Alg`ebre générale 2009/2010 S.P. Groupes I Ces fiches ne sont pas

Alg`ebre g´en´erale
2009/2010
S.P.
Groupes I
Ces fiches ne sont pas un rappel de cours lin´eaire sur les groupes. Il s’agit ici d’illustrer les notions
dans les situations arithm´etique, analytique et g´eom´etrique o`u celles-ci apparaissent naturellement.
Il y a de nombreux textes sur la question au niveau L3 et M1, par exemple l’ouvrage
Alg`ebre pour la licence 3 de Jean-Jacques Risler et Pascal Boyer. Collection Sciences Sup, Dunod
y consacre quelques chapitres et l’ouvrage
Th´eorie des groupes de Jean Delcourt. Collection Sciences Sup, Dunod
d´ecrit en d´etail une multitude d’exemples.
I. D´efinitions
Def: soit Gun ensemble. Une loi de groupe sur Gest une loi de composition interne
?:G×G→G
qui est
-associative : quels que soient a, b, c ∈G, (a?b)? c =a ? (b?c),
-`a neutre: il existe un ´el´ement 1Gtel que a ? 1G= 1G? a =apour tout a∈G,
-`a r´eciproques (ou inverses): quelquesoit a∈Gil existe un ´el´ement a−1∈Gtel que a?a−1=
a−1? a = 1G.
Def: (G, ?) est dit commutatif ou ab´elien si quels que soient a, b ∈G,a?b=b ? a.
Vocabulaire: le cardinal d’un groupe Gest aussi appel´e son ordre.
Def: Une partie K⊂Gest un sous-groupe si
1G∈K;∀(h, k)∈K2, h ? k ∈K;∀k∈K, k−1∈K.
Notation: K < G signifie Kest un sous-groupe de Gpour la loi ?.
Voici les premiers exemples:
-Z<Q<R<Cpour l’addition +.
-Q\ {0}<R\ {0}<C\ {0}pour la multiplication ×.
- L’ensemble des bijections SEde l’ensemble Epour la composition ◦.
-GlnRet GlnCpour la multiplication matricielle.
- Les groupes associ´es aux g´eom´etries euclidienne et hermitienne: le groupe orthogonal On< GlnR
et le groupe unitaire Un< GlnC.
Convention d’´ecriture: souvent, on utilise la notation multiplicative, i.e. on ´ecrit ab au lieu de a ? b
sauf bien sˆur lorsque ?est explicitement +.
II. Sous-groupes de Z et de R
Voici une discussion des sous-groupes de Zet de Rpour l’addition et de R>0 pour la multipli-
cation.
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- Sous-groupes de Zpour l’addition +
L’´etude des sous-groupes de Zs’appuie sur le th´eor`eme de division euclidienne:
Th´eor`eme: soit (a, b)∈Z×N\ {0}. Il existe un unique couple (q, r)∈Z×Ntel que
a=bq +r, 0≤r < b.
Voici la propri´et´e principale:
- tout sous-groupe de Zest de la forme Zd={ld, l ∈Z}pour un entier d∈N.
D´emo: on observe que pour un sous-groupe K < Znon trivial (i.e. K6={0}), la partie K∩N\{0}
est non vide. On note
a=min (K∩N\ {0})
K´etant un sous-groupe on a Za < K. En fait Za=K: en effet, pour k∈K, on a par division
euclidienne
k=aq +r, 0≤r < a.
D`es lors r=k−aq ∈KTN; l’in´egalit´e r < a implique r= 0 par choix de a. Pour x < 0, ´ecrire
x=−(−x).
Voici deux cons´equences arithm´etiques:
- Th´eor`eme de B´ezout: pour a, b ∈N,
Za+Zb=Zpgcd(a, b)
D´emo: Za+Zb:= {ka +lb, k, l ∈Z}´etant un sous-groupe, il existe d∈Ntel que
Za+Zb=Zd.
Observer que a, b ∈Zd´equivaut `a d∈Div(a, b).R´eciproquement, d∈Za+Zbmontre que tout
diviseur d0∈Div(a, b) divise aussi d, d’o`u d= pgcd (a, b).
- pour a, b ∈Z,
Za\Zb=Zppcm(a, b).
D´emo: ±idem.
- Sous-groupes de Rpour l’addition +
L’´etude des sous-groupes de Rs’appuie sur l’existence de la partie enti`ere d’un r´eel (Rest
archim´edien): Pour tout x∈R, il existe un unique entier [x]∈Ztel que
[x]≤x < [x]+1.
Avant d’´enoncer le r´esultat, un rappel m´etrique:
- Une partie K⊂Rest dite discr`ete si pour tout k∈Kil existe ² > 0 tel que
]k−², k +²[∩K={k}.
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- Une partie K⊂Rest dite dense si pour tout r´eel xet tout ² > 0,
]x−², x +²[∩K6=∅.
Voici les propri´et´es principales:
(1) - un sous-groupe K < Rest discret ssi il existe a∈Rtel que K=Za.
(2) - si le sous-groupe K < Rn’est pas discret, alors il est dense.
D´emo: (1) K=Zaest bien discret car pour tout m∈Z,]ma −a
2, ma +a 2[∩K={ma}.
R´eciproquement, on suppose K6={0}discret et on observe que, 0 ´etant isol´e dans K,
a=inf(K∩R>0)>0
K´etant un sous-groupe, il contient Za. Reste `a montrer que K < Za: pour cela pour x∈K∩R>0
on ´ecrit
[x
a]a≤x < [x a]a+a
et on remarque que 0 ≤x−[x
a]a∈K. L’in´egalit´e x−[x a]a < a implique x= [ x a]apar choix de a.
(2) Pour commencer 0 n’est pas isol´e: en effet, s’il existait ² > 0 tel que ] −², ²[∩K={0}alors
pour tout k∈Kon aurait aussi ]k−², k +²[∩K={k}et Kserait discret. Choisissons, pour tout
n∈N, un ´el´ement
kn∈]−1
n,1 n[∩(K\ {0}).
K´etant un sous-groupe, on peut supposer kn>0.
Pour montrer que tout r´eel x > 0 est dans l’adh´erence de K, on utilise la partie enti`ere comme
suit: pour chaque n∈Non a
[x
kn
]kn≤x < [x
kn
]kn+kn
d’o`u
0≤x−[x
kn
]kn< kn<1
n
et la suite (kn[x
kn])n∈Nd’´el´ements de Ka pour limite x∈R>0. Pour x < 0, ´ecrire x=−(−x).
Voici un corollaire imm´ediat:
-Qest dense dans R
D´emo: le sous-groupe Q<Rn’est pas discret (Pourquoi?)
Quelques exemples de sous-groupes:
- pour θ∈Q, le sous-groupe Z+Zθest discret: en effet, si θ=p
qpar B´ezout on a
Z+Zθ=Zpgcd (p, q)
q
- pour θ6∈ Q, le sous- groupe K=Z+Zθest dense: en effet, si K=Za, il existerait k, l ∈N
tels que 1 = ka et θ=la, d’o`u θ=l
k∈Q.
- pour p < q premiers, le sous-groupe Zln p +Zln q est dense: en effet, si K=Za, on aurait,
comme plus haut, deux entiers k, l ∈Ntels que l ln p =k ln q i.e. ln pl=ln qkd’o`u pl=qkce qui
contredit l’unicit´e de la d´ecomposition primaire d’un entier.
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Voici une application, entre l’alg`ebre lin´eaire et la th´eorie des corps:
Pour rappel: soit Kun corps, Eun espace vectoriel sur K,n∈N. On sait que
(w1, . . . , wn)∈Enest libre ssi la dimension du sous-espace
Kw1+Kw2+· · · +Kwn⊂E
vaut net dans ce cas, par le th´eor`eme de la base incompl`ete, on a
dimKE≥n.
Q´etant un sous-corps du corps R, la multiplication
Q×R→R: (q, r)7→ qr
munit Rd’une structure de Q−espace vectoriel.
- Question: que vaut dimQR?
- Voici un premier argument de r´eponse; il est similaire au dernier exemple plus haut: pour
commencer, (ln 2, ln 3) est libre car s’il existait a, a0, b, b0∈N\ {0}tels que
a
bln 2−a0 b0ln 3 = 0
on aurait ab0ln 2−a0b ln 3 = 0 i.e. ln 2ab0=ln 3a0bi.e. 2ab0= 3a0b. Absurde.
A l’aide de l’unicit´e de la d´ecomposition primaire, on voit de mˆeme que si p1, p2, . . . , pnsont les n
premiers nombres premiers, alors
(ln p1, ln p2, . . . , ln pn)
est libre. D`es lors, pour tout n∈N,dimQR≥ni.e. Rest de dimension infinie sur Q.
- Voici un autre argument de r´eponse: si R´etait de dimension finie nsur Q, en choisissant une
base (r1, r2, . . . , rn)∈Rnon aurait
R=M
1≤i≤n
Qri.
Rserait isomorphe `a Qn, en particulier il serait d´enombrable. Absurde.
- Sous-groupes de R>0pour la multiplication.
On utilise l’exponentielle
exp :R−→ R>0:x7→ exp(x)
qui a toutes les qualit´es:
- du point de vue ensembliste: c’est une bijection de r´eciproque ln,
- du point de vue des groupes: c’est un morphisme exp(x+x0) = exp(x)exp(x0),
- du point de vue m´etrique: c’est un hom´eomorphisme i.e. elle est continue de r´eciproque continue.
La discussion des sous-groupes de R>0pour ×est donc identique `a celles de Rpour +: ils sont
de deux types, discrets de la forme (rn)n∈Npour r > 0 ou denses.
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III. Syst`eme de g´en´erateurs, groupe cyclique, ordre d’un ´el´ement
- Si (Kj)j∈Iest une famille de sous-groupes de Galors Tj∈IKjest aussi un sous-groupe de G.
Soit A⊂Gune partie de G.
D´efinitions
- l’intersection de tous les sous-groupes de Gcontenant Aest not´ee hAiet est appel´ee le sous-groupe
engendr´e par A.
- lorsque G=hAi, on dit que Aest un syst`eme de g´en´erateurs de G.
- S’il existe x∈Gtel que G=hxion dit que Gest monog`ene de g´en´erateur x.
- Un groupe monog`ene fini est dit cyclique.
On note x0= 1Get pour l∈N\ {0},xl=x?x?· · · ? x (lfois), x−l=x−1?· · · ? x−1(lfois).
On a
hxi={xl, l ∈Z}
Plus g´en´eralement, si A={x1, . . . xn}on a
hAi={xl1
i1? xl2 i2?· · · ? xlm im, m ∈N,(l1, . . . , lm)∈Zm,(i1, . . . , im)∈[1, n]m}
Il faut faire attention au cas additif: x0= 0, pour l > 0, xlsignifie x+x+. . . +x(ltermes) et x−l
signifie −x−x−. . . −x(ltermes). Par exemple, pour a, b ∈Z, on a
ha, bi+={ka +lb, k, l ∈Z}=Za+Zb.
Ordre d’un ´el´ement
- On dit que xest d’ordre fini s’il existe l∈N\ {0}tel que xl= 1G. Dans ce cas l’ordre de xest
le plus petit entier strictement positif ntel que xn= 1G.
- S’il n’est pas d’ordre fini, xest dit d’ordre infini.
Proposition: xest d’ordre fini nssi
hxi={x0= 1G, x, . . . , xn−1},Card (hxi) = n.
D´emo: c’est `a nouveau la division euclidienne: supposons xd’ordre n. Pour l∈Zon a l=
qn +r, 0≤r < n, d`es lors
xl=xqn+r= (xn)q? xr=xr
Pour s’assurer que hxiest bien de cardinal n, observer que si pour 0 ≤k≤l≤n−1 on a xk=xl
alors xl−k= 1Get 0 ≤l−k≤n−1 implique k=lpar d´efinition de l’ordre n.
Je vous laisse la r´eciproque.
Exemples
-Zest monog`ene de g´en´erateur 1 ou −1 i.e. Z=h1i+=h−1i+
- De mˆeme, Zd=hdi+=h−di+
-Un={z∈C, zn= 1}est cyclique: Un=hexp(2πi
n)i
- Le groupe additif Rn’admet pas de syst`eme de g´en´erateurs fini: en effet si on avait R=
Zr1+Zr2+. . . +Zrn,pour un certain n∈N, alors Rserait d´enombrable.
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