Combinaisons

Chapitre 13 : Probabilités : partie 2 : Les combinaisons Page 1 sur 3
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Chapitre 13 : Probabilité
Partie 2 : Les combinaisons
I. La notation factorielle
Définition : Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
Le nombre factoriel n, noté n!, désigne le produit de tous les entiers naturels de 1 à n.
n!=1×2×3×…×n=n×(n−1)×(n−2)×…×3×2×1. Par convention 0!=1.
Exemple : 5!=5×4×3×2×1=120. Avec la calculatrice CASIO : 5 OPTN PROB x! EXE
II. Combinaisons
1. Une approche
L’entraîneur d’un club de tennis doit constituer une équipe de 4 joueurs pour partir en déplacement. Le club comporte 6 tennismen
{A,B,C,D,E,F}. Combien cela fait-il d’équipes possibles ?
Pour le premier, il y a 6 choix possibles, 5 pour le 2
nd
, 4 pour le 3
e
et 3 pour le 4
e
donc 6
×
5
×
4
×
3 possibilités en tout (en tenant
compte de l’ordre !!!)
Cependant, attention, il n’y a pas d’ordre dans l’équipe. En effet {A,B,C,D} ou {D,A,C,B} désignent la même équipe donc il faut
calculer combien on peut faire d’ordres différents avec une « Combinaison » de 4 joueurs : on peut s’aider d’un arbre ou bien
réfléchir : une fois les 4 personnes trouvées : 4 choix pour le 1
er
, 3 pour le 2
e
, 2 pour le 3
e
et 1 pour le 4
e
donc 4
×
3
×
2
×
1 ordres
possibles.
En conclusion :
Nombre de choix
du 1
er
du 2
e
du 3
e
du 4
e
6
×
5
×
4
×
3
4
×
3
×
2
×
1
= 15 équipes
Nombre d’équipes de 4 joueurs AVEC ORDRE
Nombre de façons d’ordonner les 4 éléments de l’équipe
En utilisant la notation factorielle, l’expression ci-dessus devient
6×5×4×3×2×1
4×3×2×1×2×1
cad
6!
4!×(6−4)!
.
Pour l’entraineur du club, le nombre
6!
4!×(6−4)!
est le nombre de combinaisons possibles de 4 joueurs parmi 6 joueurs.
2. Définition et nombres de combinaisons
Définition : Soit E un ensemble de n éléments et p un entier tel que 0 ÂpÂn.
Une combinaison de p éléments de E est une partie de E à p éléments.
Remarque : dans une combinaison, l’ordre dans lequel on écrit les éléments n’a pas d’importance.
Théorème et notation : Le nombre de combinaisons de p éléments choisis parmi n éléments d’un ensemble E se note
n
p
,
se lit "p parmi n" et vaut
n!
p!×(n−p)!
Exemple : Le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 10 est
10
3
=
10!
3!×7!
=
10×9×8
3×2×1
=5×3×8=120.
Avec la calculatrice CASIO : OPTN PROB 10 nCr 3 EXE

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3. Cas particuliers
•
n
0
=1 est le nombre de parties à 0 éléments parmi n. Or un seul sous ensemble contient 0 élément, c’est l’ensemble vide.
•
n
1
=n est le nombre de parties à 1 élément parmi n. Or chacun des n éléments constitue une partie à 1 élément.
•
n
n
=1 est le nombre de parties à n éléments parmi n.
•
n
n−1
=n est le nombre de parties à n−1 éléments parmi n. Or il y a n façons d’exclure 1 élément parmi n.
III. Propriétés des combinaisons et formule du binôme
1- Propriétés des combinaisons (démonstrations à connaître en annexe)
• Pour tous naturels n et p tels que 0ÂpÂn,
n
p
=
n
n−p
.
• Pour tous naturels n et p tels que 1ÂpÂn−1,
n
p
=
n−1
p−1
+
n−1
p
. (relation de Pascal)
Conséquence : construction du triangle de Pascal
• A l’aide des cas particuliers
n
0
et
n
n
on peut compléter la colonne "p=0" et la diagonale.
• Puis, en utilisant la relation de
Pascal, on peut calculer de
manière récurrente les
n
p
.
Exemple : 20+15=35
Intérêt du triangle de Pascal :
Il permet d’obtenir par exemple
toute la ligne "n=5" utile
notamment pour la formule du
binôme (voir l’exemple).
Remplir la ligne n=10
Inconvénient : On imagine mal de
déterminer par exemple
95
25
à
l’aide de ce tableau…à moins
d’utiliser un tableur afin de générer "rapidement" de manière récurrente les
n
p
…
2- Formule du binôme (admise)
Pour tous nombres complexes a et b et pour tout entier nÃ1,
(a+b)
n
=
n
0
a
n
+
n
1
a
n−1
b+…+
n
p
a
n−p
b
p
+…+
n
n−1
ab
n−1
+
n
n
b
n
=
∑
k=0
k=n
n
k
a
n−k
b
k
Exemple : ( a+b)
5
=
5
0
a
5
b
0
+
5
1
a
4
b
1
+
5
2
a
3
b
2
+
5
3
a
2
b
3
+
5
4
a
1
b
4
+
5
5
a
0
b
5
=a
5
+5a
4
b+10a
3
b
2
+10a
2
b
3
+5ab
4
+b
5
.
p
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
n
10 1 1

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IV. Exercices
Exercice 1
Un jury de cour d’assises est composé de 8 jurés tirés au sort parmi 40 noms.
1. Montrer qu’un jury peut être représenté par une combinaison.
2. Combien de jurys peut-on constituer ?
Exercice 2
Sur un rayon d’une bibliothèque, il y a 10 titres en langues étrangères : 5 en anglais, 2 en allemand, 3 en russe.
ne personne choisit 5 de ces livres au hasard.
1. Combien a-t-elle de choix différents ?
2. Combien a-t-elle de choix avec 3 livres en anglais et 2 en russe ?
3. Combien a-t-elle de choix avec 3 livres dans une langue et 2 dans une autre ?
Exercice 3
Un club compte 80 adhérents en natation, 95 en athlétisme et 125 en gymnastique. Chaque adhérent pratique un seul sport. On choisit
au hasard, trois adhérents de ce club.
1. De combien de manières possibles peut-on choisir 3 adhérents ?
2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants ?
(a) A : "les 3 personnes choisies pratiquent la natation".
(b) B : "les 3 personnes choisies pratiquent le même sport".
Exercice 4
On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules noires indiscernables au toucher.
1. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
2. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
(a) A : "le tirage contient exactement 2 boules rouges".
(b) B : "le tirage contient au moins 2 boules rouges".
(c) C : "le tirage contient exactement 2 boules de la même couleur".
(d) D : "le tirage contient une boule de chaque couleur".
3. Si les trois boules tirées sont rouges, le joueur gagne 100 € ; si exactement deux boules tirées sont rouges il gagne 15 € et si
une seule est rouge il gagne 4 €. Dans tous les autres cas, il ne gagne rien.
Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeurs le gain en euros du joueur lors d’un jeu.
(a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
(b) Pour un jeu, la mise est de 10 €. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Exercice 5 (Amérique du Sud, nov 2004)
On note p
A
(B) la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé.
Une urne contient 4 boules rouges et 2 boules noires indiscernables au toucher.
1. On effectue au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.
On note A
0
l’événement : "on n’a obtenu aucune boule noire".
On note A
1
l’événement : "on a obtenu qu’une seule boule noire".
On note A
2
l’événement : "on n’a obtenu deux boules noires".
Calculer les probabilités de A
0
, A
1
et A
2
.
On note B
0
l’événement : "on n’a obtenu aucune boule noire au tirage n°2".
On note B
1
l’événement : "on a obtenu une seule boule noire au tirage n°2".
On note B
2
l’événement : "on n’a obtenu deux boules noires au tirage n°2".
(a) Calculer p
A
0
( )
B
0
, p
A
1
( )
B
0
et p
A
2
( )
B
0
.
(b) En déduire p
( )
B
0
.
(c) Calculer p
( )
B
1
et p
( )
B
2
.
(d) On a obtenu une seule boule noire lors de ce second tirage. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu une seule boule noire
lors du premier ?
2. Après ce premier tirage, il reste donc 4 boules dans l’urne.
On effectue à nouveau au hasard un tirage sans remise de deux boules de l’urne.
3. On considère l’événement R : "il a fallu exactement les deux tirages pour que les deux boules noires soient extraites de
l’urne".
Montrer que p(R)=
1
3
.