Représentations des groupes finis et théories des - IMJ-PRG

Chapitre 10
Repr´esentations des groupes
finis et th´eorie des caract`eres
10.1 Exemples
On rappelle qu’une repr´esentation d’un groupeGest un morphisme du
groupeGvers un groupelin´eaire GL(V) o`uVest un espace vectoriel sur
un corps k.Ondira k-repr´esentation pour pr´eciser le corps. On dit que la
repr´esentation est fid`ele lorsque le morphisme est injectif. Une repr´esentation
sur le k-espace vectoriel V´equivaut `a une structure de k[G]-module surV.
La dimension de Vest appel´ee le degr´ede la repr´esentation. On n’´etudie ici
que les repr´esentations de degr´efini.
Groupecyclique d’ordre m
Pour m≥2, soit Cm=<a;am>le groupecyclique d’ordre m.Un
repr´esentation ρ:Cm→GLn(k)=GL(kn)est d´efinie par
ρ(ai)=Ai,
o`uAest une matrice telle que Am=I.
Deux repr´esentations correspondantaux matrices Aet A′sontisomorphes si
et seulementsi les matrices Aet A′sontsemblables.
Les repr´esentations de degr´e1sonten bijection avec les racines m-i`emes de
l’unit´edans le corps k.Elles sontirr´eductibles.
Proposition 10.1.1. Toute repr´esentation du groupecyclique Cmde dimen-
sion finie sur le corps des complexes est somme directe de repr´esentations de
degr´e1.
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Groupesym´etrique S3
Notons r=(123), s=(12). Le groupesym´etrique S3est isomorphe au groupe
de pr´esentation hr,s;r3,s2,rsrsi.Unerepr´esentation ρ:S3→GLn(k)est
d´efinie par deux matrices inversibles ρ(r)=R,ρ(s)=S,qui satisfontles
relations
R3=S2=(RS)2=I.
Pour k=Cet n=2, R= j0
0j2!,et S= 0 1
1 0!conviennentet d´efinissent
une repr´esentation de degr´e2irr´eductible.
10.2 R´eductibilit´eet lemme de Schur
Th´eor`eme 10.2.1 (Maschke).Soit Gun groupefini et ρ:G→GL(V)une
k-repr´esentation de degr´efini. Si la caract´eristique du corps de base kest
nulle ou ne divise pas l’ordrede G,alors pour tout sous-module Wil existe
un sous-module W′telle que W⊕W′=V(sous-module compl´ementaire).
Corollaire 10.2.2. Soit Gun groupefini et ρ:G→GL(V)une
repr´esentation de degr´efini. Si la caract´eristique du corps de base kest
nulle ou ne divise pas l’ordrede G,alors Vest semi-simple (compl`etement
r´eductible).
Lemme 10.2.3 (de Schur).Soient Vet V′deux k-repr´esentations
irr´eductibles d’un groupefini G.
a) Si T:V→V′est k[G]-lin´eaire, alors soit Test nulle, soit Test un
isomorphisme.
b) Si kest un corps alg´ebriquement clos, alors toute application k[G]-lin´eaire
T:V→Vest un multiple de l’identit´e:
Endk[G](V)=kId .
Exercice10.2.4.Montrer que si Vest un k[G]-module pour lequel tout k[G]-
endomorphisme est multiple del’identit´e, alors Vest simple.
Exercice10.2.5.Montrer que si Gest un groupeab´elien fini, toute
repr´esentation irr´eductible de degr´efini de Gest de degr´e1.
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10.3 Caract`eres
D´efinition 10.3.1. Soit ρ:G→Vune k-repr´esentation de degr´efini. Le
caract`ere de Vest la fonction :
χV:G→k
g7→ Tr(ρ(g))
Proposition 10.3.2. a) χV(e)=dim(V).
b) ∀(g,h)∈G2,χV(ghg−1)=χV(h).
Proposition 10.3.3. Pour k=C,
c) ∀g∈GχV(g)est somme de racines de l’unit´e(les valeurs propres de
ρ(g)).
d) ∀g∈G,χV(g−1)=χV(g).
D´efinition 10.3.4. Une fonction f∈CGest centrale si etseulementsi elle
est constante sur les classes deconjugaison (propri´et´eb).
Proposition 10.3.5. Les fonctions centrales forment un espace vectoriel
C(G, C)dont la dimension est le nombrede classes de conjugaison.
L’espace C(G, C)des fonctions centrales est muni du produit scalaire hermi-
tien :
<u, v>=1
|G|X
g∈G
u(g)v(g).
Th´eor`eme 10.3.6 (Orthogonalit´edes caract`eres).
a) Deux C-repr´esentations irr´eductibles non isomorphes Vet V′d’un groupe
fini Gont des caract`eres orthogonaux :<χV,χV′>=0
b) Le caract`ered’une C-repr´esentation irr´eductible Vest unitaire:
<χV,χV>=1.
Corollaire 10.3.7. Il n’y aqu’un nombrefini de repr´esentations irr´eductibles
deux `a deux non isomorphes.
On avu qu’une repr´esentation de degr´efini du groupefini Gse d´ecompose
en somme directe de repr´esentations irr´eductibles :
W≃V⊕m1
1⊕···⊕V⊕mν
ν.
o`ules Vjsontdes repr´esentations irr´eductibles deux `a deux non isomorphes.
Les mjsontappel´es les multiplicit´es ;ils sontd´etermin´es par le caract`ere :
mj=<χW,χVj>.
Corollaire 10.3.8. Deux repr´esentations sont isomorphes si et seulement si
elles ont le mˆeme caract`ere.
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10.4 Construction de repr´esentations
Soit ρ:G→GL(V)une k-repr´esentation du groupeG,alors la
repr´esentation duale est :
ρ∗:G→GL(V∗)
g7→ tρ(g−1)
Exercice10.4.1.a) V´erifier que ρ∗est une repr´esentation.
b) Expliciter la repr´esentation ρ∗⊗ρ.
c) Montrer que si kest muni de la repr´esentation triviale (constante), alors
l’´evaluation e:V∗⊗V→kest k[G]-lin´eaire.
Proposition 10.4.2. Le caract`erede la C-repr´esentation duale de Vest :
χV∗=χV.
Lemme 10.4.3. Etant donn´edeux espaces vectoriels de dimensions finis V
et V′,on aun isomorphisme canonique :
V∗⊗V′≃Hom(V,V′).
Il en r´esulte que si ρ:G→GL(V)et ρ′:G→GL(V′)sontdeux
repr´esentations de degr´es finis, alors ρ∗⊗ρ′d´efinit une repr´esentation sur
l’espace Hom(V,V′)de caract`ere χVχV′.
10.5 Formule de projection
D´efinition 10.5.1. Etantdonn´eun k[G]-module V,l’espace des invariants
est le sous-espace vectoriel VGdes vecteurs invariants sous l’action de tous
les ´el´ements du groupeG.
Proposition 10.5.2. Si Vest un k[G]-module, l’endomorphisme
p1=1
|G|X
g∈G
ρ(g)est k[G]-lin´eaire. C’est un projecteur d’image VG.
Corollaire 10.5.3.
dim(VG)=1
|G|X
g∈G
χV(g).
La preuvedu th´eor`eme d’orthogonalit´edes caract`eresest cons´equence de
cette proposition et du lemme qui suit.
Lemme 10.5.4.
Hom(V,V′)G=Homk[G](V,V′).
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10.6 La repr´esentation r´eguli`ere
D´efinition 10.6.1. La repr´esentation r´eguli`ere du groupeGest l’espace
R=k[G]muni de la repr´esentation qui ´etend la translation `a gauche.
Proposition 10.6.2. On a:χR(g)=0pour g6=e,et χR(e)=|G|.
Corollaire 10.6.3. Si Vest une C-repr´esentation irr´eductible du groupefini
G,alors la multiplicit´ede Vdans la repr´esentation r´eguli`ereest le degr´ede
V.
Il en r´esulte une formule pour les dimensions dides repr´esentations
irr´eductibles deux `a deux non isomorphes :
|G|=X
i
d2
i.
Th´eor`eme 10.6.4. Les caract`eres des C-repr´esentations irr´eductibles du
groupefini Gforment une base othonorm´ee de l’espacedes fonctions cen-
trales, ce qui veut direque le nombrede repr´esentations irr´eductibles deux `a
deux non isomorphes est ´egal au nombrede classes de conjugaison.
D´emonstration. Soit α∈C(G, C)une fonction centrale sur le groupefini G
orthogonale `a tous les caract`eres irr´eductibles. Ils’agit de montrer que αest
nulle. Pour une repr´esentation ρ:G→GL(V), on d´efinit :
pα,V =1
|G|X
g
α(g)ρ(g).
On v´erifie que pour tout h∈G,pα,V commute avec ρ(h):pα,V ∈EndC[G](V).
Dans le cas o`uVest irr´eductible, le lemme de Schur nous donne pα,V =λId.
On calcule :
λdim(V)=Tr(pα,V )=1
|G|X
g
α(g)χV(g)=<α,χV∗>=0.
En utilisant la d´ecomposition en irr´eductibles, on obtientque pα,W est nulle
pour toute repr´esentation de degr´efini. Avec la repr´esentation r´eguli`ere R,
les translations `a gauche sontlin´eairementind´ependantes dans GL(R), donc
tous les α(g)sontnuls.
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