chapitre 11 : fonction neperien. fonction logarithme decimal.

Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal
Cours
CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION
LOGARITHME DECIMAL.
1. Fonction népérien (logarithme d’une fonction
composée).
Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par f ( x) = ln [ u ( x) ] est dérivable sur I et
∀x ∈ I , f '( x) = ( ln [u ( x) ]) ' =
u '( x)
u ( x)
Exemple
 x −1 
Montrer que la fonction f : x a ln 
 est dérivable sur I = ] − ∞ , − 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [ et
 x +1
calculer sa dérivée
Même question avec la fonction g : x a ln
x −1
x +1
D’après le signe du trinôme du second degré u ( x) =
x −1
est strictement positif sur
x +1
I = ] − ∞ , − 1 [ ∪ ] 1, + ∞ [ et donc f est définie sur I, continue sur I et dérivable sur I
2
 x −1  '
La dérivée d’un quotient fournit u '( x) = 
=
2
 x + 1  ( x + 1)
et donc ∀x ∈ I ,
2
x +1
2
2
2
( x + 1) 2
=
=
= 2
f '( x) =
.
2
x −1
( x + 1) x − 1 ( x + 1)( x − 1) x − 1
x +1
© Gérard Hirsch – Maths54
1
Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal
La fonction g : x a ln
Cours
x −1
est définie sur J = R − { − 1,1 } = ]−∞ , − 1 [ ∪ ] − 1,1 [ ∪ ] 1, + ∞ [
x +1
Sa dérivée est ∀x ∈ J ,
2
2
( x + 1) 2
= 2
g '( x) =
x −1
x −1
x +1
La formule explicite de la dérivée de g est la même que celle de f. La seule différence réside
dans le fait que l’ensemble de définition de f n’est qu’une partie de celui de g.
Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par f ( x) = ln [ u ( x) ] est une primitive sur I de
u'
u
Corollaire
Si u est une fonction strictement négative et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par f ( x) = ln [ − u ( x) ] est une primitive sur I de
u'
u
Conséquence
Sur I = ] 0, + ∞ [ si f ( x) =
1
alors les primitives de f ( x ) sur I sont les fonctions
x
F ( x) = ln x + C où C est une constante réelle
Sur J = ] − ∞ , 0
[
si f ( x) =
1
alors les primitives de f ( x ) sur J sont les fonctions
x
F ( x) = ln(− x) + C où C est une constante réelle
Remarque
On se trouve sur un intervalle contenu dans I = ] 0, + ∞ [
ou dans J = ] − ∞ , 0
[
et les
constantes réelles C sont différentes suivant que l’on se trouve sur l’intervalle I ou sur
l’intervalle J.
Exemple
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Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal
Soit f la fonction définie sur I = ] 1, + ∞ [ par : f ( x) =
Cours
1
x −1
Déterminer les primitives F de f sur I = ] 1, + ∞ [ .
La fonction f ( x) =
1
x −1
est continue sur I = ] 1, + ∞ [ et admet des primitives sur
I = ] 1, + ∞ [
Si u ( x) = x − 1 alors u '( x) = 1
La fonction f admet pour primitives sur I = ] 1, + ∞ [ les fonctions F :
F ( x) = ln( x − 1) + C , où C ∈ R
Remarque
La fonction f définie sur J = ] − ∞ , 1 [ par : f ( x) =
1
admet pour primitives sur
x −1
J = ] − ∞ , 1 [ les fonctions F : F ( x) = ln(1 − x) + C , où C ∈ R
Exemple
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur I = R
a. f ( x) = ( x + 1)( x 2 + 2 x + 5)3 , b. g ( x) =
x +1
x +1
, c. h( x) = 2
x + 2x + 5
( x + 2 x + 5) 2
2
a. La fonction f est continue sur R , f possède des primitives sur R
1
Posons u ( x) = x 2 + 2 x + 5 alors u '( x) = 2 x + 2 = 2( x + 1) et f ( x) = u '( x) u 3 ( x)
2
1 1
1
Les fonctions F définies sur R par F ( x) = . u 4 ( x) + C = ( x 2 + 2 x + 5) 4 + C avec C ∈ R
2 4
8
sont les primitives de f sur R
.
b. La fonction g est continue sur R , g possède des primitives sur R
Posons u ( x) = x 2 + 2 x + 5 alors u '( x) = 2 x + 2 = 2( x + 1) et g ( x) =
1 u '( x)
2 u ( x)
Les fonctions G définies sur R par
1
1
G ( x) = . ln [ u ( x) ] + C = ln( x 2 + 2 x + 5) + C avec C ∈ R sont les primitives de g sur R .
2
2
c. La fonction h est continue sur R , h possède des primitives sur R
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Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal
Posons u ( x) = x 2 + 2 x + 5 alors u '( x) = 2 x + 2 = 2( x + 1) et h( x) =
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1 u '( x)
2 u 2 ( x)
1 1
1
1
+C = −
+ C avec C ∈ R
Les fonctions H définies sur R par H ( x) = − .
2
2 u ( x)
2 x + 2x + 5
sont les primitives de h sur R .
Exemple
Déterminer les primitives de la fonction f ( x) =
x
sur I = ] 1 , + ∞ [ , puis sur J = ]− 1 , 1 [
x −1
2
et enfin sur K = ]−∞ , −1 [
La fonction f est continue sur I = ] 1 , + ∞ [ , f possède des primitives sur I = ] 1 , + ∞ [
Posons u ( x) = x 2 − 1 < 0 sur I = ] 1 , + ∞ [ alors u '( x) = 2 x et f ( x) =
1 u '( x)
2 u ( x)
Les fonctions F définies sur I = ] 1 , + ∞ [ par
1
1
F ( x) = . ln [ − u ( x) ] + C = ln(1 − x 2 ) + C avec C ∈ R
2
2
sont les primitives de f sur I = ] 1 , + ∞ [ .
La fonction f est continue sur J = ] − 1 , 1 [ , f possède des primitives sur J = ] − 1 , 1 [
Posons u ( x) = x 2 − 1 > 0 sur J = ] − 1 , 1 [ alors u '( x) = 2 x et f ( x) =
1 u '( x)
2 u ( x)
Les fonctions F définies sur J = ] − 1 , 1 [ par
1
1
F ( x) = . ln [ u ( x) ] + C = ln( x 2 − 1) + C avec C ∈ R
2
2
sont les primitives de f sur J = ] − 1 , 1 [ .
La fonction f est continue sur K = ] − ∞ , − 1 [ , f possède des primitives sur K = ] − ∞ , − 1 [
Posons u ( x) = x 2 − 1 < 0 sur K = ] − ∞ , − 1 [ alors u '( x) = 2 x et f ( x) =
1 u '( x)
2 u ( x)
Les fonctions F définies sur K = ] − ∞ , − 1 [ par
1
1
F ( x) = . ln [ − u ( x) ] + C = ln(1 − x 2 ) + C avec C ∈ R
2
2
sont les primitives de f sur K = ] − ∞ , − 1 [ .
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Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal
Cours
Remarque
La constante C n’est pas la même suivant que l’on se trouve sur l’intervalle I, ou J ou encore
K.
2. Autres fonctions logarithmes
Définition
Soit a un réel strictement positif, a ≠ 1
On appelle fonction logarithme de base a, la fonction notée log a définie sur ] 0, + ∞ [ par :
log a x =
ln x
ln a
Conséquence
log a 1 = 0 et log a a = 1
Les fonctions logarithmes de base a sont toutes proportionnelles à la fonction logarithme
népérien, en effet ∀x ∈ ] 0, + ∞ [
log a x = k ln a
avec k =
1
ln a
Remarque
∀x ∈ ] 0, + ∞ [
log e x = ln x
La fonction logarithme de base 10 ( a = 10 ) est notée log et est appelée logarithme décimal.
On a donc ∀x ∈ ] 0, + ∞ [
et ∀x ∈ ] 0, + ∞ [
log10 x =
log10 x = k ln x
ln x
ln10
avec k =
1
~ 0, 43429
ln10
Cette fonction est très utile dans les calculs numériques mais aussi en chimie et dans bien
d’autres domaines
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Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal
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Ce sont les mêmes propriétés algébriques que celles de la fonction logarithme népérien
En particulier
∀x ∈ ] 0, + ∞ [ , ∀y ∈ ] 0, + ∞ [
log a ( xy ) = log a x + log a y
3. Etude de la fonction logarithme de base a
3.1. Sens de variation
La fonction x a log a x
est définie sur ] 0, + ∞ [
La fonction x a log a x
est continue sur ] 0, + ∞ [
La fonction x a log a x
est dérivable sur ] 0, + ∞ [
1
 ln x 
Pour tout x ∈ ] 0, + ∞ [ , (log a x) ' = 
=
 ln a  x ln a
Théorème
Si a > 1 , la fonction x a log a x est strictement croissante sur ] 0, + ∞ [
Si 0 < a < 1 , la fonction x a log a x est strictement décroissante sur ] 0, + ∞ [
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Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal
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3.2. Tableau de variation et représentation graphique :
a>1
x 0
f
a<1
x 0
+∞
f
+
−
+∞
+∞
f
+∞
f
-∞
-∞
2
1
a= 1
2
a=10
0
1
2
e
3
4
-1
-2
Exemple
Exemple d’utilisation de la fonction logarithme décimal
On note N le nombre entier 210000
1. Déterminer à l’aide de la calculatrice la partie entière de log N
2. En déduire l’encadrement 103010 ≤ N < 103011
3. Indiquer le nombre de chiffres de l’écriture décimale de N.
1. log 210000 = 10 000. log 2 ~ 3010, 29995 et donc E (log 210000 ) = 3010
2. A partir de la partie entière de log N , on obtient l’encadrement 3010 ≤ log N < 3011
que l’on peut aussi écrire log103010 ≤ log N < log103011
La fonction logarithme décimal étant strictement croissante sur ] 0, + ∞ [ , on a :
103010 ≤ N < 103011
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Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal
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3. L’encadrement obtenu prouve que l’écriture décimale de N comprend 3011 chiffres
Remarque
La capacité de la mémoire des calculatrices ne permet pas de considérer des nombres aussi
grands.
4. Changement de base
Soit a un réel strictement positif, a ≠ 1 et b un réel strictement positif, b ≠ 1
On cherche la relation qui lie ∀x ∈ ] 0, + ∞ [ ,
∀x ∈ ] 0, + ∞ [ ,
Par définition :
log b x =
log a x et log b x
ln x ln x ln a
=
.
ln b ln a ln b
ln a
= ln b a
ln b
D’où la formule dite de changement de base
∀x ∈ ] 0, + ∞ [ ,
log b x = log b a . log a x
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