Cours d`ANALYSE 1 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Analyse 1 - MISMI, UE M1MI2011, Annales
2011-2015
Alain Yger
Institut de Math´ ematiques, Universit´ e Bordeaux 1, Talence 33405,
France
E-mail address:[email protected]

R´ esum´ e. On trouvera dans ce polycopi´e les annales du cours d’Analyse 1 (UE
M1MI2011) depuis 2011 : les corrig´es des deux devoirs surveill´es 2011-2012 (en
annexes respectivement A et B), 2012-2013 (en annexes respectivement C et
D), 2013-2014 (en annexes respectivement E et F), 2014-2015 (en annexes G et
H). Le texte du DST 2012-2013 figure en Annexe L, celui du DST 2013-2014 en
Annexe M, celui enfin de 2014-2015 en annexe N. En toute fin de ce polycopi´e,
apr`es la bibliographie, vous trouverez aussi (au titre d’annale) le texte et le
corrig´e (merci `a Philippe Charpentier) du DST 2011-2012. Figurent aussi en
annexes I,J,K les trois textes de DM de l’ann´ee 2014-2015 avec leurs corrig´es
(merci `a Cl´ement Dubuisson). Les exercices des DM des ann´ees pr´ec´edentes
ont ´et´e incorpor´es dans la liste des exercices (fascicule II).

Table des mati`eres
Annexe A. Annales 2011-2012, texte et corrig´e du DS 1, 1h30 1
Annexe B. Annales 2011-2012, texte et corrig´e du DS 2, 1h30 9
Annexe C. Annales 2012-2013, texte et corrig´e du DS 1, 1h30 15
Annexe D. Annales 2012-2013, texte et corrig´e du DS 2, 1h30 19
Annexe E. Annales 2013-2014, texte et corrig´e du DS 1, 1h30 25
Annexe F. Annales 2013-2014, texte du DS 2, 1h30 31
Annexe G. Annales 2014-2015, texte et corrig´e du DS1, 1h30 33
Annexe H. Annales 2014-2015, texte et corrig´e du DS2, 1h30 37
Annexe I. Annales 2014-2015, texte du DM1 et corrig´e 41
Annexe J. Annales 2014-2015, texte du DM2 et corrig´e 47
Annexe K. Annales 2014-2015, texte du DM3 et corrig´e 55
Annexe L. Annales 2012-2013, texte et corrig´e du DS Terminal, 3h00 65
Annexe M. Annales 2013-2014, texte et corrig´e du DS Terminal, 3h00 73
Annexe N. Annales 2014-2015, texte et corrig´e du DS Terminal, 3h00 85
Bibliographie 93
iii

ANNEXE A
Annales 2011-2012, texte et corrig´e du DS 1, 1h30
Exercice I.
Soit aun nombre r´eel. Calculer la somme Pn
k=0 akde la suite g´eom´etrique de raison
a.
On rappelle l’identit´e remarquable
1−Xn+1 = (1 −X)(1 + X+··· +Xn).
En sp´ecifiant X=a, on a
1−an+1 = (1 −a)(1 + a+··· +an) = (1 −a)×
n
X
k=0
ak.
Si a6= 1, on a donc, en divisant par 1 −a6= 0,
n
X
k=0
ak=1−an+1
1−a.
Si a= 1, on a
n
X
k=0
1k=n+ 1.
(1) En d´eduire le calcul de la somme Pm
k=nakpour m≥n.
Si m≥n, on a, en mettant anen facteur dans la somme,
m
X
k=n
ak=an
m−n
X
k=0
ak.
En utilisant le r´esultat ´etabli `a la question pr´ec´edente, on a donc
m
X
k=n
ak=
an×1−am−n+1
1−a=an−am+1 1−asi a6= 1
m−n+ 1 si a= 1.
(2) ( Question de cours) Donner la d´efinition d’une suite de Cauchy.
Une suite de nombres complexes (un)n≥0est dite de Cauchy si et seule-
ment si elle ob´eit au crit`ere de Cauchy :
∀ > 0,∃N()∈Ntel que : ∀m>n≥N(),|um−un|< .
(3) Montrer que la suite de terme g´en´eral un=Pn
k=0 1
(3+e−k)kest une suite
de Cauchy.
1