Corrigé

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 21 octobre 2013
Test 1
Exercice 1.
Donner la liste des sous-groupes de Z/4Z.
Solution.
Nous avons Z/4Z={[0]4,[1]4,[2]4,[3]4}. Deux premiers sous-groupes sont les
sous-groupes triviaux {[0]4}et Z/4Z. Si Hest un sous-groupe non-trivial, alors
|H| ≥ 2 et [1]46∈ H(car h[1]4i=Z/4Z). Comme [3]4=−[1]4, on a ´egalement
[3]46∈ H. Ainsi, la seule possibilit´e est
H={[0]4,[2]4}= 2Z/4Z,
qui est bien un sous-groupe de Z/4Z.
Nous donnons une seconde solution, bas´ee sur un r´esultat vu apr`es le test, mais qui
se g´en´eralise pour tout groupe cyclique. Les sous-groupes de Z/4Zsont les images
des sous-groupes de Zcontenant 4Zpar la surjection canonique π:Z→Z/4Z.
Comme tous les sous-groupes de Zsont de la forme aZpour un certain a∈Z,
on trouve que les sous-groupes de Zcontenant 4Zsont
4Z,2Z,Z.
Par cons´equent, les sous-groupes de Z/4Zsont
π(4Z) = {[0]4}, π(2Z)=2Z/4Zet π(Z) = Z/4Z.
Exercice 2.
(1) Donner la liste des g´en´erateurs de Z/7Z.
(2) Donner la liste des g´en´erateurs de Z/9Z.
Solution.
(1) Par l’exercice 2 de la s´erie 3, [a]7engendre Z/7Zsi et seulement si (a, 7) = 1.
Par cons´equent, l’ensemble des g´en´erateurs de Z/7Zest
{[i]7: 1 ≤i < 7}.
(2) De mˆeme, on trouve que les g´en´erateurs de Z/9Zsont
[1]9,[2]9,[4]9,[5]9,[7]9,[8]9.

2
Exercice 3.
Soit Gle sous-ensemble de Cd´efini par G:= e2iπk/6:k∈Z.
(1) Montrer que Gest un sous-groupe cyclique de C∗.
(2) Donner l’ordre de G.
(3) Donner la liste des g´en´erateurs de G.
Solution.
(1) On rappelle l’´equation fonctionelle de la fonction exponentielle : pour
tout a, b ∈C, on a eaeb=ea+b. En particulier, pour tout entier k, on
ae2iπk/6=e2iπ/6k. Le groupe Gest donc ´egal au sous-groupe de C∗
engendr´e par ζ=e2iπ/6. Il est donc cyclique.
(2) Rappelons que pour tout x∈R, on a e2iπx = 1 si et seulement si x∈Z
(se r´ef´erer au cours d’analyse). Pour un entier k≥1, on a donc ζk= 1
si et seulement si k/6∈Z, i.e. si k∈6Z. Il suit que l’ordre de ζest ´egal
`a 6. Or ζest un g´en´erateur de G, donc |G|= 6.
(3) Comme ζest un g´en´erateur de G, et ζest d’ordre 6, on a G∼
=Z/6Z, et
on peut v´erifier que l’application
f:Z/6Z→G
[i]67→ ζi.
est bien d´efinie et est isomorphisme de groupes. Les g´en´erateurs de Z/6Z
sont les classes [a]6avec (a, 6) = 1, c’est-`a-dire [1]6et [5]6. Par cons´equent,
les g´en´erateurs de Gsont ζet ζ5.
Exercice 4.
Le groupe S3est-il cyclique ? Justifier votre r´eponse.
Solution.
Rappelons que comme
(12)(13) = (132) 6= (123) = (13)(12),
le groupe S3n’est pas commutatif. Comme tout groupe cyclique est commutatif,
on en conclut que S3n’est pas cyclique, de mˆeme pour Sn(n≥3). 
Exercice 5.
Soit Gle sous-groupe de GL2(R) d´efini par G:=   1a
0 1 :a∈R.
Montrer que G est isomorphe au groupe (R,+).
Solution.

3
L’application f:R→Gd´efinie par
f(a) = 1a
0 1
pour tout a∈Rest une bijection. De plus, il s’agit d’un homomorphisme de
groupes puisque
f(a+b) = 1a+b
0 1 =1a 0 11b 0 1=f(a)f(b)
pour tous a, b ∈R. Ainsi, Gest isomorphe `a (R,+). 