examen terminal - IMJ-PRG

Universit´e Pierre-et-Marie Curie
Master de math´ematiques, cours Groupes finis et repr´esentations, examen
terminal du 9 mai 2017.
Enseignant : Antoine Ducros
Dur´ee : 3 heures. Les documents et calculatrices sont interdits. Pour traiter
une question, on pourra utiliser le r´esultat de toute question pr´ec´edente, mˆeme
si on ne l’a pas trait´ee.
Exercice 1. Questions de cours.
(a) Soit pun nombre premier et soit Gun p-groupe. Soit Kun corps de
caract´eristique p. Donnez la liste `a isomorphisme pr`es de toutes les
repr´esentations K-lin´eaires irr´eductibles de G(on ne demande pas de
justification).
(b) Donnez un exemple de repr´esentation lin´eaire de dimension finie d’un
groupe fini qui est ind´ecomposable mais n’est pas irr´eductible (l`a encore,
on ne demande pas de justification).
Exercice 2.
(a) Soit Aun groupe ab´elien not´e additivement, soit λ∈Aet soient σet τ
les applications de Adans Ad´efinies respectivement par les formules
σ(x) = −xet τ(x) = λ−x.
Montrez que σet τsont des ´el´ements de SA, et calculez σ2, τ2et στ.
(b) Montrez que dans le groupe ha, b|a2, b2i, l’´el´ement ab est d’ordre infini.
(c) Montrez que pour tout entier n > 0 l’´el´ement ab du groupe
ha, b|a2, b2,(ab)niest d’ordre exactement n.
Exercice 3. Soit Gun groupe de cardinal 273 = 3 ×7×13. Pour p= 3,7 et
13 on fixe un p-sous-groupe de Sylow Spde G.
(a) Montrez que S13 et S7sont distingu´es dans G.
(b) Montrez que S13S7est un sous-groupe de cardinal 91 de G, qu’on note
S91. Montrez que S91 est isomorphe `a Z/13ZoϕZ/7Zpour un certain
ϕ, puis qu’il est cyclique.
(c) Montrez que S91 est distingu´e dans G, puis que G=S91S3. En d´eduire
que G'Z/91ZoψZ/3Zpour un certain ψ.
(d) En d´eduire que le nombre Nde classes d’isomorphie de groupes de
cardinal 273 est inf´erieur ou ´egal `a 9.
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(e) Am´eliorez l’estimation de la question pr´ec´edente en montrant qu’on a en
fait N65.
(f) Montrez que N>4. Cette question est difficile. On pourra s’int´eresser
au centre du groupe.
Exercice 4. Dans cet exercice, repr´esentationsignifie repr´esentation C-
lin´eaire de dimension finie. Soit Gun groupe fini.
(a) Soient get hdeux ´el´ements de G. Montrez que get hsont conjugu´es si et
seulement si χV(g) = χV(h) pour toute repr´esentation Vde G(comme
d’habitude, on d´esigne par χVle caract`ere de V).
(b) Soit gun ´el´ement de G. Montrez que gest conjugu´e `a g−1si et seulement
si χV(g) est r´eel pour toute repr´esentation irr´eductible Vde G.
(c) Montrez que pour tout entier net toute repr´esentation Vde Sn, le
caract`ere χVest `a valeurs r´eelles.
(d) Montrez qu’il existe une repr´esentation irr´eductible Vde A7telle que
que χV((1 2 3 4 5 6 7)) ne soit pas r´eel.
Exercice 5. Dans cet exercice, repr´esentationsignifie repr´esentation C-
lin´eaire de dimension finie. Soit qune puissance d’un nombre premier, et soit
Fqlecorps `a q´el´ements. On rappelle que le groupe F×
qest cyclique, et on
en choisit un g´en´erateur ζ. Pour tout couple (a, b)∈F×
q×Fqon note ua,b la
bijection de Fqdans lui-mˆeme donn´ee par la formule
ua,b(x) = ax +b.
On note Gl’ensemble des bijections ua,b pour (a, b)∈F×
q×Fq.
(a) V´erifiez que (a, b)7→ u(a,b)est injective.
(b) Montrez que Gest un sous-groupe de SFq, et qu’il est isomorphe `a un
produit semi-direct
(Fq,+) oϕ(F×
q,×)
pour un certain ϕque l’on d´eterminera.
(c) Soit aun ´el´ement de Fqdiff´erent de 0 et de 1. Montrez que {ua,b}b∈Fq
est une classe de conjugaison de G.
(d) Montrez que l’ensemble {u1,b}b∈F×
qest une classe de conjugaison de G.
(e) Construire (q−1) repr´esentations de dimension 1 deux `a deux non
isomorphes de G, `a partir des repr´esentations de F×
q; on d´ecrira le
caract`ere de chacune d’elles par une formule explicite, en utilisant le
g´en´erateur ζ.
(f) Montrez que les repr´esentations irr´eductibles de G`a isomorphisme pr`es
sont d’une part celles construites en (e) et d’autre part une repr´esentation
Vdont on donnera la dimension et le caract`ere.
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(g) Soit Wla C-lin´earis´ee de l’op´eration naturelle de Gsur l’ensemble Fq;
on note (ex)x∈Fqla base standard de W, et W0la sous-repr´esentation
de W´egale `a {Paxwx,Pax= 0}. Montrez que W0est isomorphe `a
la repr´esentation Vd´ecrite en (f). Expliquez comment on peut v´erifier
directement (sans utiliser le reste de l’exercice) que W0est irr´eductible.
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