Cours d’Algèbre I Prof. E. Bayer Fluckiger Bachelor Semestre 3 21 octobre 2013 Test 1 Exercice 1. Donner la liste des sous-groupes de Z/4Z. Solution. Nous avons Z/4Z = {[0]4 , [1]4 , [2]4 , [3]4 }. Deux premiers sous-groupes sont les sous-groupes triviaux {[0]4 } et Z/4Z. Si H est un sous-groupe non-trivial, alors |H| ≥ 2 et [1]4 6∈ H (car h[1]4 i = Z/4Z). Comme [3]4 = −[1]4 , on a également [3]4 6∈ H. Ainsi, la seule possibilité est H = {[0]4 , [2]4 } = 2Z/4Z, qui est bien un sous-groupe de Z/4Z. Nous donnons une seconde solution, basée sur un résultat vu après le test, mais qui se généralise pour tout groupe cyclique. Les sous-groupes de Z/4Z sont les images des sous-groupes de Z contenant 4Z par la surjection canonique π : Z → Z/4Z. Comme tous les sous-groupes de Z sont de la forme aZ pour un certain a ∈ Z, on trouve que les sous-groupes de Z contenant 4Z sont 4Z, 2Z, Z. Par conséquent, les sous-groupes de Z/4Z sont π(4Z) = {[0]4 }, π(2Z) = 2Z/4Z et π(Z) = Z/4Z. Exercice 2. (1) Donner la liste des générateurs de Z/7Z. (2) Donner la liste des générateurs de Z/9Z. Solution. (1) Par l’exercice 2 de la série 3, [a]7 engendre Z/7Z si et seulement si (a, 7) = 1. Par conséquent, l’ensemble des générateurs de Z/7Z est {[i]7 : 1 ≤ i < 7}. (2) De même, on trouve que les générateurs de Z/9Z sont [1]9 , [2]9 , [4]9 , [5]9 , [7]9 , [8]9 . 2 Exercice 3. Soit G le sous-ensemble de C défini par G := e2iπk/6 : k ∈ Z . (1) Montrer que G est un sous-groupe cyclique de C∗ . (2) Donner l’ordre de G. (3) Donner la liste des générateurs de G. Solution. (1) On rappelle l’équation fonctionelle de la fonction exponentielle : pour tout a, b ∈ C, on a ea eb = ea+b . En particulier, pour tout entier k, on k a e2iπk/6 = e2iπ/6 . Le groupe G est donc égal au sous-groupe de C∗ engendré par ζ = e2iπ/6 . Il est donc cyclique. (2) Rappelons que pour tout x ∈ R, on a e2iπx = 1 si et seulement si x ∈ Z (se référer au cours d’analyse). Pour un entier k ≥ 1, on a donc ζ k = 1 si et seulement si k/6 ∈ Z, i.e. si k ∈ 6Z. Il suit que l’ordre de ζ est égal à 6. Or ζ est un générateur de G, donc |G| = 6. (3) Comme ζ est un générateur de G, et ζ est d’ordre 6, on a G ∼ = Z/6Z, et on peut vérifier que l’application f : Z/6Z → G [i]6 7→ ζ i . est bien définie et est isomorphisme de groupes. Les générateurs de Z/6Z sont les classes [a]6 avec (a, 6) = 1, c’est-à-dire [1]6 et [5]6 . Par conséquent, les générateurs de G sont ζ et ζ 5 . Exercice 4. Le groupe S3 est-il cyclique ? Justifier votre réponse. Solution. Rappelons que comme (12)(13) = (132) 6= (123) = (13)(12), le groupe S3 n’est pas commutatif. Comme tout groupe cyclique est commutatif, on en conclut que S3 n’est pas cyclique, de même pour Sn (n ≥ 3). Exercice 5. Soit G le sous-groupe de GL2 (R) défini par G := Montrer que G est isomorphe au groupe (R, +). Solution. 1 a 0 1 : a∈R . 3 L’application f : R → G définie par f (a) = 1 a 0 1 pour tout a ∈ R est une bijection. De plus, il s’agit d’un homomorphisme de groupes puisque 1 a+b 1 a 1 b f (a + b) = = = f (a)f (b) 0 1 0 1 0 1 pour tous a, b ∈ R. Ainsi, G est isomorphe à (R, +).