examen terminal - IMJ-PRG

Université Pierre-et-Marie Curie
Master de mathématiques, cours Groupes finis et représentations, examen
terminal du 9 mai 2017.
Enseignant : Antoine Ducros
Durée : 3 heures. Les documents et calculatrices sont interdits. Pour traiter
une question, on pourra utiliser le résultat de toute question précédente, même
si on ne l’a pas traitée.
Exercice 1. Questions de cours.
(a) Soit p un nombre premier et soit G un p-groupe. Soit K un corps de
caractéristique p. Donnez la liste à isomorphisme près de toutes les
représentations K-linéaires irréductibles de G (on ne demande pas de
justification).
(b) Donnez un exemple de représentation linéaire de dimension finie d’un
groupe fini qui est indécomposable mais n’est pas irréductible (là encore,
on ne demande pas de justification).
Exercice 2.
(a) Soit A un groupe abélien noté additivement, soit λ ∈ A et soient σ et τ
les applications de A dans A définies respectivement par les formules
σ(x) = −x et τ (x) = λ − x.
Montrez que σ et τ sont des éléments de SA , et calculez σ 2 , τ 2 et στ .
(b) Montrez que dans le groupe ha, b|a2 , b2 i, l’élément ab est d’ordre infini.
(c) Montrez que pour tout entier n > 0 l’élément ab du groupe
ha, b|a2 , b2 , (ab)n i est d’ordre exactement n.
Exercice 3. Soit G un groupe de cardinal 273 = 3 × 7 × 13. Pour p = 3, 7 et
13 on fixe un p-sous-groupe de Sylow Sp de G.
(a) Montrez que S13 et S7 sont distingués dans G.
(b) Montrez que S13 S7 est un sous-groupe de cardinal 91 de G, qu’on note
S91 . Montrez que S91 est isomorphe à Z/13Z oϕ Z/7Z pour un certain
ϕ, puis qu’il est cyclique.
(c) Montrez que S91 est distingué dans G, puis que G = S91 S3 . En déduire
que G ' Z/91Z oψ Z/3Z pour un certain ψ.
(d) En déduire que le nombre N de classes d’isomorphie de groupes de
cardinal 273 est inférieur ou égal à 9.
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(e) Améliorez l’estimation de la question précédente en montrant qu’on a en
fait N 6 5.
(f) Montrez que N > 4. Cette question est difficile. On pourra s’intéresser
au centre du groupe.
Exercice 4. Dans cet exercice, représentation signifie
linéaire de dimension finie. Soit G un groupe fini.
représentation C-
(a) Soient g et h deux éléments de G. Montrez que g et h sont conjugués si et
seulement si χV (g) = χV (h) pour toute représentation V de G (comme
d’habitude, on désigne par χV le caractère de V ).
(b) Soit g un élément de G. Montrez que g est conjugué à g −1 si et seulement
si χV (g) est réel pour toute représentation irréductible V de G.
(c) Montrez que pour tout entier n et toute représentation V de Sn , le
caractère χV est à valeurs réelles.
(d) Montrez qu’il existe une représentation irréductible V de A7 telle que
que χV ((1 2 3 4 5 6 7)) ne soit pas réel.
Exercice 5. Dans cet exercice, représentation signifie représentation Clinéaire de dimension finie. Soit q une puissance d’un nombre premier, et soit
Fq le corps à q éléments. On rappelle que le groupe F×
q est cyclique, et on
en choisit un générateur ζ. Pour tout couple (a, b) ∈ F×
×
Fq on note ua,b la
q
bijection de Fq dans lui-même donnée par la formule
ua,b (x) = ax + b.
On note G l’ensemble des bijections ua,b pour (a, b) ∈ F×
q × Fq .
(a) Vérifiez que (a, b) 7→ u(a,b) est injective.
(b) Montrez que G est un sous-groupe de SFq , et qu’il est isomorphe à un
produit semi-direct
(Fq , +) oϕ (F×
q , ×)
pour un certain ϕ que l’on déterminera.
(c) Soit a un élément de Fq différent de 0 et de 1. Montrez que {ua,b }b∈Fq
est une classe de conjugaison de G.
(d) Montrez que l’ensemble {u1,b }b∈F×
est une classe de conjugaison de G.
q
(e) Construire (q − 1) représentations de dimension 1 deux à deux non
isomorphes de G, à partir des représentations de F×
q ; on décrira le
caractère de chacune d’elles par une formule explicite, en utilisant le
générateur ζ.
(f) Montrez que les représentations irréductibles de G à isomorphisme près
sont d’une part celles construites en (e) et d’autre part une représentation
V dont on donnera la dimension et le caractère.
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(g) Soit W la C-linéarisée de l’opération naturelle de G sur l’ensemble Fq ;
on note (ex )x∈FP
la baseP
standard de W , et W 0 la sous-représentation
q
de W égale à { ax wx , ax = 0}. Montrez que W 0 est isomorphe à
la représentation V décrite en (f). Expliquez comment on peut vérifier
directement (sans utiliser le reste de l’exercice) que W 0 est irréductible.
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