Quelques questions sur le programme de 1ère S Attention : ce

Quelques questions sur le programme de 1ère S
Attention : ce document n'a pas pour objectif de porter sur la totalité du programme de 1ère S.
1
Déterminer les variations de la fonction  définie sur ] –  ; 0[ par :
(x) = 
.
2
Déterminer la position relative de la courbe de  et de la courbe de g sur l'intervalle
] – 1 ; + [ avec : (x) = 
 et g(x) = 1 – x.
3
Combien fait A =  ?
4
Dans la figure ci-contre, AB = 10, M appartient au segment [AB]
et permet de construire deux carrés.
Où placer M tel que la somme des aires des carrés soit minimale ?
5
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction  : x  .
6
Calculer le taux d'accroissement de la fonction (x) = 
 entre a et a + h (a  0).
7
(x) = x² + 3x – 7.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en x = 3.
Le point A(10 ; 75) appartient-il à la tangente à la courbe de  en 3 ?
8
Quelles doivent être les dimensions d'un rectangle dont le périmètre est 24 cm pour que
son aire soit maximale ?
9
Déterminer les variations de  sur ]–  ; 4] connaissant les informations suivantes :
x
–  – 1 4
Variations de '
18
0 2
10
On dispose de 10 m de fil de fer. Avec x mètres de fil de fer on construit un cube. Avec le
fil de fer restant, on construit le contour d'un disque. Quelle doit être la valeur de x pour
que le total du volume du cube et de l'aire du disque soit minimal ?
11
Le père de Judith lui a prêté un peu de son jardin potager pour qu'elle
cultive ses propres légumes. Il lui a prêté une parcelle qui aura pour
côté un mur et lui a donné une ficelle de 5 mètres pour la délimiter.
Comment placer la ficelle pour qu'elle ait la plus grande parcelle
possible ?
12
On donne un = 
 pour tout entier naturel n.
Calculer u0 ; u1 ; u2 et u3.
13
On donne la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par v0 = 
 et vn+1 = 2vn (1 – vn) + 2.
Calculer v1 ; v2 et v3.
14
Que fait l'algorithme suivant ?
n ← 0
u ← 25000
v ← 25000
Tant que u ≤ v
u ← u × 1,023
v ← v + 840
n ← n + 1
Fin
Afficher n
A M B
mur
ficelle

15
On a : vn = 
 pour n ≥ 1.
Que vaut : 
 ?
16
Calculer la mesure principale de α = 
 et β = –  .
17
Résoudre dans  l'équation : sin(2x) = 
.
18
ABC est un triangle équilatéral direct.
ADB est un triangle rectangle en A.
Calculer la mesure de l'angle orienté : (
; 
)
19
Simplifier : cos
 + cos  + cos  + cos
20
On sait que cos
 =  . Déterminer sin .
21
(d) : 
 = 0. Le point A(2 ; 4) appartient-il à (d) ?
22
(d) : 
 = 0.
Déterminer une équation de la droite (Δ) perpendiculaire à (d) passant par l'origine.
23
ABCD est un carré. I et J sont les milieux respectifs
des côtés [AD] et [CD].
Calculer 
• 
.
24
ABC est un triangle tel que AC = 4 et BC = 7.
Le point I est le milieu de [AC].
Calculer l'angle 
.
25
On donne A(1 ; 1) et B(5 ; – 2).
Calculer les coordonnées des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] avec l'axe
des abscisses.
26
On donne A(1 ; 1) et B(5 ; – 2).
Déterminer l'équation "centre-rayon" du cercle de diamètre [AB].
27
On tire successivement et avec remise 3 cartes d'un jeu de 32 cartes. Soit N la variable
aléatoire égale au nombre de figures obtenues à l'issue de 3 tirages.
Déterminer la loi de probabilité de N.
28
On tire successivement et avec remise 100 cartes d'un jeu de 32 cartes, et on obtient 20
figures. Est-ce normal ?
29
La fréquence du daltonisme en France est de 8,5 % pour les hommes.
On choisit 20 hommes dans la population.
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 daltoniens ?
Quelle est la probabilité d'obtenir moins de 3 daltoniens ?
30
Ecrire un algorithme qui simule le lancer d'un dé jusqu'à l'apparition d'un 6 et qui affiche le
nombre de lancers effectués pour obtenir le premier 6.
B
C
A D
D J C
I
A B
A
I2 6 B
2
C 7

Correction des quelques questions sur le programme de 1ère S
1
Déterminer les variations de la fonction  définie sur
] –  ; 0[ par : (x) = 
.
x
–  0
Var de 
0
– 
Var de – 
+ 
0
Var – 
 + 4
+ 
4
Var de
+ 
2
2
Déterminer la position relative de la courbe de  et de la
courbe de g sur l'intervalle
] – 1 ; + [ avec : (x) = 
 et g(x) = 1 – x.
(x) ≥ g(x)  
 ≥ 0
 ≥ 0 ainsi, sur ]– 1 ; + [ la courbe
de  est toujours strictement au dessus de
la courbe de g sauf en x = 0, où elles sont
confondues.
3
Combien fait A =  ?
A = 2
4
Dans la figure ci-contre, AB = 10,
M appartient au segment [AB] et
permet de construire deux carrés.
Où placer M tel que la somme des
aires des deux carrés soit minimale ?
Posons AM = x. Ainsi, MB = 10 – x.
La somme des aires des deux carrés est
A(x) = x² + (10 – x)² = 2x² – 20x + 100.
L'abscisse du sommet de ce polynôme de
degré 2 est 
 = 5.
Il faudra placer M au milieu de [AB].
5
Déterminer l'ensemble de définition de la fonction
 : x  .
Il faut que x² – 2x – 1 ≥ 0. Δ = 8.
x1 = 1 –  et x2 = 1 + . Le polynôme
est tourné vers le haut donc
D = ]–  ; 1 – ]  [1 +  ; + [
6
Calculer le taux d'accroissement de la fonction (x) = 
entre a et a + h (a  0).
t = 
 =   = 
donc t = 
7
(x) = x² + 3x – 7.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en x = 3.
Le point A(10 ; 75) appartient-il à la tangente à la courbe
de  en 3 ?
'(x) = 2x + 3. (3) = 11. '(3) = 9.
T : y = '(3)(x – 3) + (3)
y = 9x – 16.
Si x = 10 : y = 9 × 10 – 16 = 74. A  T.
8
Quelles doivent être les dimensions d'un rectangle dont le
périmètre est 24 cm pour que son aire soit maximale ?
x la largeur et y la longueur du rectangle.
24 = 2x + 2y donc y = 12 – x.
A(x) = x × y = – x² + 12x.
Abscisse du sommet : 6. Le rectangle
doit être un carré.
9
Déterminer les variations de  sur ]–  ; 4] connaissant les
informations suivantes :
x
–  – 1 4
Variations de '
18
0 2
' est positive sur ]–  ; 4] donc  est
croissante sur cet intervalle.
10
On dispose de 10 m de fil de fer. Avec x mètres de fil de
fer on construit un cube. Avec le fil de fer restant, on
Périmètre du disque : p = 10 – x.
Rayon du disque : r = 
A M B

construit le contour d'un disque. Quelle doit être la valeur
de x pour que le total du volume du cube et de l'aire du
disque soit minimal ?
Longueur d'une arête du cube : x/12.
Volume du cube + aire disque :
V(x) = 
+ π × 
V'(x) = 
 – 
V est minimum lorsque x ≈ 9,097.
11
Le père de Judith lui a prêté un peu de
son jardin potager pour qu'elle cultive
ses propres légumes. Il lui a prêté une
parcelle qui aura pour côté un mur et
lui a donné une ficelle de 5 mètres pour
la délimiter. Comment placer la ficelle pour qu'elle ait la
plus grande parcelle possible ?
Soit x la largeur et y la longueur du
terrain. P = 2x + y = 5 donc y = 5 – 2x.
A(x) = x × y = x (5 – 2x) = – 2x² + 5x.
A est maximale quand x = 1,25.
Dériver (x) = 
 sur  \ {– 3}.
u = 5x – 3 donc u' = 5.
v = (3 + x)² = 9 + 6x + x² donc v' = 6 + 2x
'(x) = 
 .
Après calculs, '(x) = 
Etudier les variations sur +*de la fonction  définie par
(x) = (x² + 1) .
 = u × v. Ainsi :
'(x) = 2x  + (x² + 1) × 
 =  .
Lorsque x > 0, 2 > 0 et 5x² + 1 > 0.
Ainsi '(x) est positive pour x > 0 donc 
est croissante sur +*.
12
On donne un = 
 pour tout entier naturel n.
Calculer u0 ; u1 ; u2 et u3.
u0 = 
 = 2 ; u1 = – 0,25; u2 = – 4/9
et u3 = – 7/16
13
On donne la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par
v0 = 
 et vn+1 = 2vn (1 – vn) + 2.
Calculer v1 ; v2 et v3.
v1 = 0,5 ; v2 = 2,5 et v3 = – 5,5
14
Que fait l'algorithme suivant ?
n ← 0
u ← 25000
v ← 25000
Tant que u ≤ v
u ← u × 1,023
v ← v + 840
n ← n + 1
Fin
Afficher n
Il renvoie la valeur de n lorsque u
dépasse v.
En regardant de plus près, on peut voir les
suites un = 25000 × 1,023n et
vn = 25000 + 840n.
(un) est géométrique et (vn) est arithmétique.
15
On a : vn = 
 pour n ≥ 1.
Que vaut : 
 ?
 = 
 = 
 = vn + 1.
16
Calculer la mesure principale de α = 
 et β = –  .
α = 
 = 3 ×   –   = –   [2π].
β = – 
 = – 4 ×   +   =   [2π].
17
Résoudre dans  l'équation : sin(2x) = 
.
sin(2x) = sin
 donc
x = 
 + kπ ou x =   + kπ, k  
18
ABC est un triangle équilatéral
direct.
ADB est un triangle rectangle en A.
Calculer la mesure de l'angle
orienté : (
; 
)
(
; 
) = (
; 
) + (
; 
) (Chasles)
= (– 
; – 
) – 
= ( 
; 
) – 
 =   –   = – 
mur
ficelle
B
C
A D

19
Simplifier : cos
 + cos  + cos  + cos
Appelons x = 
. Ainsi :   =   – x
 =   – x et   = π – x. On a donc :
cos(x)+cos(
 – x)+cos(  + x)+cos(π – x)
= cos(x) + sin(x) – sin(x) – cos(x) = 0
20
On sait que cos
 =  . Déterminer sin .
sin²
 = 1 – cos²  = 1 – 
= 
 donc sin  =  .
21
(d) : 
 = 0. Le point A(2 ; 4) appartient-il à (d) ?
Si x = 2 et y = 4 alors: 
 = 0 donc
A  (d).
22
(d) : 
 = 0.
Déterminer une équation de la droite (Δ) perpendiculaire à
(d) passant par l'origine.
 est normal à (d) et est un
vecteur directeur de (Δ), donc (Δ) :
 + c = 0. Or (Δ) passe par l'origine
(0 ; 0) donc 
 + c = 0 ainsi c = 0 et
(Δ) : 
23
ABCD est un carré de côté 1. I et J sont
les milieux respectifs des côtés [AD] et
[CD].
Calculer 
• 
.
• 
= 
• 
= 
• 
+ 
• 
+ 
• 
+ 
• 
= 0 + AD × 
AD – AB ×   AB + 0
= 0. (AD = AB, on est dans un carré)
Donc (AJ) est perpendiculaire à (BI).
24
ABC est un triangle tel que
AC = 4 et BC = 7.
Le point I est le milieu de
[AC].
Calculer l'angle 
.
D'après le théorème de la médiane,
AB = .
D'après le théorème d'Al Kashi,
cos(
) = – 
. Donc 
 ≈ 92,57°
25
On donne A(1 ; 1) et B(5 ; – 2).
Calculer les coordonnées des points d'intersection du
cercle de diamètre [AB] avec l'axe des abscisses.
C : (x – 1)(x – 5) + (y – 1)(y + 2) = 0.
Lorsque y = 0, on résout :
(x – 1)(x – 5) – 2 = 0 càd x² – 6x + 3 = 0.
Δ = 24 ; x1 = 3–  et x2 = 3 + .
Coordo (3 –  ; 0) et (3 +  ; 0)
26
On donne A(1 ; 1) et B(5 ; – 2).
Déterminer l'équation "centre-rayon" du cercle de diamètre
[AB].
Milieu de [AB] : (3 ; – 0,5)
Carré du rayon : r² = 6,25
C : (x – 3)² + (y + 0,5)² = 6,25
27
On tire successivement et avec remise 3 cartes d'un jeu de
32 cartes. Soit N la variable aléatoire égale au nombre de
figures obtenues à l'issue de 3 tirages.
Déterminer la loi de probabilité de N.
N  B(3 ; 
). Ainsi, pour tous les entiers
k variant de 0 à 3, on a :
P(N = k) = 
 × 
 × 
28
On tire successivement et avec remise 100 cartes d'un jeu
de 32 cartes, et on obtient 20 figures. Est-ce normal ?
N  B(100 ; 
). A la calculatrice on fait :
BinomFRép(100,3/8)→L1 pour trouver a
et b de l'intervalle de fluctuation. a = 28
et b = 47. Donc 0,2 [0,28 ; 0,47].
On peut supposer que le jeu est truqué.
29
La fréquence du daltonisme en France est de 8,5 % pour
les hommes. On choisit 20 hommes dans la population.
Quelle est la probabilité d'obtenir 2 daltoniens ?
Soit X la variable aléatoire comptant le
nombre de daltoniens sur un échantillon
de 20 hommes. X  B(20 ; 0,085).
D J C
I
A B
A
I2 6 B
2
C 7