solutionnaire

Travail pratique du 12 janvier 2017, num´ero 10 et 14
Alexis Langlois-R´emillard
16 janvier 2017
Question (Num´ero 10)
Trouver tous les entiers naturels tels que n2+n+ 1 est un multiple de 7 ; la mˆeme chose pour 13.
Solution
Tous les nombres naturels peuvent s’´ecrire sous la forme : n= 7k+iavec k∈N, i ∈ {0,1,2,3,4,5,6}.
C’est une cons´equence de la division avec reste par 7. Un nombre est divisible par 7 si i= 0 dans
sa d´ecomposition sous la forme 7k+i.
Soient k∈N, i ∈ {0,1,2,3,4,5,6}. Posons n= 7k+i, un nombre naturel arbitraire. Il suit que :
n2+n+ 1 = (7k+i)2+ (7k+i)+1
= 49k2+ 14ki +i2+ 7k+i+ 1
= 7(7k2+ 2ki +k) + i2+i+ 1
et 7k2+ 2ki +kest un naturel. Pour que l’´equation ci-haut soit divisible par 7, il faut que le reste
i2+i+ 1 soit ´egal `a un multiple de 7 ou 0. Testons toutes les valeurs possibles de i.
02+ 0 + 1 = 1 -7
12+ 1 + 1 = 3 -7
22+ 2 + 1 = 7 |7
32+ 3 + 1 = 13 -7
42+ 4 + 1 = 21 |7
52+ 5 + 1 = 31 -7
62+ 6 + 1 = 43 -7
Par cons´equent, lorsque i= 2 ou i= 4, n2+n+ 1 divise 7. Les nombres sont donc de la forme
7k+ 2 ou 7k+ 4 pour k∈N. Maintenant, il faut faire la mˆeme chose, mais avec 13. Encore une
fois, par le th´eor`eme de division avec reste appliqu´e `a 13, nous avons que tout nombre naturel
s’´ecrit sous la forme 13k+javec k∈Net j∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Soient k∈N, j ∈
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Posons n= 13k+j, un nombre naturel arbitraire. Il suit que :
n2+n+ 1 = (13k+j)2+ (13k+j)+1
= 169k2+ 26kj +j2+ 13k+j+ 1
= 13(13k2+ 2kj +k) + j2+j+ 1
1

13k2+ 2ki +kest un naturel. Pour que l’´equation ci-haut soit divisible par 13, il faut que le reste
j2+j+ 1 soit ´egal `a un multiple de 13. Testons toutes les valeurs possibles de j. Notons que nous
avons d´ej`a fait la moiti´e du travail
02+ 0 + 1 = 1 -13 72+ 7 + 1 = 57 -13
12+ 1 + 1 = 3 -13 82+ 8 + 1 = 73 -13
22+ 2 + 1 = 7 -13 92+ 9 + 1 = 91 |13
32+ 3 + 1 = 13 |13 102+ 10 + 1 = 111 -13
42+ 4 + 1 = 21 -13 112+ 11 + 1 = 133 -13
52+ 5 + 1 = 31 -13 122+ 12 + 1 = 157 -13
62+ 6 + 1 = 43 -13
Lorsque j= 3 et j= 9, n2+n+ 1 divise 13. Les nombres sont donc de la forme 13k+ 3 et 13k+ 9
pour k∈N.
Conseil r´edaction : Il me fut facile de copier-coller sur ordinateur, cependant, si vous ne voulez
pas perdre de temps, il serait bien de penser au probl`eme avant d’´ecrire votre d´emarche pour pr´evoir
le coup et, par exemple, cr´eer un tableau pour vous ´eviter de r´e´ecrire ou de rendre votre feuille
malpropre !
Question (Question 14)
Vrai ou faux.
1. Si d|aet d|balors d|pgcd(a, b).
2. pgcd(a, b) = pgcd(b, a)
3. Le pgcd de trois entiers a, b, c satisfait : pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c).
4. Si pgcd(a, b)<pgcd(a, c),alors pgcd(a, b)|pgcd(a, c)
5. Si k|pgcd(a, b), alors pgcd(a/k, b/k) = 1
kpgcd(a, b)
Solution
Voici les cinq preuves.
1. ´ Ecrivons les informations que les d´efinitions et les th´eor`emes nous donnent : Il existe des
constantes k, `, α, β ∈Rtelles que :
a=kd
b=`d par d´efinition
pgcd(a, b) = αa +βb par B´ezout
=αkd +β`d
= (αk +β`)d
par d´efinition, puisque (αk +β`)∈Zalors d|pgcd(a, b)
2. Vrai par d´efinition (´ Ecrivez-la !)
3. Par d´efinition (la version deux). Soient a, b, c ∈Z.
pgcd(a, b, c) = max{D(a)∩D(b)∩D(c)}
2

= max{(D(a)∩D(b)) ∩D(c)}
= max{max{D(a)∩D(b)} ∩ D(c)}
= max {pgcd(a, b)∩D(c)}
= pgcd (pgcd(a, b), c)
4. C’est faux. Prenons le contre-exemple (a, b, c) = (10,5,2). Alors :
pgcd(10,2) = 2
pgcd(10,5) = 5
2<5
2-5.
5. Nous allons prouver un r´esultat ´equivalent. En exercice, convainquez-vous que ce raisonnement
prouve le num´ero en explicitant la derni`ere ´etape.
Nous voulons montrer que kpgcd(a, b) = pgcd(ka, kb). Soient k, a, b ∈Z. Notons d=
pgcd(a, b). Par d´efinition, d|a, d |bet si d0|a, d0|balors d0≤d. Maintenant, en multipliant
par k, nous obtenons kd |ka, kd |kb et la multiplication par un entier pr´eserve la relation
d’ordre, alors pgcd(ka, kb) = kd. De l`a, le num´ero est prouv´e.
3