Quelques questions sur le programme de 1ère S Attention : ce document n'a pas pour objectif de porter sur la totalité du programme de 1ère S. Déterminer les variations de la fonction définie sur ] – ; 0[ par : 1 2 3 4 (x) = . Déterminer la position relative de la courbe de et de la courbe de g sur l'intervalle ] – 1 ; + [ avec : (x) = et g(x) = 1 – x. Combien fait A = ? Dans la figure ci-contre, AB = 10, M appartient au segment [AB] et permet de construire deux carrés. Où placer M tel que la somme des aires des carrés soit minimale ? 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A M B Déterminer l'ensemble de définition de la fonction : x . Calculer le taux d'accroissement de la fonction (x) = entre a et a + h (a 0). (x) = x² + 3x – 7. Déterminer l'équation réduite de la tangente en x = 3. Le point A(10 ; 75) appartient-il à la tangente à la courbe de en 3 ? Quelles doivent être les dimensions d'un rectangle dont le périmètre est 24 cm pour que son aire soit maximale ? Déterminer les variations de sur ]– ; 4] connaissant les informations suivantes : x – –1 4 18 Variations de ' 0 2 On dispose de 10 m de fil de fer. Avec x mètres de fil de fer on construit un cube. Avec le fil de fer restant, on construit le contour d'un disque. Quelle doit être la valeur de x pour que le total du volume du cube et de l'aire du disque soit minimal ? Le père de Judith lui a prêté un peu de son jardin potager pour qu'elle mur cultive ses propres légumes. Il lui a prêté une parcelle qui aura pour côté un mur et lui a donné une ficelle de 5 mètres pour la délimiter. ficelle Comment placer la ficelle pour qu'elle ait la plus grande parcelle possible ? On donne un = pour tout entier naturel n. Calculer u0 ; u1 ; u2 et u3. On donne la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par v0 = et vn+1 = 2vn (1 – vn) + 2. Calculer v1 ; v2 et v3. Que fait l'algorithme suivant ? n←0 u ← 25000 v ← 25000 Tant que u ≤ v u ← u × 1,023 v ← v + 840 n←n+1 Fin Afficher n On a : vn = pour n ≥ 1. 15 Que vaut : ? 16 Calculer la mesure principale de α = et β = – 17 Résoudre dans l'équation : sin(2x) = ABC est un triangle équilatéral direct. ADB est un triangle rectangle en A. . . B C 18 Calculer la mesure de l'angle orienté : ( ; ) A 19 Simplifier : cos + cos 20 On sait que cos = 21 (d) : 22 (d) : = 0. Déterminer une équation de la droite (Δ) perpendiculaire à (d) passant par l'origine. 23 28 29 30 . D J C I A I2 2 C 27 Déterminer sin ABCD est un carré. I et J sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [CD]. 24 26 . + cos = 0. Le point A(2 ; 4) appartient-il à (d) ? • Calculer 25 + cos D . A B 6 7 B ABC est un triangle tel que AC = 4 et BC = 7. Le point I est le milieu de [AC]. Calculer l'angle . On donne A(1 ; 1) et B(5 ; – 2). Calculer les coordonnées des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] avec l'axe des abscisses. On donne A(1 ; 1) et B(5 ; – 2). Déterminer l'équation "centre-rayon" du cercle de diamètre [AB]. On tire successivement et avec remise 3 cartes d'un jeu de 32 cartes. Soit N la variable aléatoire égale au nombre de figures obtenues à l'issue de 3 tirages. Déterminer la loi de probabilité de N. On tire successivement et avec remise 100 cartes d'un jeu de 32 cartes, et on obtient 20 figures. Est-ce normal ? La fréquence du daltonisme en France est de 8,5 % pour les hommes. On choisit 20 hommes dans la population. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 daltoniens ? Quelle est la probabilité d'obtenir moins de 3 daltoniens ? Ecrire un algorithme qui simule le lancer d'un dé jusqu'à l'apparition d'un 6 et qui affiche le nombre de lancers effectués pour obtenir le premier 6. Correction des quelques questions sur le programme de 1ère S – 0 x Var de Déterminer les variations de la fonction définie sur 1 ] – ; 0[ par : (x) = 0 – + Var de – 0 . + Var – + 4 4 + Var de 2 (x) ≥ g(x) 2 3 4 Déterminer la position relative de la courbe de et de la courbe de g sur l'intervalle ] – 1 ; + [ avec : (x) = et g(x) = 1 – x. Combien fait A = 5 ≥ 0 ainsi, sur ]– 1 ; + [ la courbe de est toujours strictement au dessus de la courbe de g sauf en x = 0, où elles sont confondues. A=2 ? Dans la figure ci-contre, AB = 10, M appartient au segment [AB] et permet de construire deux carrés. Où placer M tel que la somme des aires des deux carrés soit minimale ? A M B Déterminer l'ensemble de définition de la fonction :x ≥0 . Posons AM = x. Ainsi, MB = 10 – x. La somme des aires des deux carrés est A(x) = x² + (10 – x)² = 2x² – 20x + 100. L'abscisse du sommet de ce polynôme de degré 2 est = 5. Il faudra placer M au milieu de [AB]. Il faut que x² – 2x – 1 ≥ 0. Δ = 8. x1 = 1 – et x2 = 1 + . Le polynôme est tourné vers le haut donc D = ]– ; 1 – ] [1 + ; + [ Calculer le taux d'accroissement de la fonction (x) = entre a et a + h (a 0). t= 7 (x) = x² + 3x – 7. Déterminer l'équation réduite de la tangente en x = 3. Le point A(10 ; 75) appartient-il à la tangente à la courbe de en 3 ? 8 Quelles doivent être les dimensions d'un rectangle dont le périmètre est 24 cm pour que son aire soit maximale ? '(x) = 2x + 3. (3) = 11. '(3) = 9. T : y = '(3)(x – 3) + (3) y = 9x – 16. Si x = 10 : y = 9 × 10 – 16 = 74. A T. x la largeur et y la longueur du rectangle. 24 = 2x + 2y donc y = 12 – x. A(x) = x × y = – x² + 12x. Abscisse du sommet : 6. Le rectangle doit être un carré. 9 Déterminer les variations de sur ]– ; 4] connaissant les informations suivantes : x – –1 4 18 Variations de ' 0 2 ' est positive sur ]– ; 4] donc est croissante sur cet intervalle. 10 On dispose de 10 m de fil de fer. Avec x mètres de fil de fer on construit un cube. Avec le fil de fer restant, on Périmètre du disque : p = 10 – x. Rayon du disque : r = 6 = = donc t = construit le contour d'un disque. Quelle doit être la valeur de x pour que le total du volume du cube et de l'aire du disque soit minimal ? Longueur d'une arête du cube : x/12. Volume du cube + aire disque : +π× V(x) = V'(x) = – V est minimum lorsque x ≈ 9,097. 11 Le père de Judith lui a prêté un peu de mur son jardin potager pour qu'elle cultive ses propres légumes. Il lui a prêté une ficelle parcelle qui aura pour côté un mur et lui a donné une ficelle de 5 mètres pour la délimiter. Comment placer la ficelle pour qu'elle ait la plus grande parcelle possible ? Soit x la largeur et y la longueur du terrain. P = 2x + y = 5 donc y = 5 – 2x. A(x) = x × y = x (5 – 2x) = – 2x² + 5x. A est maximale quand x = 1,25. u = 5x – 3 donc u' = 5. v = (3 + x)² = 9 + 6x + x² donc v' = 6 + 2x Dériver (x) = sur '(x) = \ {– 3}. . Après calculs, '(x) = = u × v. Ainsi : Etudier les variations sur (x) = (x² + 1) . 12 13 14 On donne un = + de la fonction définie par * '(x) = 2x pour tout entier naturel n. Calculer u0 ; u1 ; u2 et u3. On donne la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par v0 = et vn+1 = 2vn (1 – vn) + 2. Calculer v1 ; v2 et v3. Que fait l'algorithme suivant ? n←0 u ← 25000 v ← 25000 Tant que u ≤ v u ← u × 1,023 v ← v + 840 n←n+1 Fin Afficher n Que vaut : = . Lorsque x > 0, 2 > 0 et 5x² + 1 > 0. Ainsi '(x) est positive pour x > 0 donc est croissante sur +*. u0 = = 2 ; u1 = – 0,25; u2 = – 4/9 et u3 = – 7/16 v1 = 0,5 ; v2 = 2,5 et v3 = – 5,5 Il renvoie la valeur de n lorsque u dépasse v. En regardant de plus près, on peut voir les suites un = 25000 × 1,023n et vn = 25000 + 840n. (un) est géométrique et (vn) est arithmétique. On a : vn = pour n ≥ 1. 15 + (x² + 1) × = = = vn + 1 . ? 16 Calculer la mesure principale de α = et β = – 17 Résoudre dans . 18 ABC est un triangle équilatéral direct. ADB est un triangle rectangle en A. Calculer la mesure de l'angle orienté : ( ; ) α= . =3× β=– – = – [2π]. =–4× + = [2π]. sin(2x) = sin donc l'équation : sin(2x) = x = + kπ ou ( ; = (– B C A D =( x = + kπ, k )=( ; ;– )– ; )– = )+( – =– ; ) (Chasles) Appelons x = 19 Simplifier : cos + cos 20 On sait que cos = + cos = – x et + cos Déterminer sin 22 23 (d) : = 0. Le point A(2 ; 4) appartient-il à (d) ? (d) : = 0. Déterminer une équation de la droite (Δ) perpendiculaire à (d) passant par l'origine. ABCD est un carré de côté 1. I et J sont les milieux respectifs des côtés [AD] et [CD]. D J . A A I2 2 C B 6 7 Calculer l'angle 25 26 27 C I • Calculer 24 = 1 – cos² =1– . = 21 = π – x. On a donc : cos(x)+cos( – x)+cos( + x)+cos(π – x) = cos(x) + sin(x) – sin(x) – cos(x) = 0 sin² . = –x . Ainsi : B ABC est un triangle tel que AC = 4 et BC = 7. Le point I est le milieu de [AC]. . On donne A(1 ; 1) et B(5 ; – 2). Calculer les coordonnées des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] avec l'axe des abscisses. On donne A(1 ; 1) et B(5 ; – 2). Déterminer l'équation "centre-rayon" du cercle de diamètre [AB]. On tire successivement et avec remise 3 cartes d'un jeu de 32 cartes. Soit N la variable aléatoire égale au nombre de figures obtenues à l'issue de 3 tirages. Déterminer la loi de probabilité de N. 28 On tire successivement et avec remise 100 cartes d'un jeu de 32 cartes, et on obtient 20 figures. Est-ce normal ? 29 La fréquence du daltonisme en France est de 8,5 % pour les hommes. On choisit 20 hommes dans la population. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 daltoniens ? donc sin = . Si x = 2 et y = 4 alors: A (d). = 0 donc est normal à (d) et est un vecteur directeur de (Δ), donc (Δ) : + c = 0. Or (Δ) passe par l'origine (0 ; 0) donc + c = 0 ainsi c = 0 et (Δ) : • • = • + • + • + • = 0 + AD × AD – AB × AB + 0 = 0. (AD = AB, on est dans un carré) Donc (AJ) est perpendiculaire à (BI). = D'après le théorème de la médiane, AB = . D'après le théorème d'Al Kashi, cos( )=– . Donc ≈ 92,57° C : (x – 1)(x – 5) + (y – 1)(y + 2) = 0. Lorsque y = 0, on résout : (x – 1)(x – 5) – 2 = 0 càd x² – 6x + 3 = 0. Δ = 24 ; x1 = 3– et x2 = 3 + . Coordo (3 – ; 0) et (3 + ; 0) Milieu de [AB] : (3 ; – 0,5) Carré du rayon : r² = 6,25 C : (x – 3)² + (y + 0,5)² = 6,25 N B(3 ; ). Ainsi, pour tous les entiers k variant de 0 à 3, on a : P(N = k) = × × N B(100 ; ). A la calculatrice on fait : BinomFRép(100,3/8)→L1 pour trouver a et b de l'intervalle de fluctuation. a = 28 et b = 47. Donc 0,2 [0,28 ; 0,47]. On peut supposer que le jeu est truqué. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre de daltoniens sur un échantillon de 20 hommes. X B(20 ; 0,085). Quelle est la probabilité d'obtenir moins de 3 daltoniens ? 30 Ecrire un algorithme qui simule le lancer d'un dé jusqu'à l'apparition d'un 6 et qui affiche le nombre de lancers effectués pour obtenir le premier 6. P(X = 2) = BinomFdp(20,0.085,2) ≈ 0,28 P(X≤2) =BinomFRép(20,0.085,2) ≈ 0,76 D prend la valeur NbAlea(1,6) C prend la valeur 1 Tant que D < 6 D prend la valeur NbAlea(1,6) C prend la valeur C + 1 Fin Tant que Afficher C