux nombres relatifs sont dits opposés lorsque leur somme est égale à zéro.
•Pour déterminer l’opposé d’un nombre relatif, il suffit d’en changer le signe.
Opposé d’un nombre relatif
Exemples :
(−2, 8) +(+2,8) =0 : les nombres −2,8 et +2,8 sont opposés, ou encore −2,8 est l’opposé de +2,8.
Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé.
Soustraire un nombre relatif
Exemples :
Ï(+7, 5) −(−2,3) =(+7, 5) +(+2,3) = +9,8
car soustraire −2,3 revient à ajouter l’opposé de (−2,3), c’est-à-dire à ajouter (+2,3).
ÏPour calculer une somme, on peut regrouper les termes négatifs d’un côté, positifs de l’autre :
(+2) +(−7) +(−3) +(+5) =(+2) +(+5) +(−3) +(−7) =(+7) +(−10) = −3
ÏPour calculer une succession d’additions et de soustractions (ce que l’on appelle une somme algé-
brique), on commence par la transformer de telle sorte qu’il n’y ait que des additions :
(+2) −(+12) +(−3) −(−9) =(+2) +(−12) +(−3) +(+9) =(+2) +(+9) +(−12) +(−3) =(+11) +(−15) = −14
ÏOn peut simplifier une somme algébrique, en supprimant les parenthèses autour des nombres rela-
tifs, et en supprimant le signe "+" des nombres positifs :
(−3) +(+7) +(−11) +(−5) = −3+7−11 −5= −3−11 −5+7= −19 +7= −12
(−5) −(−16) +(−14) −(+9) +(+13) =(−5) +(+16) +(−14) +(−9) +(+13)
= −5+16 −14 −9+13 = −5−14 −9+16 +13 = −28 +29 =1
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Compétence N2 : Produit de nombres relatifs.
– Le produit d’un nombre relatif par un nombre relatif de même signe est positif,
– Le produit d’un nombre relatif par un nombre relatif de signe contraire est négatif.
Règle des signes dans un produit de deux nombres relatifs
On commence par calculer le nombre de facteurs négatifs.
– Si ce nombre est pair, alors le produit de ces nombres est positif.
– Si ce nombre est impair, alors le produit de ces nombres est négatif.
Règle des signes dans un produit de plusieurs nombres relatifs
Pour multiplier des nombres relatifs :
– on applique la règle des signes pour déterminer le signe du produit,
– on multiplie entre elles les distances à zéro.
Multiplier des nombres relatifs
Exemples :
Ï(−6) ×(−7) = +42 Ï(+15) ×(−10) =15 ×(−10) = −150 Ï(−13) ×(+3) =(−13) ×3= −39
Ï(−1) ×(+5) ×(+2) ×(−3) est un nombre positif, car il y a deux facteurs négatifs.
De plus, on a (−1) ×(+5) ×(+2) ×(−3) =(−1) ×5×2×(−3) = +(1 ×5×2×3) = +30
Ï(−2) ×(+5) ×(−3) ×(−1) ×(+7) est un nombre négatif, car il y a trois facteurs négatifs.
De plus, on a (−2) ×(+5) ×(−3) ×(−1) ×(+7) =(−2) ×5×(−3) ×(−1) ×7= −(2 ×5×3×1×7) = −210
– Pour tout nombre relatif x, on a x×1=x
– Pour tout nombre relatif x, on a x×0=0
– Pour tout nombre relatif x, on a x×(−1) = −x
Autrement dit, le produit d’un nombre relatif par (−1) est l’opposé de ce nombre.
– Un produit ne change pas lorsque l’on modifie l’ordre de ses facteurs. On dit que la multiplication est
commutative. Autrement dit, on a a×b=b×a.
– La multiplication est distributive par rapport à l’addition et à la soustraction.
Autrement dit, on a
k×(a+b)=ka +kb
k×(a−b)=ka −kb
Propriétés de la multiplication des nombres relatifs
Pour faciliter un calcul, on peut :
Ïutiliser la commutativité : 4 ×9×(−25) =4×(−25) ×9=(−100) ×9= −900
Ïutiliser la distributivité :
en développant : (−9) ×19 =(−9) ×(20 −1) =(−9) ×20 −(−9) ×1=(−180) −(−9) = −180 +9= −171
en factorisant : (−8) ×7,5 +(−8) ×(−2,5) =(−8) ×[7, 5 +(−2,5)] =(−8) ×5= −40
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Compétence N3 : Diviser par un nombre relatif non nul
Le quotient d’un nombre relatif apar un nombre relatif non nul b, noté a÷bou a
b, est le nombre par
lequel on doit multiplier bpour trouver a.
Autrement dit, ce quotient est le facteur manquant dans la multiplication à trous b×?=a.
Quotient de deux nombres relatifs
– Le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de même signe est positif,
– Le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul de signe contraire est négatif.
Règle des signes dans un quotient de deux nombres relatifs
Pour effectuer le quotient de deux nombres relatifs
– on applique la règle des signes pour déterminer le signe du quotient,
– on effectue le quotient les distances à zéro.
Diviser des nombres relatifs
Exemples :
Ï(−4) ÷5=
−4
5
= − 4
5
= −0,8 Ï(−120) ÷(−15) =
−120
−15
=120
15
=8Ï7
−14
= − 7
14
= −0,5
Valeur approchée d’un quotient
Mais attention ! ; on veut, par exemple, calculer le
quotient de 15 par −7.
Ce quotient est négatif, et pour trouver sa distance
à zéro on doit calculer le quotient 15 ÷7. Or on a,
ci-contre :
On ne peut pas écrire ce quotient sous la forme d’un
nombre décimal, car la division ne s’arrête pas. On
ne peut donner que des valeurs approchées et des
encadrements de ce quotient.
Si on veut placer ce quotient sur la droite graduée :
1 5
1 0
3 0
2 0
6 0
4 0
5 0
1 0
3
7
2,1 4 2 8 5 7 1 ...
01
15
−7
On peut dire, par exemple, que :
• −2,2 est une valeur approchée au dixième par défaut de 15 ÷(−7),
• −2,1 est une valeur approchée au dixième par excès de 15 ÷(−7),
• −2,1 est un arrondi au dixième de 15 ÷(−7) (c’est la valeur approchée au dixième la plus proche),
• −2,2 <15
−7
< −2,1 est un encadrement au dixième de 15 ÷(−7).
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