A - Mécanique B - Onde sur une corde tendue

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Classe de MPSI
Devoir libre n°1
DEVOIR LIBRE DE SCIENCES PHYSIQUES N°1
A - Mécanique
Une particule M de masse m peut glisser sur un rail horizontal X’ X fixe dans le référentiel terrestre R supposé
galiléen.
La masse M est fixée à l’extrémité d’un ressort de raideur k dont l’autre extrémité est fixe dans R.
La position de M est repérée par son abscisse x. x = 0 correspond au ressort détendu.
1) Le glissement s’effectue, dans un premier temps, sans frottement.
Représenter, sur un dessin, les forces exercées sur M dans le cas où x > 0, faire un bilan de ces forces, puis,
par application de la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l’équation différentielle vérifiée par
x(t). (Ne pas la résoudre pour l’instant).
2) Donner l’expression de l’énergie potentielle élastique emmagasinée dans le ressort en fonction de k et x.
3) Exprimer l’énergie mécanique du système {masse + ressort} en fonction de m, k, x et de sa dérivée
x
&
. Est-
elle conservée au cours du mouvement ? (justifier)
4) De ce qui précède, déduire à nouveau l’équation différentielle du mouvement de M.
5) Résoudre l’équation différentielle et obtenir l’équation horaire x(t) du mouvement de M dans le cas où M
est lancée à t = 0 de l’abscisse x
0
avec la vitesse x00
u.xv
r
&
r
=
. (en fonction de
tmkxx ,,,,
00
&
)
B - Onde sur une corde tendue
Entre deux murs, on tend une corde de masse m = 50 g et de longueur L = 3 m. Un dynamomètre permet de
mesurer la tension F = 200 N qui s'exerce sur la corde.
1. Par analyse dimensionnelle, proposer une expression de la vitesse de propagation des ondes dans cette corde.
Calculer cette vitesse.
2. Déterminer les longueurs d'onde des modes propres de cette corde, puis les fréquences associées.
3. On déforme localement la corde de façon à générer une impulsion. Exprimer la durée nécessaire pour que
celle-ci fasse un aller-retour sur la corde. Que peut-on dire de la fréquence de ces allers-retours ?
4. Sur quels paramètres peut-on jouer pour modifier la fréquence d'oscillation d'une corde ? Illustrer cette
réponse sur l’exemple d’une corde de guitare.
Ressort non déformé
X’ 0 X
y
u
r
x u
r
0
M
X’ 0 X
y
u
r
x u
r
0 x
Ressort déformé de x
M

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Classe de MPSI
Devoir libre n°1
C - Interférences sonores
Deux petits haut-parleurs sont disposés à une distance d =1 mètre l'un de l'autre le long d'un axe Ox,
symétriquement par rapport au point O. On place également sur cet axe un micro au point M d'abscisse x
M
entre
les deux haut-parleurs que l'on alimente avec un même signal sinusoïdal de fréquence f = 500 Hz. On visualise
la tension délivrée par le micro après l'avoir amplifiée.
1.a. Quelle est la nature (destructive ou
constructive) des interférences au point O ?
1.b. Exprimer la position des maxima d'intensité le
long de l'axe Ox, puis celle des minima en fonction
de la longueur d'onde
ߣ
.
1.c. Lorsqu'on déplace le micro le long de l'axe Ox en partant du point O, l'amplitude du signal commence par
décroitre, puis elle augmente avant de passer par un maximum en x
1
= 340 mm. Interpréter cette observation et
en déduire la vitesse du son dans l'air à la température de l'expérience. Combien y-a-t-il de maxima entre les
sources ?
2. On constante qu'entre le point O et le premier maxima sur l'axe, l'amplitude du signal ne prend pas la même
valeur. On fait l'hypothèse que l'amplitude d'une onde sonore décroit avec la distance à la source selon une loi
A(r) = k/r, où k désigne une constante qu'il n'est pas nécessaire d'exprimer.
2.a. Comment les amplitudes des deux signaux se combinent-elles sur un maxima d'intensité sonore ?
2.b. Déterminer le rapport entre l'amplitude A
1
, du signal total au premier maxima décentré et celle A
0
du point
central. Cette variation est-elle perceptible ?
3. On remplace les deux haut-parleurs par deux diapasons émettant une note de même fréquence 500 Hz, que
l'on excite en les frappant l'un après l'autre, de telle sorte qu'ils émettent des signaux pratiquement sinusoïdaux
de même fréquence. Discuter des différences entre cette expérience et la précédente.