Chapitre 5 – Les logarithmes A) La fonction ln(x)

Chapitre 5 – Les logarithmes
A) La fonction ln(x) : logarithme néperien
Nous avons vu que nous ne savions pas exprimer la primitive de la fonction inverse avec des
fonctions connues.
Alors inventons cette fonction (on en a le droit grâce au théorème d’existence de primitive, la
fonction 1/x étant continue dérivable sur ]0 ; +∞[.
1) Définition
On appelle logarithme néperien et on note ln(x) la fonction définie sur ]0 ; +∞[ qui admet 1/x
comme fonction dérivée sur cet intervalle et qui s’annule pour x = 1.
2) Propriétés
a) Croissance
La dérivée de ln(x) étant 1/x sur ]0 ; +∞[, cette dérivée est toujours strictement positive sur
l’intervalle et donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Par conséquent, si deux nombres positifs a et b vérifient l’équation ln(a) = ln(b), alors a = b.
Exemples d’application :
I) Soit x > 0 avec ln(x) = ln(3)
Quelle sera la valeur de x ?
(x = 3)
II) Soit x > 0 tel que ln(x² - 5) = ln(4)
Que vaut x ?
(x² – 5 = 4 donc x² = 9 d'où x = 3 ou -3)
b) Logarithme d’un produit
Soit a un réel > 0, et soit g(x) = ln(ax)
La dérivée de g(x) sera g’(x) = a.(1/ax) = a/ax = 1/x.
G(x) est donc aussi une primitive de 1/x, d’où g(x) = ln(x) + c
Or ln(1) = 0 par définition donc g(1) = c soit ln(a) = c, ou encore c = ln(a).
On a donc ln(ax) = ln(x) + ln(a) et ceci est vrai pour tous a et x réels positifs, soit
∀ x et y réels positifs, on aura ln(xy) = ln(x) + ln(y)
Autrement dit, « Le logarithme transforme le produit en addition ».
Exemples :
I) ln(2x) = ln(2) + ln(x)
II) ln(x²) = ln(x) + ln(x) = 2 ln(x)
III) ln(4x5) = ln(4) + 5 ln(x)
IV) Résoudre ln(x) + ln(3) = ln(5)
(x =5/3, et non 3/5 comme dans le livre !)
V) Résoudre 3ln(x) = ln(9) + ln(3)
(x = 3)
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VI) Avec la calculatrice : calculer ln(16), diviser par 2 puis comparer avec ln(4) puis rediviser
par 2 et comparer à ln(2).
VII) Refaire de même avec ln(27) en divisant par 3 et comparer à ln(3).
(27 = 33 16 = 4²
4 = 2²)
c) Logarithme d’un quotient ou d’un inverse
On sait que ln(1) = 0. Soit x > 0
ln(x/x) = ln(1) = 0 et ln(x/x) = ln(x.1/x) = ln(x) + ln(1/x)
Donc, ln(1/x) = - ln(x)
De même, ln(x/y) = ln(x.1/y) = ln(x) + ln(1/y) = lnx – lny
Donc, ln(x/y) = ln(x) – ln(y)
(La division devient soustraction)
Exemple :
Résoudre ln(x/4) = 2ln(2) – ln(x).
(x/4 = 22/x <=> x2 = 16 <=> x = 4, mais pas -4 car x doit être positif)
d) Logarithme d’une puissance ou d’une racine carrée
ln(xn) = ln(x) . ln(xn-1)) = ... = n ln(x)
ln(x) = ln(√x . √x) = ln(√x) + ln(√x) = 2 ln(√x)
Soit : ln(xn) = n ln(x) et ln(x) = 2 ln(√x)
Exemples :
I) Résoudre ln(x) = 4 ln(3)
(x = 34 = 81)
II) Résoudre 2ln(x + 1) = ln(1 – x)
• x dans ]-1 ; +1[ pour que ce soit possible
• (x + 1)² = 1 – x soit x² + x = 0 = x(x + 1)
• Donc x = 0 (x = -1 étant interdit)
B) Etude de la fonction ln(x)
1) Ensemble de définition
Par définition du logarithme néperien, c’est ]0 ; +∞[.
2) Tableau de variation
a) f’(x) = 1/x, donc toujours positive
Par conséquent, ln est croissante.
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b) Limites aux bornes de l’intervalle
On a ln(10n) = n ln(10)
ln(10) ≃ 2,3 > 2.
et
. Lorsque x --> +∞, ln(x) --> +∞.
En effet, soit A un nombre très grand, et soit M le premier entier supérieur à A/2.
Il suffira de choisir x tel que x > 10M pour avoir ln(x) > M ln(10) > 2 M > A.
Donc, ln(x) devient aussi grand que l'on veut pourvu que x soit assez grand aussi.
. Lorsque x --> 0, ln(x) --> -∞.
En effet, supposons maintenant que x se rapproche de zéro.
Posons X = 1/x : alors, X --> +∞, donc ln(x) --> +∞.
Et comme ln(x) = - ln(1/x) = - ln(X), ln(x) --> -∞.
c) Valeurs remarquables
Par définition, on a posé ln(1) = 0
On appellera e le réel (unique d’après A2a), tel que ln(e) = 1.
Une valeur approchée de e est e ≃ 2,718281828.
d) Tableau de variation
x
0
1
e
+∞
f'(x)=1/x
∥
1
1/e
0
f(x)=ln(x) ∥
0
1
+∞
3) Courbe représentative
C) Dérivation, primitives et logarithmes
1) Dérivation
On a vu que par définition, (ln x)’ = 1/x.
On va appliquer la dérivation des fonctions composées au logarithme népérien : soit u une
fonction positive sur I (ATTENTION : il faut que u soit positive) :
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(ln(u(x)))’ = u’(x) (ln’(u(x))) = u'(x) / u(x), soit :
(ln(u))' = u'/u.
Remarque :
Si u(x) < 0 sur I, on a u'(x) / u(x) = -u'(x) / -u(x) = (-u)'(x) / u(x), donc la dérivée de ln(-u(x))
est aussi u'(x) / u(x).
2) Primitives
On sait donc désormais dériver ln(u(x)) mais aussi trouver la primitive de u'(x) / u(x), qui est
ln(u(x)) + c quand u(x) positive sur I.
De même, si u(x) < 0 sur I, on aura comme primitive de u(x) sur I la fonction ln(-u(x)) + c.
En résumé, la primitive de u'(x) / u(x) sur I est ln(|u(x)|) + c.
Exemples :
I) Trouver les primitives de 1 / (3x - 5) pour x > 5 / 3.
(F(x) = (ln(3x - 5)) / 3 + c)
II) Trouver les primitives de tan(x) pour cos(x) > 0
(F(x) = -ln(cos(x)) + c = ln (1 / cos(x)) + c)
III) Trouver les primitives de (2x + 1) / (x2 + x - 3) pour x² + x – 3 > 0
puis pour x² + x – 3 < 0.
(F(x) = ln(x² + x – 3) + c puis F(x) = ln(-x² - x + 3) + c )
IV) Trouver les primitives de tan(x) pour cos(x) < 0
(F(x) = - ln(- cos x) + c = ln (-1 / cos(x)) + c)
V) Primitives de 1 / (2x - 5) pour x < 5/2
(F(x) = ln(5 – 2x) + c)
D) Croissances comparées de ln(x) et xn
Quand x --> +∞, ln x --> +∞ et xn --> +∞.
On voudrait voir quelle fonction croît le plus vite.
Pour cela, on va comparer ln(x) et x en étudiant f(x) = (ln(x)) / x quand x > 0.
Or, soit g(x) = ln x - √x, on a g’(x) = 1/x – 1/2√x.
Soit g’(x) = (2 - √x) / 2x
/
< 0 si x > 4
<
= 0 si x = 4
\
> 0 si x < 4
Donc,
x
0
4
g'(x)
g(x)
+
croissante
0
-
maximum ≃-0,6137
décroissante
(En effet, g(4) = ln(4) - √4 = ln(4) – 2 ≃ - 0,6137.)
Donc, g(x) < 0 pour tout x > 0 soit ln(x) - √x < 0 et ln(x) < √x pour tout x>0.
Comme x > 0, ln(x) < √x ⇒ (ln(x))/x < 1/√x.
Or, (ln(x))/x > 0 dès que x > 1 car alors, ln x > 0 et x > 0
Et quand x --> +∞, √x --> +∞, donc 1/√x --> 0.
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+∞
Donc, on a (ln(x))/x --> 0 par le théorème des gendarmes car il est "coincé" entre 0 et 1/√x.
Autrement dit, ln(x) croît moins vite que x quand x tend vers l'infini.
De même, (ln(x))/xn avec n > 1 tend vers zéro quand x tend vers l'infini.
On peut aussi en déduire facilement que quand x tend vers zéro, x ln(x) tend aussi vers zéro.
En résumé on peut dire que : "xn l'emporte toujours sur ln(x)".
E) Logarithme décimal, échelle logarithmique
1) Définition
On appelle logarithme décimal et on note log la fonction x -> log(x) = (ln(x) / ln(10) définie
sur R+*.
2) Particularités
Calculer log(10), log(104), log(10-3).
log(10) = ln(10) / ln(10) = 1.
log(104) = 4 ln(10) / ln(10) = 4.
log(10-3) = -3 ln(10) / ln(10) = -3.
3) Valeurs remarquables
- Trouver x tel que log(x) = 0, y tel que log(y) = 1, z tel que log(z) = 7.
(x = 1, y = 10 et z = 107 = 10 000 000)
- Que peut-on dire du nombre de chiffres de a si la partie entière de log(a), notée E(log(a)) est
égale à n ?
(c'est n + 1)
4) Echelle logarithmique
En physique, on est parfois amené à travailler sur des grandeurs très variables : fréquences de
10 Hz à 100 MHz, puissances sonores etc.…
Pour pouvoir représenter ces grandeurs, on utilise souvent une «échelle logarithmique» c’est à
dire qu’au lieu de graduer directement, on gradue par le log.
Exemple :
1 cm = 10, 2 cm = 10², 3 cm = 103 etc.
Classique :
____-10____1____10____20____30____40____50____60____70____80____90____100__
Logarithmique :
0,1________0________10________100________1000________10 000________100 000__
Exercices :
Ex 72 et 74 page 105
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F) Approximation affine de ln(1 + x) quand x --> 0
1) Recherche de l’approximation affine
On sait que si f(x) = ln(x + 1), f’(x) = 1 / (x + 1).
Par la définition de la dérivée, on sait que f(1 + x) – f(1) = x f’(1) + x ℰ(x) avec ℰ(x) --> 0
quand x --> 0.
Donc, f(1 + x) = ln(1) + x.(1/1) + x ℰ(x) = x + x ℰ(x)
Soit ln(1 + x) = x + ℰ(x) avec ℰ(x) ­­> 0 quand x ­­> 0.
x est donc une approximation affine de ln(1 + x) quand x --> 0.
Application :
Trouver la limite en 1 de f(x) = (ln(x)) / (x – 1) définie sur ]0 ; +∞[.
(ln(x) --> 0 et x – 1 --> 0 donc forme indéterminée !)
(On pose x = 1 + h d’où f(h) = (ln(1 + h)) / h et x --> 1 donc h --> 0,
d’où la limite f(x) --> 1.)
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