chapitre 11 : fonction neperien. fonction logarithme decimal.

Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal Cours
© Gérard Hirsch – Maths54 1
CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION
LOGARITHME DECIMAL.
1. Fonction népérien (logarithme d’une fonction
composée).
Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par
[
]
() ln ()
f
xux= est dérivable sur I et
[]
()
'( )
, '() ln () ' ()
ux
xI fx ux ux ∀∈ = =
Exemple
Montrer que la fonction 1
:ln
1
x
fx x
−
+
a est dérivable sur
]
[
]
[
,1 1,I
=
−∞ − ∪ +∞ et
calculer sa dérivée
Même question avec la fonction 1
:ln
1
x
gx x
−
+
a
D’après le signe du trinôme du second degré 1
() 1
x
ux
x
−
=
+
est strictement positif sur
]
[
]
[
,1 1,I=−∞− ∪ +∞ et donc f est définie sur I, continue sur I et dérivable sur I
La dérivée d’un quotient fournit '
2
12
'( ) 1(1)
x
ux xx
−
==
++
et donc
2
22
2
21 2 2
(1)
,'() .
1(1) 1(1)(1) 1
1
x
x
xI fx xxx xx x
x
+
+
∀∈ = = = =
−
+
−+− −
+

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La fonction 1
:ln
1
x
gx x
−
+
a est définie sur
{
}
]
[
]
[
]
[
1,1 , 1 1,1 1,J
=
−− =−∞− ∪− ∪ +∞R
Sa dérivée est
2
2
2
2
(1)
,'() 11
1
x
xJ gx xx
x
+
∀∈ = =
−
−
+
La formule explicite de la dérivée de g est la même que celle de f. La seule différence réside
dans le fait que l’ensemble de définition de f n’est qu’une partie de celui de g.
Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par
[
]
() ln ()
f
xux= est une primitive sur I de 'u
u
Corollaire
Si u est une fonction strictement négative et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la
fonction f définie sur I par
[
]
() ln ()
f
xux=− est une primitive sur I de 'u
u
Conséquence
Sur
][
1
0, ( )Isifx
x
=+∞ = alors les primitives de
(
)
f
x sur I sont les fonctions
() lnFx x C=+ où C est une constante réelle
Sur
][
1
,0 ( )Jsifx
x
=−∞ = alors les primitives de
(
)
f
x sur J sont les fonctions
() ln( )Fx x C=−+ où C est une constante réelle
Remarque
On se trouve sur un intervalle contenu dans
]
[
0,I
=
+∞ ou dans
]
[
,0J=−∞ et les
constantes réelles C sont différentes suivant que l’on se trouve sur l’intervalle I ou sur
l’intervalle J.
Exemple

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Soit f la fonction définie sur
]
[
1,I=+∞
par : 1
() 1 fx
x
=
−
Déterminer les primitives F de f sur
]
[
1,I
=
+∞ .
La fonction 1
() 1 fx
x
=− est continue sur
]
[
1,I
=
+∞ et admet des primitives sur
]
[
1,I=+∞
Si ( ) 1ux x
=− alors '( ) 1ux=
La fonction f admet pour primitives sur
]
[
1,I
=
+∞ les fonctions F :
() ln( 1) ,Fx x C oùC
=−+ ∈R
Remarque
La fonction f définie sur
]
[
,1J=−∞ par : 1
() 1 fx
x
=
−
admet pour primitives sur
]
[
,1J=−∞ les fonctions F : ( ) ln(1 ) ,Fx x C oùC
=
−+ ∈R
Exemple
Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur
I
=
R
a. 23
() ( 1)( 2 5)fx x x x=+ ++ , b. 2
1
() 25
x
gx xx
+
=
+
+, c. 22
1
() (25)
x
hx xx
+
=++
a. La fonction f est continue sur R, f possède des primitives sur R
Posons 2
() 2 5ux x x=++ alors '( ) 2 2 2( 1)ux x x
=
+= + et 3
1
() '() ()
2
f
xuxux=
Les fonctions F définies sur R par 424
11 1
() . () ( 2 5)
24 8
Fx u x C x x CavecC
=
+= + + + ∈R
sont les primitives de f sur R.
b. La fonction g est continue sur R, g possède des primitives sur R
Posons 2
() 2 5ux x x=++ alors '( ) 2 2 2( 1)ux x x
=
+= + et 1'()
() 2()
ux
gx ux =
Les fonctions G définies sur R par
[]
2
11
() .ln () ln( 2 5)
22
Gx ux C x x C avecC=+=+++∈R sont les primitives de g sur R.
c. La fonction h est continue sur R, h possède des primitives sur R

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Posons 2 () 2 5ux x x=++ alors '( ) 2 2 2( 1)ux x x
=
+= + et 2
1'()
() 2()
ux
hx ux =
Les fonctions H définies sur R par 2
11 1 1
() .
2() 2 2 5
Hx C CavecC
ux x x
=
−+=− + ∈
++ R
sont les primitives de h sur R.
Exemple
Déterminer les primitives de la fonction 2
() 1
x
fx x =
−
sur
]
[
1,I
=
+∞ , puis sur
]
[
1,1J=−
et enfin sur
]
[
,1K=−∞−
La fonction f est continue sur
]
[
1,I=+∞, f possède des primitives sur
]
[
1,I=+∞
Posons 2
() 1 0ux x=−< sur
]
[
1,I=+∞ alors '( ) 2ux x
=
et 1'()
() 2()
ux
fx ux =
Les fonctions F définies sur
]
[
1,I=+∞ par
[]
2
11
() .ln () ln(1 )
22
Fx ux C x CavecC=−+=−+ ∈R
sont les primitives de f sur
]
[
1,I=+∞.
La fonction f est continue sur
]
[
1,1J=− , f possède des primitives sur
]
[
1,1J=−
Posons 2
() 1 0ux x=−> sur
]
[
1,1J=− alors '( ) 2ux x
=
et 1'()
() 2()
ux
fx ux =
Les fonctions F définies sur
]
[
1,1J=− par
[]
2
11
() .ln () ln( 1)
22
Fx ux C x CavecC=+=−+∈R
sont les primitives de f sur
]
[
1,1J=− .
La fonction f est continue sur
]
[
,1K=−∞−, f possède des primitives sur
]
[
,1K=−∞−
Posons 2
() 1 0ux x=−< sur
]
[
,1K=−∞− alors '( ) 2ux x
=
et 1'()
() 2()
ux
fx ux =
Les fonctions F définies sur
]
[
,1K=−∞− par
[]
2
11
() .ln () ln(1 )
22
Fx ux C x CavecC=−+=−+ ∈R
sont les primitives de f sur
]
[
,1K=−∞−.

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Remarque
La constante C n’est pas la même suivant que l’on se trouve sur l’intervalle I, ou J ou encore
K.
2. Autres fonctions logarithmes
Définition
Soit a un réel strictement positif, 1a≠
On appelle fonction logarithme de base a, la fonction notée loga définie sur
]
[
0,+∞ par :
ln
log ln
a
x
xa =
Conséquence
log 1 0
a= et log 1 aa=
Les fonctions logarithmes de base a sont toutes proportionnelles à la fonction logarithme
népérien, en effet
][
1
0, log ln ln
a
xxkaaveck
a
∀∈ +∞ = =
Remarque
]
[
0, log ln
e
x
xx∀∈ +∞ =
La fonction logarithme de base 10 ( 10a
=
) est notée log et est appelée logarithme décimal.
On a donc
][
10
ln
0, log ln10
x
xx∀∈ +∞ =
et
][
10
1
0, log ln ~ 0, 43429
ln10
xxkxaveck∀∈ +∞ = =
Cette fonction est très utile dans les calculs numériques mais aussi en chimie et dans bien
d’autres domaines