contrôle 5 10 0 0 5 0 5 10 0

1S1
EXERCICE 1
25/01/2013
Durée : 2h
CONTRÔLE 5
(3 points)
Un cube de bois de 3 cm est peint puis débité, parallèlement aux faces, en cubes de 1 cm d’arête.
(Voir la figure ci-contre)
On place les petits cubes dans un sac.
1. Combien de petits cubes a-t-on placés dans le sac ?
3×3×3 = 27 cubes
2. On tire au hasard un cube du sac.
a. Donner la probabilité que le cube n’ait aucune face peinte.
Tous les cubes ont la même probabilité d’être choisis. Seul le cube intérieur au grand cube
n’est pas peint. La probabilité est donc :
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque tirage possible, associe le nombre
de faces peintes sur le cube obtenu.
b. Donner la loi de probabilité de X.
xi
0
1
2
3
1
6
12
8
P(X = xi)
27
27
27
27
c. Calculer l’espérance E(X) et interpréter ce résultat.
E(X) = 0× +1× +2× +3× = 2.
Si on répète un grand nombre de fois le tirage d’un cube on obtient, en moyenne, 2 faces peintes par cube.
EXERCICE 2
(5 points)
Pour la fête de l’école, une association propose une loterie selon le principe suivant :
• Le joueur mise 10 euros
• Il fait tourner deux roues identiques, chacune s’arrêtant devant un repère. Chaque roue est divisée en quatre
quartiers égaux sur lesquels sont indiqués des gains en euros : 0 ; 0 ; 5 et 10.
• Le gain obtenu par le joueur est égal à la somme des gains indiqués sur les quartiers sur lesquels se sont
arrêtées les roues moins la mise de départ.
0
10
Dans l’exemple ci-contre
le gain du joueur est de –5 €.
0
0
5
1.
5
10
0
On appelle G la variable aléatoire qui à chaque partie associe le gain du joueur en euros.
a.
Donner les valeurs prises par G.
G peut prendre les valeurs : –10 ; –5 ; 0 ; 5 et 10
b.
Donner la loi de probabilité de G.
On peut s’aider d’un arbre pondéré (voir p.2)
gi
–10
–5
0
5
10
1
1
1
1
5
P(G = gi)
8
16
4
4
16
c.
Calculer la probabilité que le joueur obtienne un gain strictement positif.
On utilise le tableau : P(G > 0) = + =
d.
Calculer l’espérance mathématique de G puis interpréter de nombre.
Espérance : E(G) = – 2,5 €. En moyenne, sur un grand nombre de parties, le joueur perd 2,5 € par partie.
2.
Déterminer la somme qu’il faudrait faire miser au joueur pour que l’espérance de bénéfice de l’association
soit au moins égale à 5 € par partie.
Il faut que le joueur perde 5 € par partie pour que l’association fasse un bénéfice équivalent. Il faut donc augmenter
sa mise de 2,5 €. La mise de départ doit être de 12,5 €.
1
Arbre de l’exercice 2 :
0
Somme
–10 €
Proba
1
2
0
–10
1
4
1
4
5
–5
1
8
10
0
1
8
1
2
0
–5
1
8
1
4
5
0
1
16
10
5
1
16
1
2
0
0
1
8
1
4
5
5
1
16
10
10
1
16
1
4
1
2
1
4
5
1
4
1
4
10
1
4
EXERCICE 3
(9 points)
Les questions dans cet exercice sont indépendantes.
Dans le repère orthogonal ci-contre
contre sont tracées deux paraboles et une droite :
p1 est la courbe représentative de f définie sur R par : f(x)=
2
2
p2 est la courbe représentative d’une fonction g définie sur R.
1. Démontrer que g(x) = –x2 + x + 2
La fonction g est une fonction trinôme du second degré de racines –1 et 2,
donc : g(x) = a(x +1)(x – 2) avec a ∈ R*.
De plus, g(1) = 2. On en déduit que a = –1.
Donc g(x) = –x2 + x + 2
2. a. A l’aide du graphique, déterminer
éterminer l’équation de la tangente T à p1 en A.
Cette tangente a pour équation : y = mx + p.
D’après le graphique : m = 2.
On utilise les coordonnées du point A(4 ; 2) pour calculer p :
2 = 2×4 + p
p=–6
L’équation de T est : y = 2x – 6.
b. En déduire f '(4).
Le nombre dérivé f '(4)
(4) est égal au coefficient directeur de T : f '(4) = 2.
3. a. Justifier que l’axe des abscisses est la tangente à la parabole p1 en S.
On calcule la fonction dérivée de f : f '(x) = x – 2.
On en déduit que f '(2)
(2) = 0. La tangente à p1 en S(2 ;0) a pour coefficient directeur 0. C’est l’axe des abscisses.
2
b. Que peut-on en déduire pour S ?
Le point S est donc le seul point de la parabole en lequel la tangente est parallèle à l’axe des abscisses. C’est donc
le sommet de la parabole.
4. Déterminer l’équation de la tangente à p2 en B.
Cette tangente a pour équation : y = g’(1)(x – 1) + g(1).
Avec : g’(x) = –2x + 1, on a : g’(1) = –1
Et :
g(x) = –x2 + x + 2 donne : g(1) = 2
Donc la tangente a pour équation : y = –(x – 1) + 2
y = –x + 3.
5. a. Donner graphiquement les positions relatives de p1 et p2.
Sur ]–∞ ; 0[ ∪ ]2 ; +∞[ : p1 est au dessus de p2
Sur ]0 ; 2[ :
p1 est en dessous de p2
Les points d’intersection entre les deux courbes ont pour coordonnées (0 ; 2) et (2 ; 0).
b. Démontrer ce résultat par le calcul.
Il faut étudier le signe de f(x) – g(x) :
2 + 2 – ( –x2 + x + 2)
f(x) – g(x) =
=
−3
= 3x( x – 1)
On obtient une fonction trinôme dont les racines sont 0 et 2. Elle prend le signe de (positif) à l’extérieur des
racines, d’où le résultat énoncé en 5.a.
6. Calculer les coordonnés du point C de p2 tel que la tangente à p2 en C soit parallèle à T.
En tout point M de p2 d’abscisse a, la tangente a pour coefficient directeur g’(a) = –2a + 1.
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
On cherche donc a tel que : g’(a) = 2.
–2a + 1 = 2
a=–
Le point de p2 en lequel la tangente est parallèle à T est : C (− ;
)
7. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole p2.
Au sommet de la parabole, la tangente est parallèle à l’axe des ordonnées.
On cherche x tel que g’(x) = 0.
On trouve x = .
Le sommet S’ de p2 a pour coordonnées : ( ; ).
(3 points)
EXERCICE 4 (ROC)
On rappelle que le taux d’accroissement d’une fonction f entre x et x + h est :
Soit f(x) = x3 – 2x, calculer f '(x) en utilisant la limite, lorsque h tend vers 0, du taux d’accroissement de f.
On a :
f ( x + h) − f ( x)
h
!
!
=
!
"
"
!
!
=
"
"
=
= 3x2 + 3xh + h2 – 2
Donc : lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
= 3x2 – 2.
h
On a : f '(x) = 3x2 – 2.
3